Universidade Federal de Pernambuco

1
Revisão Unidade 2

• Universidade Federal de Pernambuco
• Centro de Informática
• Anjolina Grisi de Oliveira

2
Relações

• O que é uma relação em um conjunto?
• Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S
  para S
• Em outras palavras, é um subconjunto de S ? S
• O que é uma relação reflexiva?
• - Uma relação R em um conjunto S é chamada de
  reflexiva se (s,s) ? S para todo elemento s ? S.

3
Relações

• O que é uma relação simétrica?
• Uma relação R em um conjunto S é chamada
  simétrica se (b,a) ? R toda vez que (a,b) ? R,
  para a,b ? S.
• Em outras palavras Se (a,b) ? R ? (b,a) ? R.
• O que é uma relação anti-simétrica?
• - Uma relação R em um conjunto S é chamada
  anti-simétrica se quando (a,b) ? R e (b,a) ? R
  então a b, para a,b ? S.
• - Se (a,b) ? R ? (b,a) ? R ? a b.

4
Relações

• O que é uma relação transitiva?
• Uma relação R em um conjunto S é chamada
  transitiva se toda vez que (a,b) ? R e (b,c) ?
  R, então (a,c) ? R, para a,b,c ? S.
• Se (a,b) ? R ? (b,c) ? R ? (a,c) ? R.

5
Exemplos

• Defina uma relação no conjunto 1,2,3,4 que
  seja
• a) reflexiva, simétrica e não seja transitiva.
• R(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(2,1),(3,2
  )
• b) simétrica, transitiva, e não reflexiva
• R(1,1)
• c) reflexiva, anti-simétrica e não transitiva.
• R(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)
• d) reflexiva, simétrica e transitiva
• R(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)
• e) reflexiva, anti-simétrica e transitiva
• R(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)

6
Relações

• Explique como uma matriz de bits pode ser usada
  para representar uma relação em um conjunto
  finito S.
• Liste os elementos de S em uma ordem arbitrária
  s1,s2,...,sn
• A relação R pode ser representada pela matriz MR
  mij onde
• mij 1, se (si,sj) ? R
• mij 0, se (si,sj) ? R

S1,2,3 e R(1,2),(2,2),(3,1) Ordem 1,2,3
0 1 0 0 1 0 1 0 0
7
Relações

• Explique como uma matriz de bits que representa
  uma relação em um conjunto finito S pode ser
  usada para determinar se a relação é reflexiva,
  simétrica, e anti-simétrica.
• Reflexiva se todos os elementos da diagonal
  principal forem iguais a 1
• Simétrica se a matriz for igual a sua transposta
• Anti-simétrica para i ? j, se mij 1 então
  mji 0. Ou em outras palavras, quando i ? j,
  ou mij 0 ou mji 0

1 1 0 0 1 0 1 0 1
Reflexiva e anti-simétrica
8
Relações de Equivalência

• O que é uma relação de equivalência em um
  conjunto?
• É uma relação que é reflexiva, simétrica e
  transitiva

• Que relações no conjunto a,b,c,d são relações
  de equivalência e contêm os pares (a,b) e (b,d) ?
• R1(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a
  ),(d,b),(d,a)
• R2(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a
  ),(d,b),(d,a)(a,c),(c,a),(b,c),(d,c),(c,b),(c,d),
  

9
Relações de Equivalência

• O que acontece com um conjunto onde é definida
  uma relação de equivalência ?
• É criada uma partição no conjunto

• Dê um exemplo de uma relação de equivalência em
  um conjunto e identifique o conceito de classes
  de equivalência, relacionando-o com a noção de
  partição.
• Seja S o conjunto dos inteiros positivos
• R (x,y) x ? y (mod 4)
• Existem quatro classes de equivalência quando o
  resto da divisão for 0, 1, 2 ou 3
• Cada classe de equivalência é um subconjunto da
  partição de S.

10
Ordens Parciais

• O que é uma ordem parcial
• É uma relação em um conjunto que tem as seguintes
  propriedades reflexiva, anti-simétrica e
  transitiva

• Mostre que a relação de divisibilidade no
  conjunto dos inteiros positivos é uma ordem
  parcial.
• Reflexiva ?z ? Z, zz
• Anti-simétrica Sejam, a,b,m e n ? Z, se ab e
  ba ? a.m b e b.n a ? a.m.n a ? mn1 ?
  ab
• Transitiva Sejam, a,b,c,m e n ? Z, se ab e
  bc ? a.m b e b.n c ? a.m.n c ? ac, pois
  a operação de multiplicação é fechada em Z.

11
Ordens Parciais

• O que é conjunto parcialmente ordenado?
• É um conjunto S juntamente com uma ordem parcial
  R (S,R)
• Também chamamos de poset (do inglês partially
  ordered set)
• Usamos a notação (S,?) para falarmos de um poset
  arbitrário

12

• Por quê o nome ordem parcial?
• Em (P(Z),?), 1,4 não se relaciona com 1,2 e
  nem vice-versa
• Em (Z,), 2 não se relaciona com 5 e nem
  vice-versa
• Os elementos a e b em um poset (S,?) são chamados
  de comparáveis se ou a ? b ou b ? a. Caso
  contrário, eles são ditos incomparáveis.

