CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI

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CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI

• ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI
  COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA
  RISTORAZIONE B. STRINGHER- UDINE

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Cosa sono i prodotti notevoli?

• Sono particolari prodotti o potenze di polinomi,
  che si sviluppano secondo formule facilmente
  memorizzabili. I più comuni sono il quadrato di
  un binomio, la differenza di due quadrati, il
  quadrato di un trinomio, il cubo di un binomio

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Quadrato di un binomio

• Si può presentare nelle due forme
• (ab)2
• e
• (a-b)2

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Sviluppo del quadrato di un binomio

• Applichiamo la regola della moltiplicazione di
  polinomi
• (ab)2 (ab) (ab) a2abbab2
• sommando i monomi simili, otteniamo
• a22abb2

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Formula del quadrato di un binomio

• Senza effettuare ogni volta tutti i passaggi si
  può memorizzare la formula finale del quadrato di
  un binomio
• (ab)2 a22abb2

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Quindi

• Il quadrato di un binomio è uguale alla somma
  del quadrato del primo termine (a2) più il
  quadrato del secondo (b2) termine più il doppio
  prodotto dei due termini (2ab).
• (ab)2 a22abb2

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Della formula del quadrato di un binomio si può
dare anche una interpretazione geometrica

• costruiamo un quadrato di lato ab la sua area
  vale A (ab)(ab)(ab)2

a
b
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il quadrato è scomponibile nelle figure seguenti
un quadrato di area a2 due rettangoli di area
abe un quadrato di area b2

a2
ab
b2
a2
ab
ab
b2
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• Anche dallinterpretazione geometrica si può
  quindi vedere che lo sviluppo di (ab)2 non è
  dato solo dalla somma dei due termini a2 e b2, ma
  anche dal doppio prodotto 2ab

a2
ab
b2
ab
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Cosa cambia per (a-b)2 ?

• Nel caso di (a-b)2 cambia solo il segno del
  doppio prodotto (-2ab), per cui otteniamo
• (a-b)2 a2 2abb2

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Quadrato di un trinomio

• Un altro prodotto notevole è il quadrato di un
  trinomio
• (abc)2

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• Per ottenere la formula del quadrato di un
  trinomio si applica la regola del prodotto di
  polinomi
• (abc)2 (abc)(abc)
• a2abacbab2bccacbc2
• semplificando i monomi simili si ottiene
• a2b2c2 2ab2ac2bc

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Anche per la formula del quadrato del trinomio si
può dare una giustificazione geometrica

• costruiamo un quadrato di lato abc e
  scomponiamolo come in figura

a2
ab
ac
a
b
ab
b2
bc
ac
bc
c2
c
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Larea del quadrato di lato abc è pari a
(abc)2 ma, come si vede dalla figura, è anche
uguale alla somma delle aree dei quadrati e dei
rettangoli in cui è stato scomposto e cioè a

• (abc)2 a2b2c22ab2ac2bc
• che è la formula del quadrato di un trinomio

a2
ab

b2
c2


ab
ac
bc


bc
ac
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Differenza di quadrati

• Consideriamo il prodotto
• (ab)(a-b)
• e applichiamo la regola del prodotto di
  polinomi
• (ab)(a-b) a2-abba-b2
• semplifichiamo i due monomi simili
• a2-b2

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• quindi la formula finale è
• (ab) (a-b) a2-b2
• questa è la formula della differenza di due
  quadrati

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Esempi

• (2x3y)(2x-3y) 4x2-9y2
• (a35b2)(a3-5b2)a6-25b4
• (x2y33)(x2y3-3)x4y6-9

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Cubo del binomio

• Un altro prodotto notevole che si incontra è il
  cubo del binomio
• (ab)3
• ovvero
• (a-b)3

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• Consideriamo il cubo del binomio come prodotto
  del quadrato del binomio per il binomio stesso
• (ab)3 (ab)2(ab)
• applichiamo la formula del quadrato del binomio
• (ab)2(ab) (a22abb2)(ab)
• applichiamo ora la regola del prodotto di
  polinomi
• (a22abb2)(ab)a3a2b2a2b2ab2b2ab3
• e sommando i monomi simili (dello stesso
  colore) otteniamo
• a33a2b3ab2b3

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Formula del cubo di un binomio

• Quindi lo sviluppo del cubo di un binomio è
• (ab)3a33a2b3ab2b3
• e analogamente
• (a-b)3a3-3a2b3ab2-b3