CINEMATIQUE DU POINT

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CINEMATIQUE DU POINT

• OBJECTIFS
• - Décrire les principales grandeurs cinématiques
  (position,vitesse,accélération).
• - Définir la trajectoire dun point dun solide
  ou le mouvement du solide.
• - Exprimer une loi qui permette dexprimer la
  position, la vitesse et laccélération dun
  solide en mouvement de translation rectiligne.

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I- CARACTERISTIQUES DU POINT DUN SOLIDE

• 1- Sa position
• cest la distance s parcourue sur la trajectoire
  depuis lorigine
• s f(t)

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2- Sa trajectoire

• On appelle trajectoire du point (M) dun solide
  (S) lensemble des positions occupées
  successivement par ce point au cours de son
  déplacement par rapport à un référentiel donné.
•  
• Notation  TM?S/R trajectoire
• du point M appartenant à S,
• par rapport au repère R.

TM?S/R
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Sa trajectoire en fonction du mouvement
Mouvement de S/R Trajectoire TM?S/R
Translation rectiligne Droite (point, axe)
Translation circulaire Cercle (centre, rayon)
Rotation à axe fixe Cercle (centre, rayon)
Hélicoïdal Hélice (pas)
Plan sur plan Courbe quelconque dans le plan
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3- Sa vitesse moyenne

• cest le rapport de la distance s parcourue par
  la variation de temps t correspondante
• V moyenne s / t
• unités
• m/s m/s
• Exemple
• un sprinter parcourt le 100 m en 10s.
• Sa vitesse moyenne est de

6
4- Sa vitesse instantanée

• cest la dérivée de la position par rapport au
  temps .
• V s(t)
• unités
• m/s

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5 - Son accélération elle soppose à linertie

• - laccélération tangentielle cest la dérivée
  (variation) de la vitesse par rapport au temps
• at V (t) unités
• m/s2
• - laccélération normale
• elle dépend du changement
• de direction du point M.
• an V 2/r unités
• m/s2

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II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME MRU

• 2.1.    Définition

- La trajectoire du point du solide est une
droite (an 0) - Son accélération tangentielle
est nulle (at0) donc sa vitesse est constante au
cours du temps (vconstante) .
2.2     Conditions aux limites du mouvement
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0  0 s instant initial  t  instant particulier du mouvement 
x0  le déplacement initial  x  le déplacement à linstant t
v constante la vitesse v constante la vitesse
a 0 m/s2 l accélération tangentielle a 0 m/s2 l accélération tangentielle
9
2.3. Équations du mouvement ou horaires
a 0 v constante x v.t x0
Nota Pour écrire ces équations, il suffit de
remplacer v et x0 par les valeurs trouvées.
2.4. Graphes du mouvement
Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

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III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE
MRUV

• 3.1.    Définition

- La trajectoire du point du solide est une
droite (an 0) - Son accélération tangentielle
est constante (atconstante).
3.2     Conditions aux limites du mouvement
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0  0 s instant initial  t  instant particulier du mouvement 
x0  le déplacement initial  x  le déplacement à linstant t
v0  la vitesse initiale  v  la vitesse à linstant t
a constante l accélération tangentielle a constante l accélération tangentielle
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3.3. Équations du mouvement ou horaires
a constante v a.t v0 x ½.a.t2 v0.t x0
Nota Pour écrire ces équations, il suffit de
remplacer a, v et x0 par les valeurs trouvées.
3.4. Graphes du mouvement
Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

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(No Transcript)
13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
Exercice 1

• Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 10
  s
• Déterminer les équations du mouvement et sa
  vitesse finale

Réponses MRUV
Conditions Initiales Conditions Finales
t00s t10s
X00m X400m
V00m/s V
a a
x ½.a.t2 v0.t x0 ltgt 400 ½.a.102
0.t 0 gt a 8 m/s2
V a.t v0 ltgt V 8.10 0 gt V 80 m/s
288 km/h
80 m/s
8 m/s2
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Exercice 1 suite
Équations du mouvement pour 0 ltt lt 10s Il
sagit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t)
en remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
x 4.t2 m
v 8.t m/s
a 8 m/s2
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Exercice 2

• Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en
  10s
• Déterminer les équations du mouvement et la
  distance de la phase daccélération

Réponses MRUV avec v(100/3,6)m/s à t10s
v a.t v0 ltgt 27,8 a.10 0 gt a
2,78 m/s2
CI CF
t00s t10s
X00m X
V00m/s V27,8m/s
a a
139 m
x ½.a.t2 v0.t x0 ltgt x ½.2,78.102
0.t 0 gt x 139 m
2,78 m/s2
18
Exercice 2 suite
Équations du mouvement pour 0 ltt lt 10s Il
sagit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t)
en remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
x 1,39.t2 m
v 2,78.t m/s
a 2,78 m/s2
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Exercice 3

• Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h
  sur une voie rapide
• Déterminer les équations du mouvement et sa durée

Réponses MRU avec v(100/3,6)m/s à x300m
CI CF
t00s t
X00m X300m
V027,8m/s V27,8m/s
a 0m/s2 a 0m/s2
x v.t x0 ltgt30027,8.t0 gt t
10,8 s
10,8 s
Équations du mouvement
x 27,8.t m
pour 0 ltt lt 10,8s
v 27,8 m/s
a 0 m/s2
20
Exercice 4

• Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis
  sarrête sur 100 m
• Déterminer les équations du mouvement et sa durée

Réponses MRUV avec v0(100/3,6) 27,8 m/s et
x100m
CI CF
t00s t
X00m X100m
V027,8m/s V 0 m/s
a a
v a.t v0 ltgt 0 a.t 27,8
(1) x½.a.t2v0.tx0 ltgt 100 ½.a.t2 27,8.t
0 (2)
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Exercice 4 suite
Résolution (1) gt a.t - 27,8 Ds (2)
gt 100½.(-27,8 ) .t (27,8) .t t 200 /
27,8 7,2 s
Ds (1) gt a - 27,8 / 7,2 -3,86 m/s2
( Valeurs à indiquer dans le tableau des
conditions limites du mouvement )
Équations du mouvement pour 0 ltt lt 7,2s
x -1,93.t2 27, 8.t m
v -3,86.t 27, 8 m/s
a -3,86 m/s2
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formule utile
Afin de déterminer laccélération sans connaître
la durée du mouvement, on utilisera la formule
a (v2 v02) / 2(x-x0)
Application à lexercice précédent a
02 (27,8)2 / 2(100 - 0) a -
27,82 / 200 a - 3,86 m/s2
v a . t v0 0 -3,86 . t
27,8 t -27,8 / -3,86 7,2 s
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Exercice 5

• Tracer les graphes associés aux trois phases de
  mouvement de la Mercedes

Graphe des abscisses
Graphe des vitesses
Graphe des accélérations
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Exercice 6 (travail en autonomie)

• Le chariot dune machine de découpage laser
  atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes.
• Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8
  secondes.
• Il sarrête ensuite en lespace de 12,5 cm.
• Hypothèse les accélérations et décélérations
  sont supposées constantes.

1/ Déterminer la durée totale de lopération de
découpage ainsi que la distance parcourue.
Pour cela, évaluer, pour les trois phases de
mouvement, les conditions aux limites ainsi que
les équations horaires.
2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.
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Corrigé Exercice 6

• - Phase 1 MRUV

V a.t V0 gt 0.10 a . 2 0 gt a 0,05 m/s2
CI CF
t00s t2s
X00m X
V00m/s V0,10m/s
a a
0,10 m
Distance parcourue phase 1 x
½.a.t2v0.tx0 gt x ½ . 0,05 . 22 gt
x 0,10 m
0,05m/s2
Équations du mouvement de la phase 1 0 ltt lt 2s
x 0,025.t2 m
v 0,05.t m/s
a 0,05 m/s2
26
Corrigé Exercice 6

• Phase 2 MRU

CI CF
t00s t8s
X00m X
VV00,10m/s VV00,10m/s
a 0 m/s2 a 0 m/s2
X V t X0 gt X 0,10 . 8 0 gt X 0,8 m
0,8 m
Équations du mouvement de la phase 2 0 ltt lt 8s
x 0,10.t m
v 0,10 m/s
a 0 m/s2
27
Corrigé Exercice 6

• Phase 3 MRUV

a(v2 v02) / 2(x-x0) gt a -0,102 /
2 . 0,125 gt a - 0,04 m/s2
CI CF
t00s t
X00m X0,125m
V00,10m/s V0m/s
a a
2,5 s
Durée de larrêt V a t V0 0 -0,04 . t
0,10 gt t 2,5 s
- 0,04 m/s2
Équations du mouvement de la phase 3 0 ltt lt
2,5s
x -0,02.t2 0,10t m
v -0,04t 0,10 m/s
a -0,04 m/s2
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Corrigé Exercice 6

• - Durée totale de lopération
• t 2 8 2,5 12,5 s

- Distance totale parcourue x 0,10 0,8
0,125 1,025 m
29
Corrigé Exercice 6
Graphe des abscisses
Graphe des vitesses
Graphe des accélérations
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Exercice 7 (travail en autonomie)

• Un canon tire un obus verticalement.
• On supposera que lobus nest soumis quà
  laccélération de la pesanteur (g9,81 m/s2).
• Conditions initiales du mouvement 
• v0 400m/s, y0 0.
• 1) Quelle altitude atteint lobus ?
• 2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le
  sol ?
• 3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu
  tirer pour atteindre une altitude de 50 km ?

