Estruturas de Dados, Algoritmos e Complexidade

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Estruturas de Dados, Algoritmos e Complexidade

• Katia Guimarães

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Algoritmos
Algoritmo é um processo sistemático para a
resolução de um problema. Algoritmo é
uma seqüência finita de passos bem definidos que
levam à execução de uma tarefa. Exemplo
clássico Receita culinária ? Note que a
noção de bem-definido é em si mesmo
vaga. Ex Mexer até ficar consistente. ?
A palavra algoritmo não tem acento.
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Ex Algoritmo para Trocar um Pneu
1. Folgar os parafusos do pneu a ser trocado
2. Instalar o macaco e levantar o carro do lado
do pneu a ser trocado. 3. Remover
completamente os parafusos do pneu e
retirá-lo do suporte. 4. Remover o pneu estepe
do local onde é guardado, colocar o pneu
no suporte e recolocar os parafusos. 5.
Baixar o carro ao nível da rua. 6. Apertar os
parafusos. 7. Guardar o pneu retirado, o macaco
e demais ferramentas.
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Algoritmos
Note 1. Pré-suposições do algoritmo
Existem operações que você já sabe fazer, que
podem ser básicas ou mais elaboradas. 2.
Nível de detalhamento PASSO 2 Instalar o
macaco e levantar o carro do
lado do pneu a ser trocado. 1. Tire o
macaco da mala. 2. Instale o macaco sob o
carro próximo ao pneu a ser
trocado. 3. Se o carro está em local
ladeiroso, colocar um suporte de
madeira para evitar que ele se mova. 4.
Alavanque o macaco até que haja espaço para o
pneu estepe entrar.
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Algoritmos Computacionais
Entrada Dados inicialmente conhecidos, os quais
permitem encontrar a solução do
problema. Saída Resultado obtido pelo
processamento de uma entrada
específica (instância).
Entrada
Saída
Algoritmo
Definição alternativa de Algoritmo Computacional
Procedimento que transforma dados em informação.
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Algoritmos Computacionais

• Aspectos Básicos
• Correção Consiste em verificar a exatidão do
  método, o que é realizado através de uma prova
  usando as premissas do problema.
• Ex. - Todos os valores da entrada são
  positivos
• - A entrada está em ordem
  alfabética.
• Complexidade Visa a obtenção de parâmetros que
  possam avaliar a eficiência do algoritmo em
  termos de recursos computacionais (tempo de
  execução, memória ocupada, no. de nós se
  processamento distribuído).

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Algoritmos versus Programas

• Especificação do problema Entendimento das
  relações
• existentes entre os dados que são relevantes
  para o problema
• (estruturação lógica).
• 2. Projeto em alto nível Que transformações
  deverão ser
• efetuadas - algoritmo - para resolver o problema.
• 3. Refinamento e codificação Refinar o item 2 em
  termos dos
• mecanismos disponíveis na linguagem em que o
  programa
• será codificado.
• 4. Verificação de Comportamento Avaliar o
  programa obtido
• para ver se satisfaz as especificações do
  problema e se tem bom
• desempenho (tempo e memória), modificando-o, se
  for o caso.

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Algoritmos e Estruturas de Dados versus
Complexidade
A escolha de estruturas de dados e das operações
realizadas são fatores decisivos na eficiência
do programa final.
O conhecimento de princípios de complexidade
computacional é requisito básico para a escolha
correta das estrutura de dados e dos algoritmos
mais adequados a cada problema.
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Como Avaliar a Eficiência?

• Métodos Empíricos - O tempo de execução é obtido
  através da execução propriamente dita do
  algoritmo, considerando-se entradas diversas.
  (Depende fortemente de tecnologia.)
• Métodos Analíticos O tempo de execução é
  expresso através de expressões matemáticas que
  traduzem o comportamento do algoritmo em termos
  do tamanho da entrada. Entre entradas de mesmo
  tamanho que usam tempos de execução diferentes,
  considera-se sempre o pior caso.

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O Que é Tamanho da Entrada?

• Ordenação Número de itens a ordenar. (Tamanho n
  do vetor para ordenar).
• Multiplicação de 2 inteiros Número total de bits
  necessários para representar a entrada em notação
  binária.
• Multiplicação de matrizes Número de linhas e de
  colunas das duas matrizes.

