FUN

1
Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 8 Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso
2
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
Base do logaritmo
Condição de Existência
3
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
Base do logaritmo
4
Logaritmos
Logaritmo
Logaritmando
Base do logaritmo
5
Logaritmos
Consequência da definição
6
Logaritmos
Propriedades Operátórias
7
Logaritmos
Mudança de Base
8
Logaritmos
(UDESC 2006-1) Se ,
e , pode-se afirmar
que
9
Logaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
solução da equação 11x 130 0 é
a)
b)
c)
d)
e)
10
Função Logarítmica
Definição
Domínio
Imagem
11
Função Logarítmica
Representação Gráfica
12
Função Logarítmica
Representação Gráfica
13
Função Logarítmica
Representação Gráfica
14
Função Exponencial
y ax 0 lt a ? 1
y ax a gt 1
y
Ex y (1/2 )x
Ex y 2 x
1
x
15
Função Logarítmica
y loga x 0 lt a ? 1
y
y log1/2 x
1
x
y loga x a gt 1
y log2 x
16
f(x) ax f -1(x) loga xa gt 1
Crescente
Função Inversa
y
y x
1
y ax
x
1
y loga x
17
Função Inversa
y ax
y
f(x) ax f -1(x) loga x 0 lt
a ? 1 Decrescente
y x
y loga x
1
x
1
18
Exercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a
inversa da função
é
a)
b)
c)
d)
e)
19
Equação Logarítmica
20
Equação Logarítmica
21
Equação Logarítmica
22
Exercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
verdadeira é
C.E
23
Exercício
(UDESC 2006-1) Se
, então o valor de x é
C.E
24
Inequação Logarítmica
C.E
25
Inequação Logarítmica
C.E
26
Inequação Logarítmica



27
Inequação Logarítmica
C.E



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Inversa

• Funções inversas
• De modo análogo, de todas as possíveis bases a
  para o logaritmo, veremos que a escolha mais
  conveniente é a e.
• A função logarítmica y logax é a inversa da
  função y ax. Seu gráfico é a reflexão de y ax
  com relação a reta y x.
• Enquanto y ax é uma função que cresce muito
  rapidamente, y logax é uma função de
  crescimento muito lento.

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Exemplo

• Uma aplicação da função logarítmica
• A escala Richter é uma escala logarítmica de
  medição da energia liberada pelos terremotos sob
  a forma de ondas que se propagam pela crosta
  terrestre. Nela é usado o logaritmo decimal
• Os valores desta escala são chamados de
  magnitudes
• Durante um terremoto um sismógrafo registra essa
  magnitude durante um certo intervalo de tempo

30
Exemplo

• Essa magnitude pode ser calculada a partir da
  seguinte equação
• Onde
• Ms magnitude na escala Richter
• A amplitude do movimento da onda (registrada em
  micrômetros)
• f freqüência da onda (medida em hertz).

31
Exemplo

• Suponha que para um certo terremoto foi
  registrada a amplitude
• A 1000 ?m e uma freqüência de 0,1 Hz. A
  magnitude desse terremoto é
• Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus
  provocaria a destruição total das construções de
  uma grande cidade.
• Como a escala é de base 10, um tremor de
  magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à
  magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau
  a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
• O valor acima é considerado moderado.

32
Exemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto
que atingiu o Chile, no século XX.
33
Exemplo

• Funções inversas
• A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos.
  Isso significa que a metade de qualquer
  quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 anos.
• Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa
  de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade
  a cada 25 anos, então

34
Exemplo

• Funções inversas
• Portanto, a função para este caso é
• Como a função logarítmica inversa dessa função é
• Se quisermos saber, por exemplo, o tempo
  necessário para que uma massa de 5 mg se
  desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula

35
Funções Logaritmos Neperianos

• Como todas as outras funções logarítmicas com
  base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma
  função crescente definida m (0,?) tendo o eixo y
  como assíntota vertical.

1) Construir o gráfico de y lnx
36
Funções Logaritmos Neperianos

• 2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita,
  obtendo o gráfico y ln(x-2)

37
Funções Logaritmos Neperianos

• 3) desloque novamente para baixo de uma unidade
  para obter y ln(x - 2) -1

38
Métodos de Cálculo I

• Assíntotas
• Definição A reta xa é chamada assíntota
  vertical da curva yf(x) se pelo menos uma das
  seguintes condições estiver satisfeita

39
Métodos de Cálculo I

• Exemplos

xa
y
x
40
Métodos de Cálculo I

• Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem
  uma assíntota vertical é a função logaritmo
  natural ylnx.
• O eixo y funciona como uma assíntota.

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Métodos de Cálculo I

• Em contrapartida, o gráfico da função exponencial
  yex tem o eixo x como assíntota horizontal.
• Para basta tomar t1/x
  pois sabemos que quando
• x ? 0-, t ?- ?, portanto

42
Exercícios
43
Responda

• a) Quando uma função logarítmica é considerada
  crescente? E decrescente?
• b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função
  logarítmica?
• c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de
  uma função logarítmica?
• d) Qual a condição de existência de uma função
  logarítmica?

44
Respostas
45
Exercícios

• O número de bactérias de uma cultura, t horas
  após o início de certo experimento, é dado pela
  expressão N 1200.20,4.t. Nessas condições,
  quanto tempo após o início do experimento a
  cultura terá 38400 bactérias?

46
Exercícios

• Numa certa cultura, há 1000 bactérias num
  determinado instante. Após 10 min, existem 4000.
  Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que
  elas aumentam segundo a fórmula P P0.ekt, em
  que P é o número de bactérias, t é o tempo em
  horas e k é a taxa de crescimento?

47
Exercícios

• Estima-se que a população de uma certa cidade
  cresça 3 a cada 8 anos. Qual será o crescimento
  estimado para um período de 24 anos?

48
Exercícios

• Resolva a equação 3x 5.
• Dados log2 0,3 log3 0,48 e log5 0,7
  resolva a equação 52x 7 . 5x 12 0.

49
Exercícios

• Sabemos que o número de bactérias numa cultura,
  depois de um tempo t, é dado por N N0.er.t, em
  que é o número inicial (quando t 0) e r a taxa
  de crescimento relativo. Em quanto tempo o número
  de bactérias dobrará se a taxa decrescimento é de
  5 ao minuto?

50
Exercícios

• Em quantos anos 500g de uma substância
  radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3 ao
  ano, se reduzirão a 100g? Use Q Q0.e-r.t, em
  que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o
  tempo em anos.

51
Exercícios

• Segundo o Banco Mundial, a previsão do
  crescimento demográfico na América Latina, no
  período de 2004 à 2020, é de 1,2 ao ano,
  aproximadamente. Em quantos anos a população da
  América Latina vai dobrar se a taxa de
  crescimento continuar a mesma?

52
Exercícios

• Uma pessoa coloca R 1.000,00 num fundo de
  aplicação que rende, em média, 1,5 ao mês. Em
  quantos meses essa pessoa terá no mínimo R
  1.300,00? Use uma calculadora para fazer os
  cálculos.

53
Exercícios

• O dono de uma concessionária de veículos usa a
  expressão V 40 000.(0,96)t para calcular, em
  reais, o valor de um certo tipo de automóvel após
  t anos de uso. Para o cálculo do valor de um
  automóvel de outra marca, é usada a expressão V1
  50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine após
  quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de
  mercado.

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(No Transcript)