Quaternionen

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Quaternionen

• Eugenia Schwamberger

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Inhalt

• Komplexe Zahlen
• Quaternionen
• Einheitsquaternionen
• Rotation mit Quaternionen
• Beispiel
• Matrix Conversion
• Anhang A Körper, Schiefkörper
• Anhang B Vektorprodukt, Skalarprodukt
• Literatur

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Komplexe Zahlen

• Definition
• Es sei C RR das kartesische Produkt. An
  Stelle des geordnetes Paar (x, y) schreiben wir
  x iy ? C für x, y
  ? R.
• Grafische Darstellung

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Komplexe Zahlen 2

• Addition
• (x iy) (u iv) (x u) i(y v)
• Multiplikation
• (x iy) (u iv) (xu yv) i(xv yu)
• Kommutativer Körper mit 1 1 i 0 als
  Einselement der Multiplikation
• Für z x iy
• Betrag z
• Konjugierte z x iy

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Quaternionen 1 Einführung

• Erst beschrieben von W.R. Hamilton, im 1843
• Eingeführt im Feld von Computergrafik von
  Shoemake, im 1995
• Was sind Quaternionen?

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Quaternionen 2

• Definition
• Ein Quaternion q ist ein Quadrupel, bestehend aus
  dem Skalar qw und dem Vektor qv
• q ( qv, qw )
• (qx, qy, qz, qw)
• i qx j qy k qz qw
• mit qx, qy, qz, qw ?R und
• ij k, ji -k, jk i,
• kj -i, ki j, ik -j
• 
  

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Quaternionen 3

• Der Vektor qv (qx, qy, qz) heißt der
  imaginäre Teil und qw heißt der reelle Teil
  von Quaternion q
• Für imaginäre Teil
• Addition
• Produkt
• Kreuzprodukt und andere

• Vektoren als Quaternionen
• v (v, 0)
• Skalare als Quaternionen
• s (0, s)

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Quaternionen 4

• Multiplikation ist nicht kommutativ
• Quaternionen bilden einen Schiefkörper
• Multiplikation von zwei Quaternionen

i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1
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Quaternionen 5

• Skalarprodukt
• s q (o, s) (gv , qw) (s gv , s qw)
• q s (gv , qw) (0, s) (gv s , qw s)
• (s gv , s qw)
• Kreuzprodukt qvxrv
• (i qx j qy k qz)x(i rx j ry k rz)
  
• i (qyrz qzry)
• j (-qxrz qzrx)
• k (qxry - qyrx)
• qxrx - qyry qzrz gt
• qvxrv mv

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Quaternionen 6

• Multiplikationen von zwei Quaternionen
• q r
• (i qx j qy k qz qw )x(i rx j ry k rz
  rw)
• i (qyrz qzry qxrw qwrx)
• j (-qxrz qzrx qyrw qwry)
• k (qxry qyrx qzrw qwrz)
• qwrw - qxrx - qyry qzrz
• (qvxrv rwqv qwrv, qwrw qvrv)

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Quaternionen 7

• Addition
• q r (qv, qw) (rv, rw) (qv rv, qw rw)
• Konjugierte Quaternionen
• q (qv, qw) ( - qv, qw)
• Der Norm N(q) bzw. q²
• N(q) q q q q qv qv qw² qx² qy²
  qz² qw²
• Die Identität
• I (0, 1)

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Multiplikative Inverse

• Behauptung
• Die zu einem Quaternion q multiplikative Inverse
  ist
• q-1 q/N(q)
• Wir leiten diese Formel von der Definition des
  Normen her.
• q-1 q q q-1 1 Gilt für Inverse
• N(q) q q ?
• 1 (q q ) / N(q) gt
• q-1 q/N(q)

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Regeln

• Für Konjugierte Quaternionen
• (q) q
• (q r) q r
• (q r) r q
• Für den Norm von Quaternionen
• N(q) N(q)
• N(q r) N(q) N(r)

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Gesetze für Multiplikationen

• Distributivgesetze
• p (s q t r) s p q t p r wobei p, q, r
  sind Quaternionen, und s, t -
  Skalaren
• (s p t q) r s p r t q r
• Assoziativität
• p (q r) (p q) r

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Einheitsquaternionen

• Quaternionen mit N(q) 1 heißen
  Einheitsquaternionen.
• q (uq sin?, cos?)
• für drei-dimensionalen Vektor uq mit N(uq) 1,
  weil
• N(q) n(uq sin?, cos?) sin² ?(uq uq) cos² ?
  sin² ? cos² ? 1
• Die menge aller Einheitsquaternionen bildet eine
  Einheitssphäre im vierdimensionalen Raum.

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Rotation mit Quaternionen

• Sei gegeben Vektor P (px py pz pw)T
• Wir bringen die Koordinaten von P in ein
  Quaternion p ein, p (px, py, pz, pw).
• Angenommen, dass wir ein Einheitsquaternion q
  (uq sin?, cos?) haben, dann gilt
• qpq-1
• rotiert p um die Achse uq
• mit dem Winkel 2?
• Anmerkung
• Für Einheitsquaternion q gilt
• q q-1

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Rotation mit Quaternionen 2

• Gegeben sei zwei Vektoren v1 und v2
• N(v1) N(v2) 1
• cos? v1 v2
• uq (v1xv2) / v1xv2
• N(uq) 1
• q v2 v1 (v1xv2, v1 v2)
• ? q (uq sin?, cos ?)

