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Étude des recettes dune société en fonction du
temps
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Problématique

• Pour un certain produit, à chaque instant t,
  correspond une recette r correspondant à ses
  ventes.
• r(t) t3 30t2 150t 12 000
• où t est en mois et r la recette en milliers
  deuros par mois.Question quelles sont ses
  recettes lorsque t varie de 10 à 20 mois.

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Voici la représentation de la courbe r (t) t3
30t2 150t 12 000où t est en mois et r la
recette en milliers deuros par mois.
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Problématique

• On suppose que la recette r est une fonction
  continue du temps t.
• Comment calculer les recettes de lentreprise sur
  la période de 10 à 20 mois ?

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Simplification du problème
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Les variations de r(t) étant  compliquées  on
va raisonner dans un cas plus simple

1. On va étudier le cas où r(t) serait constante.
2. On va étudier le cas où r(t) serait constante sur
   plusieurs intervalles on parle de fonction  en
   escalier 
3. On va en déduire une solution générale du
   problème.

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CAS 1 Si r(t) est constante
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Si r(t) est constante

• Si r(t) est constante égale à 8,5 alors la
  recette sur la période10ième 20ième mois, soit
  pendant 10 mois, sera de
• 8,5 10 85 milliers deuros
• géométriquement cela représente laire dun
  rectangle...

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Si r(t) est constante géométriquement cela
représente laire dun rectangle...
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CAS 2 Si r(t) est  en escalier 
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Si r(t) est  en escalier 

• Si r(t) est constante sur des intervalleségale
  à 8,5 sur lintervalle 1016puis égale à 6 sur
  lintervalle 1620.la recette sur la
  période10ième 20ième mois, soit pendant 10
  mois, sera de
• 8,5 6 6 4 5124 75 milliers deuros
• géométriquement cela représente laire de deux
  rectangles...

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Si r(t) est  en escalier  géométriquement cela
représente laire de rectangles...
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Premier bilan
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Si r(t) est constante ou en escalier la recette
représente laire sous la courbe
géométriquement cela représente laire dun
rectangle...
géométriquement cela représente laire de deux
rectangles...
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CAS 3 cas général

• On est amené à chercher comment calculer laire
  sous la courbe dans le cas général.

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CAS 3 cas général

• On est amené à chercher comment calculer laire
  sous la courbe dans le cas général.
• On peut encadrer cette aire par des fonctions
  constantes
• 5 10 A 8,5 10 50 A 85

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CAS 3 cas général

• On est amené à chercher comment calculer laire
  sous la courbe dans le cas général.
• On peut encadrer cette aire par des fonctions
   en escalier 
• 6 6 5 4 A 8,5 6 6 4 56 A 75

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(No Transcript)
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Deuxième bilan
On a obtenu les encadrements suivants 50
A 85 puis 56 A 75
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On admet
On admet que les découpages de plus en plus
 fins donnent deux suites convergentes.Leur
limite commune est laire sous la courbe.
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Calcul daire

• Le calcul d  aire sous la courbe  sappelle le
  calcul intégral.
• Ce calcul est en lien avec le calcul de
  primitives