31
Corrigé Exercice 7

• 1 - MRUV

CI CF
t00s t
Y00m Y
V0400m/s V0m/s
a -9.81 m/s2 a -9.81 m/s2

• 1/ calcul de laltitude atteinte
• a (v2 v02) / 2(y-y0)
• -9,81 (02 4002) / 2(Y 0)
• Y -4002 / 2 . (-9,81)
• gt Y 8 155 m

40,77 s
8 155 m
durée mouvement ascensionnel V a. t
V0 gt 0 -9,81.t 400 gt t 40,77 s
32
Corrigé Exercice 7 (suite)

• 2 / durée jusquau contact avec le sol
• t 2 x 40,77 (aller retour)
• t 81,54 s

3 / vitesse initiale pour atteindre 50 km a
(v2 v02) / 2 . (y-y0) -9,81 (02 V02)
/ 2 . (50 000 - 0) -V02 -9,81 x 100 000
V0 990 m/s 3564 km/h
33
Exercice QCM 8
La position dun solide animé dun mouvement de
translation rectiligne est définie en mètres, en
fonction du temps en secondes, par la relation x
3.t2. A quelle position se trouvera-t-il
après 3 secondes du départ ?
q 18 m q 27 m q 81 m
34
Exercice QCM 9
La position dun solide est définie par la
relation x 20 2.t Son mouvement
est donc
q uniforme q uniformément accéléré q uniformément
décéléré
35
Exercice QCM 10
Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après
6 secondes atteint la vitesse de 84,8
km/h. Calculer alors son accélération.
q 3 m/s2 q 6 m/s2 q 9 m/s2
36
Exercice QCM 11
Un véhicule roule à 72 km/h et sarrête en 5
secondes. Quelle équation définie sa position en
fonction du temps ?
q x 72.t 2 t2 q x 20.t 2 t2 q x
14,4.t 5 t2
37
Exercice QCM 12
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quelle est la
vitesse du solide au début du mouvement ?
q 20 m/s2 q 4 km/h q 72 km/h
38
Exercice QCM 13
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quel est le
temps mis pour obtenir larrêt du solide ?
q 80 s q 16 s q 5 s
39
Exercice QCM 14
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quelle est
léquation définissant la position du solide ? On
commence à mesurer la longueur parcourue au début
du mouvement  x0 0 m
q x 20.t 2 t2 q x 2 t2 q x 4 t
40
Exercice QCM 15
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Quelle
est la valeur de son accélération ?
q 1 m/s2 q 2 m/s2 q 4 m/s2
V (m/s)
2
t (s)
9
2
6
41
Exercice QCM 16
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Combie
n de temps dure le mouvement uniforme ?
q 2 s q 3 s q 4 s
V (m/s)
2
t (s)
9
2
6
42
Exercice QCM 17
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Quelle
est léquation de la vitesse dans la 3ème phase
?
q v 2 (2/3).t q v 9 (2/3).t q v -3.t
V (m/s)
2
t (s)
9
2
6
43
Exercice 18 cascade de film

• Quelle est la vitesse mini du véhicule afin
  déviter le contact entre la voiture et le
  peintre cascadeur

