Aplikasi Inklusi-Eksklusi

1
Aplikasi Inklusi-Eksklusi
2
Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi

• Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari
  suatu bilangan bulat positif
• Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga
  ke himpunan hingga lainnya.
• Masalah derangement penitipan topi (the
  hatcheck problem)

3
Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi

• Misalkan S himpunan dengan jumlah anggota N.
• Ai subhimpunan yang memuat
  anggota dengan sifat Pi.
• banyaknya anggota dengan semua sifat
  maka
• banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat
• maka
• Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

4
Contoh 1

• Ada berapa solusi yang dimiliki oleh
• x1 x2 x3 11
• dengan x1, x2, x3 bilangan bulat tak negatif dan
  x1 ? 3, x2 ? 4, dan x3 ? 6.
• Solusi.
• Misalkan P1 sifat x1 gt 3, P2 sifat x2 gt 4, dan
  P3 sifat x3 gt 6.
• Maka banyaknya solusi adalah

5
Contoh 1

• N jumlah solusi total C(311-1,11) 78
• N(P1) jumlah solusi dengan x1 ? 4 C(37-1,7)
  36
• N(P2) jumlah solusi dengan x2 ? 5 C(36-1,6)
  28
• N(P3) jumlah solusi dengan x3 ? 6 C(35-1,5)
  15
• N(P1 P2) jumlah solusi dengan x1 ? 4 dan x2 ? 5
  C(32-1,2) 6
• N(P1 P3) jumlah solusi dengan x1 ? 4 dan x3 ? 7
  C(30-1,0) 1
• N(P2 P3) jumlah solusi dengan x2 ? 5 dan x3 ? 7
  0
• N(P1P2P3) jumlah solusi dengan x1 ? 4, x2 ? 5
  dan x3 ? 7 0
• Jadi, N(P1P2P3) 78 - 36 - 28 - 15 6 1 0
  - 0 6

6
The Sieve of Erotosthenes

• Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak
  melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu.
• Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh
  bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan
  tersebut.
• Contoh 2.
• Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak
  melebihi 100.
• Solusi.
• Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100
  tidak akan melebihi 10.
• Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi
  2, 3, 5, atau 7.

7
The Sieve of Erotosthenes

• Misalkan P1 sifat bilangan habis dibagi 2, P2
  sifat bilangan habis dibagi 3, P3 sifat bilangan
  habis dibagi 5, dan P4 sifat bilangan habis
  dibagi 7.
• Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1
  dan tidak melebihi 100 adalah 4 N(P1 P2 P3
  P4)
• Jadi, menurut inklusi-eksklusi

8
The Sieve of Erotosthenes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
81 83 85 87 89
91 93 95 97 99
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49
53 55 59
61 65 67
71 73 77 79
83 85 89
91 95 97
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47 49
53 59
61 67
71 73 77 79
83 89
91 97
1 2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
9
Banyaknya fungsi pada

• Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan
  dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota?
• Solusi.
• Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b1,
  b2, dan b3. Misalkan P1, P2, dan P3 adalah sifat
  bahwa b1, b2, dan b3 tidak berada dalam range
  fungsi.
• Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak
  memiliki semua sifat P1, P2, atau P3, maka
  banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6
  anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

10
Banyaknya fungsi pada

• N banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6
  anggota ke himpunan dengan 3 anggota 36.
• N(Pi) banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi
  dalam range 26.
• N(Pi Pj) banyaknya fungsi yang tidak mempunyai
  bi dan bj dalam range 16 1.
• N(P1 P2 P3) banyaknya fungsi yang tidak
  mempunyai b1, b2, dan b3 dalam range 0.
• Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan
  6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah
• 36 - C(3,1) 26 C(3,2) 1 0 540

11
Banyaknya fungsi pada aplikasinya

• Teorema 1
• Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m
  ? n. Maka, terdapat
• nm - C(n,1) (n-1)m C(n,2) (n-2)m (-1)n-1
  C(n,2) 1m
• fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke
  himpunan dengan n anggota.
• Soal 1.
• Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima
  pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang
  berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal
  satu pekerjaan?
• Soal 2.
• Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam
  mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap
  anak mendapatkan minimal satu mainan?

12
Derangements

• Derangement adalah permutasi obyek-obyek, di mana
  tidak ada obyek yang menempati tempat aslinya.
• Contoh 3.
• Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456.
• Permutasi 653124 bukanlah derangement dari
  123456.
• Misalkan Dn menyatakan banyaknya derangement dari
  n obyek.
• Contoh 4. D3 2

13
Banyaknya derangement dari n obyek

• Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat Pi jika
  permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap
  pada tempatnya.
• Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota
  adalah permutasi yang tidak memiliki sifat Pi,
  i1,2,,n. Jadi,
• N banyaknya permutasi dengan n anggota n!
• N(Pi) banyaknya permutasi yang menetapkan satu
  anggota (n-1)!
• N(Pi Pj) banyaknya permutasi yang menetapkan dua
  anggota (n-2)!
• N(Pi1 Pj2 Pjm) banyaknya permutasi yang
  menetapkan m anggota (n-m)!

14
Banyaknya derangement dari n obyek

• Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari
  n anggota, maka
• ? N(Pi) C(n,1) (n-1)!
• ? N(Pi Pj) C(n,2) (n-2)!
• Dan secara umum, ? N(Pi1 Pj2 Pjm) C(n,m)
  (n-m)!
• Sehingga,
• Teorema 2.
• Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n
  anggota adalah

15
The Hatcheck Problem

• Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi
  suatu rumah makan menerima titipan topi dari n
  pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori
  topi-topi tersebut.
• Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali
  topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari
  topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa
  tidak ada seorang pun yang menerima topinya
  kembali.

16
The Hatcheck Problem

• Solusi.
• Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima
  topinya kembali adalah
• Jika n membesar tanpa batas.