Le mediane queste sconosciute

1
Sezione Mathesis Pesaro
Le mediane queste sconosciute
Anna Maria Facenda Paola
Fulgenzi Janna Nardi
Floriana Paternoster
2

• Consegna 1
• 1 2 3 4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed
  elementi geometrici) .
• Articolando il modello n.1 quale e quante figure
  interne si formano? Perché?
• Articolando i modelli n.2, n.3, n.4 quali e
  quante figure interne si formano? Perché?
• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna
  e le diagonali e le mediane dalla figura esterna?

3

• Consegna 2
• 1 2 3 4
• Esaminate i modelli e descriveteli (figure ed
  elementi geometrici) .
• Considerate il modello n.3, articolandolo quali e
  quante figure interne si formano e perché?
• Considerate i modelli n.2 e n.4, articolandoli
  quali e quante figure interne si formano e
  perché?
• Ora sai giustificare perché articolando il
  modello n.1 la figura interna è sempre un
  parallelogramma?
• Quale/i relazione/i ci sono tra la figura interna
  e le diagonali e le mediane dalla figura esterna?

4
una interessante proprietà unendo
consecutivamente i punti medi dei lati di un
qualsiasi quadrilatero anche concavo, si ottiene
sempre un parallelogramma.
Prendiamo in considerazione i triangoli ACD e
PSD. Essi hanno un angolo in comune e i lati che
lo comprendono in proporzione, infatti, poiché P
ed S sono punti medi, DP/DA DS/DC 1/2
(Teorema di Talete), pertanto sono simili per il
secondo criterio. Segue che PS//AC. Per lo stesso
motivo anche QR//AC e dunque QR//PS. Da cui si
deduce che i segmenti PQ e SR, essendo paralleli
a DB, lo sono anche tra loro (proprietà
transitiva). La dimostrazione vale anche per le
coppie di triangoli DBC-SRC e ABD-AQP.
D
S
C
R
P
B
Q
A
5
Il rapporto di similitudine fra le coppie di
triangoli prese in esame è sempre 1/2, pertanto i
lati del parallelogramma inscritto sono sempre la
metà delle diagonali di quello circoscritto.
Se il quadrilatero esterno ha le diagonali
congruenti le sue mediane sono perpendicolari
perché il quadrilatero interno è inevitabilmente
un rombo.
Il parallelismo tra lati del parallelogramma e
diagonali del quadrilatero esterno fa si che se
questultimo ha le diagonali perpendicolari, le
sue mediane sono congruenti perché il
quadrilatero interno è un rettangolo.
Se si verificano entrambe le condizioni di cui
sopra il parallelogramma interno è un quadrato.
6
Le Mediane nei quadrilateri
Le mediane si bisecano in tutti i quadrilateri
Sono congruenti in quelli a diagonali
perpendicolari
Sono perpendicolari in quelli a diagonali
congruenti
7
Mediane
Diagonali
"se le diagonali sono perpendicolari allora le
mediane sono congruenti", "se le mediane sono
congruenti allora le diagonali sono
perpendicolari" che si possono riunire nella
doppia implicazione "le diagonali sono
perpendicolari se e solo se le mediane sono
congruenti". Analoghe considerazioni portano a
formulare la seguente doppia implicazione "le
diagonali sono congruenti se e solo se le mediane
sono perpendicolari".
8
Parallelogramma inscritto nel rombo
Quando il quadrilatero esterno è un quadrato, lo
è anche quello interno. In tutte le altre
posizioni il poligono esterno è un rombo, quello
interno un rettangolo.
La figura interna è sempre un rettangolo poiché i
suoi lati sono paralleli alle diagonali del rombo
che sono sempre perpendicolari.
Le mediane del quadrilatero esterno sono
diagonali di quello interno, le mediane del
quadrilatero interno fanno parte delle diagonali
di quello esterno nella deformazione, il
poligono esterno conserva solo le diagonali come
assi di simmetria, quindi quello interno solo le
mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i
lati quella interna i lati ma non gli angoli.
9
Definizione di quadrato e rombo con le mediane

• Le mediane
• Si bisecano
• Sono congruenti
• Non modificano la loro misura
• Sono parallele ai lati
• Nel quadrato sono perpendicolari
• Nel quadrato sono assi di simmetria

Def. Rombo ? Def. Quadrato ?
10
Def. Rombo quadrilatero a mediane congruenti
e che si bisecano Def. Quadrato quadrilatero a
mediane congruenti, perpendicolari e che si
bisecano. Sono definizioni
corrette?
Controesempi
Def. Rombo quadrilatero a mediane congruenti
e a diagonali che si bisecano.
quadrilatero a mediane congruenti e
parallele ai lati. Def.
Quadrato quadrilatero a mediane congruenti,
perpendicolari e a diagonali
che si bisecano.
quadrilatero a mediane congruenti, perpendicolari
e parallele ai lati.
11
Def. Rombo parallelogramma a mediane
congruenti. Def. Quadrato parallelogramma a
mediane congruenti e perpendicolari. Def.
Quadrato rombo a mediane perpendicolari.
12
Parallelogramma inscritto nel parallelogramma
Quando il quadrilatero esterno è un rettangolo,
quello interno è un rombo. In tutte le altre
posizioni sia il poligono esterno che quello
interno sono parallelogrammi.
Le mediane del quadrilatero esterno sono
diagonali di quello interno, le mediane del
quadrilatero interno fanno parte delle diagonali
di quello esterno nella deformazione, il
poligono interno perde le diagonali come assi di
simmetria, quello esterno le mediane.
La figura esterna modifica gli angoli ma non i
lati quella interna lati ed angoli.
13
Definizione di rettangolo e parallelogramma con
le mediane

• Le mediane
• Si bisecano
• Non sono congruenti
• Non modificano la loro misura
• Sono parallele ai lati
• Nel rettangolo sono perpendicolari
• Nel rettangolo sono assi di simmetria

Def. Rettangolo ? Def. parallelogramma ?
14
Def. Rettangolo ? Quadrilatero a mediane
perpendicolari che si bisecano Def.
parallelogramma ? Quadrilatero a mediane che si
bisecano Sono definizioni corrette?
Controesempio
Def. Rettangolo Quadrilatero a mediane
perpendicolari e diagonali
che si bisecano.
Quadrilatero a mediane perpendicolari e parallele
ai lati Def. parallelogramma Quadrilatero a
mediane parallele ai lati
15
Def. Rettangolo parallelogramma a mediane
perpendicolari.
16
Modelli per mediane
17
Al modello a diagonali scanalate si può
sovrapporre il parallelogramma inscritto
realizzato in cartoncino, con i lati uguali alla
metà delle diagonali e gli angoli della stessa
misura di quelli formati dallintersezione delle
diagonali stesse. Modificando il punto di
intersezione delle diagonali, conservandone la
reciproca posizione, si può controllare,
sovrapponendo al modello il parallelogramma in
cartoncino, che questultimo è sempre quello
inscritto nel quadrilatero di partenza. Mentre
il quadrilatero esterno subisce deformazioni di
tipo proiettivo, quello interno trasla.
Diagonali non congruenti e perpendicolari con
inscritto il rettangolo
Diagonali congruenti e non perpendicolari con
inscritto il rombo
18
Articolando le diagonali quali trasformazioni
subisce il parallelogramma inscritto? Cosa hanno
in comune i parallelogrammi che si ottengono?

19
In un modello con diagonali non scanalate e
fissate in un punto è possibile collegare con
fermacampioni i lati del parallelogramma
inscritto nel punto medio di ciascuno dei quattro
bracci delle diagonali.
20
(No Transcript)