 
 Pour cela, écrire les équations horaires de la
voiture et celles du cascadeur.
44
Corrigé Exercice QCM 8
La position dun solide animé dun mouvement de
translation rectiligne est définie en mètres, en
fonction du temps en secondes, par la relation x
3.t2. A quelle position se trouvera-t-il
après 3 secondes du départ ?
x 3 . t2 3 . 32 27m
q 18 m ? 27 m q 81 m
45
Corrigé Exercice QCM 9
La position dun solide est définie par la
relation x 20 2 . t
soit x x0 v0.t ½ . a . t2 donc x0
20m v0 2m/s a 0m/s2
Son mouvement est donc
? uniforme q uniformément accéléré q uniformément
décéléré
46
Corrigé Exercice QCM 10
Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après
6 secondes atteint la vitesse de 84,8
km/h. Calculer alors son accélération.
Données V0 20km/h V 84,8 km/h et t
6s. Calcul de son accélération v a t v0
gt a (v v0 ) / t gt a (64,8/3,6) / 6 3m/s2
CI CF
t00s t6s
X0 X
V05.5m/s V23.5m/s
a 3m/s2 a 3m/s2
? 3 m/s2 q 6 m/s2 q 9 m/s2
47
Corrigé Exercice QCM 11
Un véhicule roule à 72 km/h et sarrête en 5
secondes. Quelle équation définie sa position en
fonction du temps ?
Données V0 72km/h20m/s V 0 km/h et t
5s. Calcul de son accélération v a t v0
gt a (v v0) / t gt a (-20) / 5
-4m/s2 Équation x x0 v0.t ½.a.t2
0 20.t ½.(-4) .t2
CI CF
t00s t5s
X00m X
V020m/s V0m/s
a -4m/s2 a -4m/s2
q x 72.t 2 t2 ? x 20.t 2 t2 q x
14,4.t 5 t2
48
Corrigé Exercice QCM 12
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quelle est la
vitesse du solide au début du mouvement ?
soit v v0 a.t donc v0 20m/s 72km/h
a -4m/s2
CI CF
t00s t
X0 X
V020m/s V
a -4 m/s2 a -4 m/s2
q 20 m/s2 q 4 km/h ? 72 km/h
49
Corrigé Exercice QCM 13
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quel est le
temps mis pour obtenir larrêt du solide ?
Soit larrêt effectif lorsque v 0 donc 0 20
4 t gt t 5s
CI CF
t00s t 5 s
X0 X
V020m/s V0m/s
a -4 m/s2 a -4 m/s2
q 80 s q 16 s ? 5 s
50
Corrigé Exercice QCM 14
La vitesse dun solide est définie en fonction du
temps par léquation v 20 4.t Quelle est
léquation définissant la position du solide ?
On commence à mesurer la longueur parcourue au
début du mouvement  x0 0 m
soit v v0 a.t donc v0 20m/s a
-4m/s2 Équation x x0 v0.t ½.a.t2
0 20.t ½.(-4) .t2
CI CF
t00s t
X00m X
V020m/s V
a -4 m/s2 a -4 m/s2
? x 20.t 2 t2 q x 2 t2 q x 4 t
51
Corrigé Exercice QCM 15
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Quelle
est la valeur de son accélération ?
? 1 m/s2 q 2 m/s2 q 4 m/s2
v a . t v0 a (v v0 ) / t 2 / 2 1 m/s2
V (m/s)
CI CF
t00s t2s
X00m X
V00m/s V2m/s
a 1 m/s2 a 1 m/s2
2
t (s)
9
2
6
52
Corrigé Exercice QCM 16
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Combie
n de temps dure le mouvement uniforme ?
q 2 s q 3 s ? 4 s
CI CF
t00s t4s
X00m X
V02m/s V02m/s
a 0 m/s2 a 0 m/s2
V (m/s)
2
t (s)
9
2
6
53
Corrigé Exercice QCM 17
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses dun
solide animé dun mouvement de translation. Quelle
est léquation de la vitesse dans la 3ème phase
?
? v 2 (2/3).t q v 9 (2/3).t q v -3.t
a (v v0 ) / t -2/3 m/s2
V (m/s)
CI CF
t00s t3s
X00m X
V02m/s V0m/s
a -2/3 m/s2 a -2/3 m/s2
2
v-v0 -2m/s
t (s)
9
2
6
tF-ti 3s
54
Corrigé Exercice 18 cascade de film

• Équations horaires du peintre
• MRUV

CI CF
t00s t
Y00m Y2,68m
V00m/s V
a 9,81 m/s2 a 9,81 m/s2
y ½. a.t2v0.ty0 gt y 4,905.t2
0,74s
v a.tv0 gt v 9,81.t
a constante gt a 9,81 m/s2
Calcul du temps pour chuter de 2,68m y
4,905.t2 gt 2,684,905.t2 gt t 0,74s
55
Corrigé Exercice 18 cascade de film

• Équations horaires de la voiture MRU

 
CI CF
t00s t
x00m x4,29m
V0 V V0 V
a 0 m/s2 a 0 m/s2
x ½. a.t2v0.tx0 gt x v.t
0,74s
v constante gt v ?
a 0 gt a 0 m/s2
Calcul de la vitesse nécessaire pour passer de
4,29m en 0,74s
x v.t gt 4,29 v.0,74 gt v 5,8m/s
20,87km/h
56
TD dapprofondissement

• Exercice n1
• On donne le graphe des vitesses suivant.

V
(m/s)
20
15
5
t (s)
0
2
5
Déterminer les équations horaires pour chaque
phase