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Exemplo de Análise de Complexidade
Algoritmo Somatório(A array de inteiros,
tamn) Início soma 0 i n
repetir os comandos soma soma
Ai i i - 1 até que i 0
output (soma) Fim
Tempo constante Tempo constante
Trecho realizado algumas vezes.
Quantas?
n
Tempo execução Cte. (tsomtatrtsubtcomp) n
_______________________ Cte.2
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Outro Exemplo de Análise
Algoritmo Inversão de seqüência Entrada
Elementos armazenados no vetor Si, i1..n.
Saída Sequência invertida dos elementos de
Si. Início Para i 1 .. ?n/2? faça
temp Si Si Sni1
Sni1 temp Fim
i 1 2 3 4
ni1 n n-1 n-2 n-3
Laço é executado n/2 vezes. A cada iteração é
feita uma troca. Ao final a seqüência está
invertida. Tempo de execução (toperações) n/2.
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Observando os Tempos de Execução
Algoritmo Somatório Cte. (tsomtatrtsubtcom
p) n C1 C2 n
Algoritmo Inversão de Seqüência
(toperações) n/2 C3 n/2
O que importa Ambos os algoritmos são LINEARES
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Observando os Tempos de Execução
Gostaríamos de substituir as funções encontradas
por uma função mais simples, que tenha o mesmo
crescimento assintótico. C1 C2 n
? n C3 n / 2 ? n
Se a função tem termos de ordem
diferente, gostaríamos de capturar o termo de
mais alta ordem 6 n3 4n 9 ? n3
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Notação que Captura esta Noção
Em complexidade computacional usamos uma notação
que em funções do tipo C1 C2 n
ou C3 n/2 ignora as constantes -
Aditivas (como C1) - Multiplicativas (como
C2, C3 e 1/2)
Ex Se número de passos 3n dizemos que o
tempo de execução é O(n).
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Notação que Captura esta Noção
Esta notação também despreza termos de ordem
menor.
Ex Se número de passos n2 n dizemos
que o tempo de execução é O(n2). O
objetivo é ressaltar o termo que domina a
curva da função.
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Notação O - Definição Formal
Sejam f e h funções positivas de variável inteira
n. Diz-se que f é O(h), escrevendo-se f O(h),
quando existirem - Uma constante c gt 0 e
- Um valor inteiro n0, tais que
n gt n0 ? f (n) ? c . h(n)
Dois detalhes 1. n gt n0 ? A definição
desconsidera entradas
de tamanho pequeno. 2. Para entradas
arbitrariamente grandes, a diferença
entre o valor das duas funções é no
máximo uma constante multiplicativa c.
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Detalhe 1 O significado de n0
n gt n0 ? A definição desconsidera entradas de
tamanho pequeno.
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Detalhe 2 O Significado de c
4 vezes
4 vezes
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Detalhe 2 O Significado de c
Note que, embora aparentemente a distância
entre as curvas rosa e azul no início não seja
grande, quando n cresce arbitrariamente,
a distância entre elas não pode ser definida
por uma constante.
4 vezes
4 vezes
Como identificar se há existe uma tal constante
ou não? Calculando lim (f(n)/g(n)) e lim
(g(n)/f(n)). n?8
n?8
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Exemplos de Notação O
f n2 1 ? f O(n2) f n2 1 ?
f O(n3) f 403 ? f O(1) f
3n 5 log n 2 ? f O(n) f 5?2n
5n10 ? f O(2n)
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Uso da Notação O
Limite superior para o tempo de execução de um
algoritmo. INTERPRETAÇÃO Algoritmo A executa em
tempo (f) no máximo uma constante vezes h.
Relembrando a definição Sejam f e h funções
positivas de variável inteira n. Diz-se que f é
O(h) quando existirem - Uma constante c gt 0
e - Um valor inteiro n0, tais que
n gt n0 ? f (n) ? c . h(n)
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A Notação Simétrica O
Definição (notação ? ) Sejam f e h funções
positivas de variável inteira n. Diz-se que f é
?(h), escrevendo-se f ?(h), quando existirem
- Uma constante c gt 0 e - Um valor
inteiro n0, tais que n gt n0
? f(n) ? c . h(n)
Uso da notação O Limite inferior para o
tempo de execução. O problema X requer pelo
menos tempo h.
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A Notação O
Ex f n2 1 ? f ?(n2)
f ?(n)
f ?(1) Mas não vale f ?(n3)
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A Notação T
Se f O(h) e f ?(h), dizemos que f T(h),
ou seja, f é da ORDEM EXATA de h.
Algoritmo A executa em tempo no máximo h. e
O problema X requer pelo menos tempo h.
Logo, o tempo de execução é ótimo.
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Pior Caso
Muitas vezes o tempo de execução de um algoritmo
não depende apenas do tamanho da entrada, mas
depende também do conteúdo da entrada. Se um
algoritmo toma tempos diferentes para entradas do
mesmo tamanho, em geral consideramos sempre o
pior caso, ou seja, o tempo que o algoritmo
gasta na pior entrada de tamanho n.
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Caso Médio
Para alguns algoritmos em particular, o tempo de
execução de um algoritmo não depende muito do
conteúdo da entrada. Nestes casos, muitas vezes
nós consideramos o tempo médio de execução, ou
seja, a média dos tempos de execução para todas
as entradas de um mesmo tamanho.
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Leitura Sugerida
? Cap. 3 de Udi Manber
Analysis of Algorithms Sugestão
Faça exercício 3.5. ? Caps. 1 e 2 de T. Cormen
et al. 1. Introduction (Analysing
Algorithms) 2. Growth of Functions