13

• Se (S,?) é um poset e cada par de elementos de S
  são comparáveis, dizemos que S é um conjunto
  totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e ?
  é chamada de ordem total ou linear.
• Um conjunto totalmente ordenado é chamado de
  cadeia
• O poset (Z, ? ) é uma cadeia
• O poset (Z,) não é totalmente ordenado

14

• Ordem Lexicográfica
• As palavras em um dicionário são listadas em
  ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é
  baseada na ordem das letras do alfabeto.
• Esse exemplo é um caso especial onde é possível
  ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial
  sobre o alfabeto em que as cadeias são
  construídas.

15

• Como construir uma ordem parcial no produto
  cartesiano de dois posets (A,?1) e (B, ?2)
• A ordem lexicográfica ? em A ? B é definida da
  seguinte forma
• (a1,b1) ? (a2,b2) se
• ou a1 lt1 a2
• ou a1 a2 e b1 lt2 b2
• A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade
  à ordem lt em A ? B

16

• Exemplo
• Seja o poset (Z?Z,? ), onde ? é a ordem
  lexicográfica construída a partir da ordem usual
  ? no conjunto dos inteiros. Determine se
• (3,5) lt (4,8) (3,9)lt(3,10) (6,8) lt (6,9)

17

• Uma ordem lexicográfica pode ser definida no
  produto cartesiano de n posets
• (A1, ?1), (A2, ?2)...,(An, ?n).
• Defina a ordem parcial em A1?A2?...?An por
• (a1,a2,...,an) lt (b1,b2,...,bn)
• Se a1lt1b1ou se existe um inteiro igt0 t.q.
• a1b1...aibi e ai1lti1 bi1.

18

• Ordem lexicográfica de cadeias
• Considere as cadeias distintas a1a2...am e
  b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado
  S
• Seja t o menor dentre m e n
• a1a2...am lt b1b2...bn se e somente se
• (a1,a2...,at ) lt (b1,b2...,bt ) ou
• (a1,a2...,at) (b1,b2...,bt) e mltn

19

• Exemplo
• Suponha que (S,?1) e (T, ?2) são conjuntos
  parcialmente ordenados. Mostre que (S ? T, ?) é
  um conjunto parcialmente ordenado onde (s,t) ?
  (u,v) se e somente se s ?1 u e t ?2 v.

• Reflexiva ?(s,t) ? S ? T, (s,t) ? (s,t) pois s
  ?1 s e t ?2 t
• Anti-simétrica se ((s,t),(u,v)) ? ? e
  ((u,v),(s,t)) ? ? ? s ?1 u , t ?2 v, u ?1 s e v
  ?2 t ? s u e t v ? (s,t) (u,v)
• Transitiva se ((s,t),(u,v)) ? ? e ((u,v),(w,z))
  ? ? ? s ?1 u , t ?2 v, u ?1 w e v ?2 z ? s ?1 w e
  t ?2 z ? ((s,t),(w,z)) ? ?

20
Diagrama de Hasse
Desenhe o diagrama de Hasse para
(2,3,5,9,12,15,18,)
18
Elementos maximais?
15
12,15 e 18
9
12
Elementos minimais ?
2,3,5
2
3
5
Maior elemento?
Menor elemento?
Não
Não
21
Elementos Maximais e Minimais
20
12
10
4
25
5
2

• Seja um poset (S,??).
• O elemento a é maximal nesse poset se não existe
  b ? S de forma que a lt b.
• O elemento a é minimal nesse poset se não existe
  b ? S de forma que b lt a.

22
Maior elemento/ Menor elemento

• a é o maior elemento no poset (S,?? ) se b ? a
  para todo b ? S
• a é o menor elemento no poset (S,?? ) se a ? b
  para todo b ? S
• Quando existem, o maior e o menor elementos são
  únicos

23
Limitante superior/inferior

• Seja A um subconjunto do poset (S,?? ).
• Se u ? S e a ? u para todo a ? A, então u é
  chamado de limitante superior de A.
• Se i ? S e i ? a para todo a ? A, então i é
  chamado de limitante inferior de A.

24
Limitante superior/inferior

• Limitantes superior e inferior dos subconjuntos
  a,b,c, j.h e a,c,d,f do seguinte poset.

h
j
g
f
e
d
b
c
a

• De a,b,c sup e,f,h,j infa
• De j,h sup? inff,d,e,b,c,a
• De a,c,d,f supf,j,h infa

25
Supremo e ínfimo

• Supremo o menor dos limitantes superiores
• Ínfimo o maior dos limitantes inferiores
• Quando existem são únicos
• Qual o supremo e o ínfimo de b,d,g do poset do
  exemplo anterior?

26
Reticulados

• Um poset onde cada par de elementos possui um
  supremo e um ínfimo é chamado de reticulado

f
d
e
c
b
a
O segundo diagrama não é um reticulado. Os
elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e
e f são limitantes superior de b e c, no entanto
não existe o menor entre eles.