Bez tytulu slajdu

1
Temat piaty Jednorównaniowe modele zmiennosci

• Analiza szeregów czasowych o wysokiej
  czestotliwosci
• cechy analizy krótkookresowej
• podstawowy i uogólniony model ARCH
• testowanie efektu ARCH/GARCH
• niestandardowe modele ARCH (in mean, z
  asymetria,
• EGARCH)
• estymacja modeli GARCH, ocena jakosci

2
Cechy analizy krótkookresowej
Do cech procesów losowych (najczesciej procesów
finansowych) charakteryzujacych sie wysoka
czestotliwoscia zalicza sie

• naprzemienne wystepowanie okresów o zwiekszonej
  fluktuacji i okresów niskiej zmiennosci zmiennej
  bedacej przedmiotem zainteresowania
• skupiania wariancji w kolejnych jednostkach
  czasu, tj. dodatniej korelacji w dziedzinie
  zmiennosci zmiennej bedacej przedmiotem
  zainteresowania, co przejawia sie w wysokiej
  wariancji zmiennej powodowanej wzrostem tej
  wariancji w okresie poprzedzajacym i analogicznie
  spadkiem wariancji na skutek niskiej wariancji w
  okresie poprzedzajacym

3
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Rodzaje nieliniowych procesów stochastycznych
W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów
czasowych poszukuje sie funkcji f wiazacej dany
proces z ciagiem niezaleznych zmiennych losowych
o jednakowym rozkladzie
(5.1)
gdzie jest zmienna losowa o sredniej zero i
jednostkowej wariancji Powyzsza reprezentacja
jest nieoperacynja, jest na tyle ogólna, ze nie
wiadomo jak dobierac postac funkcji f
Najczesciej przyjmuje sie, ze nieliniowy proces
ekonomiczny ma postac
(5.2)
Procesy Yt wyrazone (5.1) z nieliniowa funkcja
g() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej
wartosci sredniej Procesy Yt wyrazone (5.2) z
nieliniowa funkcja h2() nazywamy procesami
nieliniowymi w warunkowej wariancji Powyzsza
klasyfikacja ma sens gdyz
4
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Warunkowa wartosc oczekiwana Yt moze byc zapisana
(5.3)
funkcja g opisuje zmiany wartosci sredniej
procesu Yt warunkowo wzgledem informacji z
przeszlosci (zbiór Ot-1 oznacza zbiór wszystkich
informacji dostepnych do momentu t-1)
Kwadrat funkcji h przedstawia zmiany warunkowej
wariancji procesu Yt
(5.4)
Do najbardziej znanych modeli nieliniowych w
warunkowej wartosci sredniej naleza procesu
dwuliniowe, nieliniowe procesy autoregresji i
sredniej ruchomej, autoregresyjne modele progowe,
przelacznikowe i wygladonego przejscia, procesy
autoregresyjne o losowych wspólczynnikach Znanymi
procesami o zmiennej wariancji warunkowej
sa procesy ARCH/GARCH oraz procesy zmiennosci
stochastycznej
5
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Podstawowym modelem ARCH jest
(5.5)
(5.6)
gdzie xt jest wektorem zmiennych objasniajacych
(najczesciej opóznionych zmiennych endogenicznych
postac modelu AR) ß jest wektorem parametrów
strukturalnych ?t jest skladnikiem zaklócajacym
spelniajacym warunek
w celu zapewnienia dodatniosci warunkowej
wariancji zaklada sie ponadto ?0gt0 i ?i0
Warto zauwazyc, ze równanie (5.6) jest nieliniowe
ze wzgledu na zmienne, równanie to (tj. granica
sumy q) wyznacza tzw. stopien modelu ARCH, mówimy
o modelu ARCH(q)
Model ARCH(q) opisuje poprawnie proces
stacjonarny, lub inaczej model ARCH(q) generuje
proces stacjonarny, jesli spelniony jest warunek
6
Podstawowy i uogólniony model ARCH
Uogólnionym modelem ARCH, czyli modelem GARCH,
jest
(5.7)
(5.8)
gdzie oznaczenia zmiennych i parametrów jak w
równaniach (5.5) i (5.6)
w celu zapewnienia dodatniosci warunkowej
wariancji zaklada sie ponadto ?0gt0 i ?i0 i ?i0
granice sumowania q i p wyznaczaja stopien modelu
GARCH, mówimy o modelu GARCH(q, p)
stacjonarnosc procesu (tj. skonczonosc
bezwarunkowej wariancji) opisanego modelem
GARCH(q,p) jest zapewniona jesli spelniony jest
warunek
7
Podstawowy i uogólniony model ARCH
W zastosowaniach finansowych wygodnie jest
korzystac z tzw. reprezentacji równowaznej modelu
GARCH Niech dany bedzie proces vt taki ze
(5.9)
z formuly (5.8) wyrazajacej warunkowa wariancje w
modelu GARCH wiemy, ze ht nalezy zapisac
(5.10)
8
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Testowanie efektu ARCH/GARCH jest ekwiwalentne,
tj. istniejace testy nie pozwalaja odróznic obu
procesów Wynik testu wskazujacy na obecnosc
omawianego efektu pozwala jedynie z okreslonym
prawdopodobienstwem wnioskowac o obecnosci ARCH
lub GARCH, bez mozliwosci rozróznienia Wnioskowani
e o rzedach p i q procesów ARCH/GARCH odbywa sie
na podstawie miar pojemnosci informacyjnej
Test Englea Jest to test typu mnoznika
Lagrangea, tzn. do testowania hipotezy zerowej
niezbedna jest znajomosc jedynie modelu z
restrykcjami nalozonymi poprzez testowana
hipoteze Przypomnijmy, równaniem pomocniczym
wariancji warunkowej w modelu ARCH (5.6) jest
Engle zaproponowal postac modelu AR dla kwadratów
reszt uzyskanych z relacji (5.5) jako dobre
przyblizenie relacji (5.6), zatem szacowany (MNK,
ML) model przyjmuje postac
(5.11)
9
Testowanie efektu ARCH/GARCH
(5.11)
Jesli efekt ARCH/GARCH nie wystepuje, tzn. nie
wystepuje heteroskedastycznosc wariancji
warunkowej, wówczas w (5.11) wszystkie parametry
?i powinny zanikac, tak wiec hipotezami sa
Statystyka testowa jest
gdzie R2 jest wspólczynnikiem determinacji
wyznaczonym dla modelu (5.11)
10
Testowanie efektu ARCH/GARCH
Test McLeoda i Li W omawianym tescie wykorzystuje
sie statystyke Boxa-Ljunga do weryfikacji
hipotezy o braku autokorelacji kwadratów reszt
relacji (5.5), zatem test przebiega nastepujaco

