Mod

1
Modélisation 3D

• Réalisation d'une image de synthèse
• Modélisation représentation des formes et des
  dimensions
• Visualisation couleur, matière, lumière
• Animation mouvement, changement de scène
• Historiquement les premiers modèles sont
  bidimensionnels
• réalisation de plan
• peu adapté à des objets complexes
• Modélisation tridimensionnelle
• représentation virtuelle d'un objet dans ses 3
  dimensions
• On distingue 3 types de modèles
• Fil de fer
• Modèle surfacique
• Modèle volumique
• Actuellement logiciel "orienté objets 
• 3D studio, java, C

2
Eléments manipulés en 3D

• Niveau 0
• points, droites et segments
• cercles et arcs de cercles
• courbes
• Niveau 1
• plans
• surfaces de révolution
• surfaces réglées, surfaces gauches
• surfaces fractales
• Niveau 2
• cylindre, cônes, prismes
• polyèdres quelconques
• volumes quelconques
• Formes, dimensions position, couleur,
  matière

3
Elements de géométrie

• Coordonnées
• Repère orthonormé 3 axes X, Y et Z, un centre
  (0,0,0)
• Plusieurs types de coordonnées
• Transformation géométrique
• Rotation centre de rotation, axe de rotation
• Translation
• Homothétie
• Différentes vues

Coord. objet
Coord. écran
Coord. absolues
4
Modèle Fil de Fer

• Historiquement le premier
• On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des
  sommets et les arêtes qui les relient
• Conduit à des ambiguïtés
• Elimination des parties cachées
• Perspective
• Peut donner des solides sans sens physique

5
Modèle surfacique

• Permet la définition de surfaces très complexes
• Répond à de nombreux besoins de l'industrie
  aéronautique, automobile
• Utilisation des modèles mathématiques
  d'approximation

6
Construction de Courbes Contraintes

• Au niveau utilisateur
• Rapidité
• Transparence
• Suite des méthodes habituelles
• l'utilisateur peut "voir" la courbe (points de
  contrôle)
• modification interactive
• Au niveau concepteur de systèmes
• fonctions simples et stables numériquement
  polynômes
• indépendance des axes forme paramétrée
• contrôle local ou global par morceaux
• ordre de continuité
• propriété de "variation décroissante"

7
Comment construire une courbe dune certaine forme

• A main levée
• Par construction mathématique
• n cherche une courbe qui passe par des
  points.
• gt Méthodes par morceaux
• Méthodes globales
• Méthodes mixtes splines , Bézier

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Fonctions définies par morceaux

• La plus simple linéaire par morceaux
• Plus lisse cubique par morceaux
• Problèmes de raccordements
• Fonction continue
• Dérivée continue

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Méthodes globales

• Interpolation de Lagrange (1800)
• On calcule le polynôme qui passe exactement par
  les points
  n inconnues ltgt n conditions
• Interpolation dHermite
• On peut ajouter des conditions sur la dérivée en
  chaque point
• Inconvénients en CAO
• Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires
• Résultats parfois mauvais trop dondulations
• Modification dun point?

10
Fonction spline cubique

• Modélisation mathématique de la latte des
  dessinateurs (1950)
• Fonction qui passe par des points donnés et qui
  minimise l'énergie de flexion. On l'appelle
  spline cubique naturelle
• Spline cubique
• Polynôme de degré 3 sur chaque intervalle
• Fonction continue
• Dérivée continue
• Dérivée seconde continue
• Modification dun point
• Modification locale

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Fonction spline d'interpolation

• On se donne des points de "passage"
• Sur chaque intervalle 4 inconnues gt il
  faut 4 conditions
• 2 conditions sur la position des points
  extrémités
• Inconvénients
• Calculs longs
• Modifications pas complètement locales
• Ondulations
• gt Points de "passage" deviennent des points de
  "contrôle"

2 conditions de raccordement gt On les obtient
par résolution d'un système
12
Approximation B-spline

• Définition
• A partir des N1 points ordonnées P0, P1,..... PN
  qui forment le polygone de contrôle, la courbe
  B-spline est définie par P(u)
• Fonction de base B-spline Ni,2(x)
• Fonction de base B-spline Ni,4(x)

