Primalit

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Primalité et Génération des nombres premiers

• Rémi SOUBEYRAND Exposé de cryptographie

2
Primalité la préhistoire

• Euclide ( 300 av. J.C.) Théorème
• Il y a une infinité de nombres premiers
• Ératosthène de Cyrène (276 - 194 av. JC)
• Crible dEratosthène
• Idée diviser N par tous les nombres entre 2 et
  ?N
• impraticable dès que N est trop grand
• Temps 10nbchiffres secondes
• Chine (200 av. JC) Si 2N-1 1 (mod. N) alors
  N est premier
• souvent vrai mais faux

3
Densité des nombres premiers

• La Vallée Poussin ou Hadamard
• Distribution des nombres premiers ?(n) indice
  dEuler
• ?(n)
• Lim n-gt oo ----------------- 1
• n/ln(n)
• (nombre de Nombres premiers lt N) N/ln(N)
• P(M lt N soit premier) 1/ln(N)
• Ex Si n 109 alors ?(n) 50 847 534 et n /
  ln(n) 48 254 942
• Ex un nombre de 100 chiffres a une chance sur
  230 dêtre premier

4
Tests de primalité stochastique explication

• Test de primalité négative ou test de
  factorisation
• Factorisation pas premier
• Pas de factorisation premier (probabilité e)
• Test de pseudo primalité

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Petit théorème de Fermat (1643) Test de Pseudo
Primalité 1/2

• Si N premier et a multiple de N alors
• (gt) aN-1 1 (mod N)
• N7, a2, 261 (mod 7), donc 7 est peut-être
  premier
• N9, a5, 587 (mod 9), donc 9 nest pas premier
• N341, a2, 23401 (mod 341).
• 34131?11 pas premier mais pseudo premier (base
  2)
• Mais 334056 (mod 341) donc 341 nest pas premier
• Le théorème de Fermat (1643) nest pas réciproque
• P(aN-11 (mod N) N premier) 3/4

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Petit théorème de Fermat (1643) Test de Pseudo
Primalité 2/2

• P(aN-11 (mod N) N premier) 3/4
• P(aN-11 (mod N) N composé) 1/4
• Croiser les tests de Fermat
• P(aN-11 (mod N)N premier et P bases testés)
  1-1/4P
• Test de pseudo primalité de 561
• 25601 (mod 561), 35601 (mod 561), 55601 (mod
  561),
• 561 est un nombre de Carmichael (1873)

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Tests de primalité stochastique différents
tests

• test de Solovay-Strassen (1977)
• Fast Monte-Carlo Test for Primality
• test de Rabin-Miller
• A partir des idées de Miller (1976)
• Rabin Algorithme Probabiliste (1980)
• test de Lehmann (1982)
• test un peu plus rapide

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Equation X21 (mod N)utile pour Rabin-Miller

• Soit X tel que X21 (mod N)
• Alors (X2-1)(X1)(X-1)0 (mod N)
• Si X?1 et X?N-1,
• alors on a le produit de 2 nombres inférieurs à N
  dont le produit est un multiple de N,
• donc N nest pas premier
• Ex 521 (mod 24), 24 nest pas premier par
  exemple 6?40 (mod 24)

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Rabin Miller (1980) explication du test 1/2

• N entier impair ? 3
• a entier tel que 2 ? a ? N-1
• Supposons que aN-1 1 (mod N)
  pseudo primalité
• N-1 est pair, posons Xa(N-1)/2 (mod N)
• On a donc X21 (mod N)
• Donc si X?1 et X? N-1 alors N nest pas premier

non
oui
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Rabin Miller (1980) explication du test 2/2

• Si X1 (mod N) et (N-1)/2 pair on continue avec
  Ya(N-1)/4 (mod N)
• Si XN-1 alors le test sarrête
• On dit que N passe le test de Miller-Rabin quand
  on a épuisé tous les recours sans obtenir de
  contradiction

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Rabin Miller exemple 1 53 est il premier ?

• N53, a2
• N-15222?13
• X0213 (mod 53)30
• X1302 (mod 53)52
• X2522 (mod 53)1
• On a obtenu aucune contradiction donc 53 passe le
  test pour la base 2

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Rabin Miller exemple 2 561 (nb. de
Carmichael) est il premier ?

• N561, a2
• N-124?35
• X0235 mod 561 263
• X12632 mod 561 166
• X21662 mod 561 67
• X3672 mod 561 1
• On obtient une contradiction donc 561 ne passe
  pas le test et donc il nest pas premier

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Rabin Miller exemple 3 2047 est il premier ?

• N2047, a2
• N-12?1023
• X021023 (mod 2047) 1
• 2047 passe le test pour la base 2
• Mais 204723?89 nest pas premier
• On dit que 2047 est pseudo-premier fort pour la
  base 2

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Rabin Miller Nombre de tests

• Soit N un nombre composé à tester
• peut passer au plus N/4 tests
• on choisit aléatoirement n bases de tests
• Si N passe tous les tests, alors il y a moins
  dune chance sur 4n pour que N soit en fait
  composé
• n4 doù 1 chance sur 256
• n8 doù 1 chance sur 65536
• n16 doù 1 chance sur 410

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Rabin Miller Bilan du test

• Coût inférieur au test de Fermat
• O(log n3)
• Sépare efficacement les nombres composés des
  nombres premiers
• Mais ce test permet seulement de dire quil y a
  une forte probabilité que le nombre testé soit
  premier