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Rotation mit Quaternionen 3

• (q v1q) liegt in der gleichen Ebene wie v1 und
  v2 und schließt mit v2 den Winkel ? ein.
• (q v1q)v2
• (q v1((v2v1)))v2
• q (v1v1)(v2v2)
• q (v2 v1 )

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Rotation mit Quaternionen 4

• Das Produkt qpq-1
• führt p (pv, pw) nach p (pv, pw) über,
• wobei N(pv) N(pv) ist, (die Länge des Vektors
  hat sich nicht geändert)
• Liegt in der gleichen Ebene wie p
• Schließt mit dem p den Winkel 2?

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Beispiel

• Punkt P(0, 2, 6) soll um 60 bzg. der
  z-Achse rotiert werden.
• p 0i 2j 6k,
• q (uqsin?, cos?), uq (0, 0, -1), ? 30
  gt
• q (- 0.5k cos30) (?3/2 0.5k)
• q (?3 / 2 0.5k)
• Berechne q p q
• (?3/2-0.5k)(2j 6k)(?3/2 0.5k)
• (i ?3j 3 ?3k 0.5 6)(?3/2 0.5k)
• (?3i j 6k) gt
• P (1.73 1 6)T

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Matrix Conversion

• Ein Quaternion q kann in eine Matrix Mq
  folgendermaßen konvertiert werden
• 1-s(qy² qz²) s(qxqy - qwqz) s(qxqz
  qwqy) 0 Mq s(qxqy
  qwqz) 1-s(qx² qz²) s(qyqz qwqx) 0
  s(qxqz - qwqy) s(qyqz qwqx)
  1-s(qx² qy²) 0 0
  0 0 1
• Wobei s 2/N(q)

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Matrix Conversion 2

• Wenn N(q) 1, dann
• 1-2(qy² qz²) 2(qxqy - qwqz)
  2(qxqz qwqy) 0 Mq
  2(qxqy qwqz) 1-2(qx² qz²) 2(qyqz qwqx)
  0 2(qxqz - qwqy) 2(qyqz
  qwqx) 1 - 2(qx² qy²) 0 0
  0 0
  1

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Matrix Conversion 3

• Rückwärtsumrechnung
• m21q - m12q 4qwqx m02q - m20q
  4qwqy () m10q - m01q 4qwqz
•  d.h. wenn qw bekannt ist, können wir die qx, qy,
  qz berechnen.

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Matrix Conversion 4

• trace einer Matrix M - tr(M)
• tr(Mq) 4- 2s(qx² qy² qz²)
• 4 (1- (qx² qy² qz²) /(qx² qy² qz² qw²))
• 4qw² / (qx² qy² qz² qw²)
• 4qw² / N(q)

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Matrix Conversion 5

• Dieses Resultat liefert die folgende Umrechnung
  für Quaternionen
• qw 0.5 ?tr (Mq)
• qx (m21q - m12q) / 4qw ()
• qy (m02q - m20q) / 4qw
• qz (m10q - m01q) / 4qw
•  

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Matrix Conversion 6

• Lösung ist nicht stabil, Division von kleinen
  Zahlen wird vermieden.
• Deshalb setzen wir zuerst t qw² - qx² -
  qy² - qz² ein, daraus folgt
• m00 t 2qx²
• m11 t 2qy²
• m22 t 2qz²
• u m00 m11 m22 2 qw²

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Matrix Conversion 7

• Wir halten folgendes fest
• 4qx² m00 - m11 - m22 m33
• 4qy² - m00 m11 - m22 m33
• 4qz² - m00 - m11 m22 m33
• 4qw² tr(Mq)

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Sphärische Lineare Interpolation

• Gegeben sei zwei Einheitsquaternionen q und r und
  ein Parameter t ?0, 1. Dann ist
• s (q, r, t) (rq-1)tq
• slerp(q, r, t)
• q ? sin(?(1 t)) / sin? r ? sin(?t) / sin
  ?
• mit cos? qxrx qyry qzrz qwrw.
• Diese Funktion berechnet für t 0, 1 die
  kürzeste Verbindung (Großkreis) auf der
  vierdimensionalen Einheitssphäre
  zwischen q und r.
• Dies ist für die Interpolation (Animation) von
  Orientierungen von Körpern ideal geeignet.
• Nicht sehr gut für die Orientierung der Kamera,
  da sich der Camera-up Vektor verändern kann!

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Transformation mit Quaternionen

• Vorteile
• Die Rotation erfolgt direkt um die gewünschte
  Drehachse.
• Es kann mit dem Verfahren wie SLERP zwischen zwei
  Orientierungen interpoliert werden
• Die Verkettung von Rotationen ist effizienter.

• Nachteile
• Mehr Mathematik
• Nicht sehr gut für Kameraorientierungen geeignet

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Anhang A

• Körper
• Sei (K, , ) eine Menge mit zwei Verknüpfungen.
  K ist ein Körper, wenn
• Assoziativgesetz der Multiplikation und der
  Addition gilt
• Kommutativgesetz der Multiplikation und der
  Addition gilt
• Nullelement und Einselement existieren
• Inverse der Addition exsistiert
• Inverse der Multiplikation exsistiert
• Schiefkörper
• Die Multiplikation ist nicht kommutativ

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Anhang B

• Vektorprodukt
• v?u vu sin(v, u)
• v?u ist orthogonal zu v und u
• Bilden ein Rechtsystem in der Reihenfolge
• v, u, v?u.
• Skalarprodukt
• u v vu cos(v, u)

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Literatur

• Tomas Möller, Erik Haines. Real Time Rendering.
  
• Alan Watt. 3D Computergrafik.
• B.L. van der Waerden. Hamiltons Entdeckung der
  Quaternionen.
• Peter Meyer-Nieberg. Analysis I. Vorlesung SS2001