13
Courbes B-spline

• Influence de lordre
• Influence dun point
• Splines sous-tension
• On tire en chaque point gt

14
Courbes de Bézier

• Représentation par polygone de contrôle
• A partir des n1 points ordonnés P0, P1,..... PN
  qui forment le polygone de contrôle,
  la courbe Bézier est définie par
• P(u) où Bi,n(u)
  Cui(1 - u)n-i
• Le degré dépend du nombre de points de contrôle
• Modification d'un point gt modification de toute
  la courbe
• pour n "grand" calculs longs

modification difficile
15
Courbes de Bézier composites

• Juxtaposition de courbes de Bézier simples
  définies par les polygones de contrôle
• Raccordement C0
• Raccordement C1
• Bézier cubique définie à partir de 2 points et de
  la dérivée en chaque extrémité, direction et
  longueur (module)
• Dans les logiciels courants, manipulation de
  "poignées"

16
Les courbes NURBS

• NURBS Non Uniform rational B-splines
• A lorigine faites pour une meilleure
  approximation des coniques (cercle, ellipse,
  parabole, hyperbole)
• Une courbe NURBS est définie à partir de N1
  points de contrôle P0,P1,...Pn et de n1 poids
  w0 , w1 ,, wn par
• P(u)
• Plus de degés de liberté, les poids peuvent être
  positifs ou négatifs

17
Courbes NURBS quadratiques

• Dans la pratique, souvent 3 points de contrôle
  P0, P1, P2
• avec w0 w2 1, et w1 variable
• P(u)
• Courbes complémentaires obtenues avec - w1

18
Surfaces B-Splines

• Produit tensoriel
• 2 paramètres u et v
• Réseau de points de contrôle Pi,j
• Surface B-spline P(u,v) Pi,j
  Ni,k(u) Nj,p(v)
• Même propriété que les courbes splines
• la surface appartient à l'enveloppe convexe
• variation décroissante
• algorithmes de calculs rapides

19
Carreaux de Bézier

• Produit tensoriel
• 2 paramètres u et v
• Réseau de points de contrôle Pi,j
• Surface de Bézier P(u,v) Pi,j Bi,n(u) Bj,m(v)
• Propriétés
• les frontières du carreau sont des courbes de
  Bézier dont les points de contrôle sont les
  points frontières du réseau
• la surface appartient à l'enveloppe convexe

20
Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines)

• Recollement des carreaux de Bézier
• Réseau dégénéré

21
Surfaces biparamétriques

• Modification de la surface

22
Patches triangulaires

• Coordonnées barycentriques (u,v) gt (r,s,t)
  rst1
• Surface définie sur des patches triangulaires
• P(u,v) Ci,j,k B
• où B risjtk
• Réseau de degré 2
• Réseau de degré 10 Réseau de degré 20

23
Patches triangulaires

• Réseau de degré 1 gt facettes planes
• Modification de la surface

24
Transformation Objet 3D gt Bézier

• Transformation en Bézier
• Après passage dans 3D sculpter

25
Surfaces de révolution

• Surface créée à partir
• d'une courbe
• d'un axe de rotation
• de position de la courbe par rapport à l'axe de
  rotation
• d'un angle de rotation

26
Surfaces extrudés

• Surface créée à partir d'une courbe plane en lui
  donnant de l'épaisseur
• Extrusion généralisée
• Une courbe plane fermée
• Une trajectoire
• Position et modification de la courbe plane le
  long de la trajectoire

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Sweeping

• Construction par déplacement
• Une courbe plane
• Un axe de rotation
• Un angle de rotation
• Un déplacement

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Wraping

• Construction par Déformation
• Torsion
• Enroulement

29
Surfaces Fractales

• Montagnes fractales
• Construction récursive du terrain

30
Les Graftals

• Construction par ramification
• Alphabet
• Règles de production

Règles de production
génération 2
31
Composition booléenne de volumes

• Opérateur booléen Union
• Intersection
• Différence

ou
32
Modélisation volumique

• Représentation par Arbre de construction CSG
• Représentation par les limites BREP

33
Morphing

• Morphing par  particule 

34
Morphing

• Vrai morphing

35
Morphing

• Vrai morphing

36
(No Transcript)