• oszacowac relacje (5.5)

• obliczyc wspólczynniki autokorelacji (rzedu od 1
  do q) kwadratów reszt
• uzyskanych w punkcie poprzednim (Uwaga! Nie
  zapomniec o standaryzacji)

(5.12)

• obliczyc statystyke Boxa-Ljunga

• wobec zastosowanej statystyki testowej, zestawem
  hipotez jest

11
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH in MEAN (GARCH-M) przyjmuje postac
(5.13)
(5.14)
GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka
(premii za ryzyko) Jezeli ocena parametru ? jest
dodatnia i parametr moze zostac uznany za
statystycznie istotny, wówczas wzrost wariancji
warunkowej ht (czyli miary ryzyka) powoduje
wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej
stopy zwrotu z papieru (yt)
12
Niestandardowe modele GARCH
Model GARCH z asymetria reakcji
Asymetria reakcji na pakietowe zmiany zmiennosci
zmiennej bedacej przedmiotem zainteresowania (rt)
moze byc przyblizona prostym modelem GARCH-M
(5.15)
(5.16)
(5.17)
Wówczas mozliwe jest wyznaczenie vt jako
Warto zauwazyc, ze proces opisany przez (5.17)
charakteryzuje sie rozkladem normalnym
standaryzowanym
Mozna zaobserwowac, ze prawdziwa jest nastepujaca
nierównosc
Czego konsekwencja jest
13
Niestandardowe modele GARCH
Model E-GARCH
W modelu EGARCH czyni sie typowe zalozenia
odnoszace sie do równania opisujacego zmienna
bedaca przedmiotem zainteresowania, czyli
(5.18)
Funkcja warunkowej wariancji jest
(5.19)
Powyzszy model jest modelem typu wykladniczego Z
definicji funkcji wykladniczej wynika, ze
zapewniona jest nieujemnosc wariancji
warunkowej Asymetria reakcji powodowana jest
iloczynem ?id1 przykladowo, jezeli ?id1lt0 wówczas
wariancja warunkowa ht maleje w miare wzrostu
?t-i i rosnie w przypadku spadku skladnika
zaklócajacego, jednakze nieliniowy charakter
reakcji wymusza rózne stopnie reakcji