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Explication Génération non stochastique de
nombres premiers

• nombres réellement premiers
• Pas choisit totalement au hasard
• Génère des nombres N
• si N est premier,
• preuve facile

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Génération non stochastique de nombres premiers

• algorithmes déterministe
• théorie poussée
• implémentation compliquée
• algorithme déterministe le plus rapide
• test de Cohen-Lenstra (1984)
• dit des sommes de Jacobi
• Ordre O(lg n)(lg lg lg n)
• un temps polynomial

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Primalité lhistoire contemporaine

• Lehmer (1862)
• Gordon (1985) utilise Lehmer
• Pocklington (1941)
• perfectionne le critère de Lehmer
• nécessite seulement une factorisation incomplète
  de N-1
• Brillhart (1973)
• factorisation encore plus incomplète et
  croisement entre les critères N-1 et N1

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Théorème de Lehmer

• Soit N un entier impair supérieur à 3
• On suppose quil existe un entier a tel que aN-1
  1 (mod N)
• On suppose en plus que pour tout diviseur p
  premier de N-1, il existe un entier ap tel que
  ap(N-1)/p? 1 (mod N)
• Alors N est premier

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Méthode de Gordon (1985)

• On choisit N au hasard et on essaye de factoriser
  N-1
• Si on arrive à factoriser, on lui applique le
  théorème de Lehmer
• Si on narrive pas à factoriser N-1, on choisit
  un autre N et on recommence
• Problème on a besoin de la factorisation de N-1,
  qui na aucune chance daboutir si N a plusieurs
  centaines de chiffres

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Théorème de Pocklingtonméthode de Maurer (1987)

• Soit N un entier impair supérieur à 3.
• Hypothèses N R . F 1, avec F pair.
• La factorisation de F est entièrement connue.
• PGCD(R,F)1
• Il existe a tel que aN-1 1 (mod N) et pour tout
  facteur p de F, PGCD(aN-1/p-1,N)1
• Alors Tout facteur premier de N est de la forme
  k.F1 avec k ? 1
• En particulier si N lt (F1)2, alors N premier
• En fait, si Nlt(2F1)(F1), N est premier

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Exemple Pocklington méthode de Maurer (1987)

• On choisit F de factorisation connue
  F2?32573?769075010183422
• On choisit aléatoirement R impair, R?2F,
  R7419669081
• On calcule NRF1, N 37173903026352175183
• On calcule aN-1 (mod N) pour un entier a
  quelconque,2N-1 31953700866015605260 (mod N)
• Le résultat est différent de 1 donc N nest pas
  premier
• On choisit un nouveau R, R7785640265
• On calcule NRF1, N39007485785358686831
• On a 7N-1 1 (mod N) donc N est peut-être
  premier
• On a 7(N-1)/2 39007485785358686830 (mod N)
• PGCD(39007485785358686829,N)1 donc N vérifie la
  première condition
• De même, PGCD(7(N-1)/32573-1,N)1 et
  PGCD(7(N-1)/76907-1,N)1
• Donc N est bien un nombre premier

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Remarques Pocklingtonméthode de Maurer (1987)

• Dans lexemple précédent si on prend a2, on a
  bien 2N-11 (mod N) et donc on suspecte N dêtre
  premier
• Mais 2(N-1)/21 (mod N) et donc
  PGCD(2(N-1)/2-1,N)N
• La valeur a2 ne permet pas détablir la
  primalité de N
• Plusieurs stratégies sont possibles
• soit on insiste en prenant une autre valeur pour
  a (parce que lon suspecte N dêtre premier),
• soit on abandonne et on génère un nouveau
  candidat
• La plupart des problèmes apparaissent quand on
  teste le facteur 2 de F
• une fois sur deux, a ne  marche pas 
• On peut sen prémunir en calculant le critère de
  Jacobi de a pour N
• sil vaut 1, a ne posera pas de problème
• Ce calcul est rapide par rapport aux
  exponentiations
• Autre remarque pour choisir les facteurs
  premiers de F, on peut utiliser récursivement la
  génération de nombres premiers
• On peut donc choisir des valeurs F avec aussi de
  grands nombres premiers

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Méthodes à la Lucas

• Marin Mersenne (1650)
• formule 2p - 1, p premier formule fausse
• Lucas (1878) Suite
• Soit la suite U(k) définie par
• U(0) 4
• U(k1) (U(k)2 - 2) modulo (2n-1)
• Alors 2n-1 est premier si U(n-1)0
• Robinson (1952) Los Angeles Université de
  Californie
• ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique
• les deux dernier chiffres premiers trouvés
• 220 996 011-1 et 213 466 917-1

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En pratique

• Le DSS du NIST
• recommande dutiliser lalgorithme de RABIN
  MILLER un peu simplifié
• Méthode pour générer un nombre aléatoire p de n
  bits
• Générer un nombre aléatoire p de n bits
• Mettez le bit de poids fort et le bit de poids
  faible à 117
• Vérifier quil nest pas divisible par les petits
  nombres premiers
• Ex Algorithme de la roue
• Effectuer le Test de Rabin Miller
• Faire jusquà 5 tests (Gordon 85)

26
Primalité lhistoire les travaux récents

• Autres travaux (?1976) Judd, Williams, Bach
• critères utilisant N21, N2N1, N2-N1,
• Lenstra, Cohen (1983)
• Premier test généraliste
• ne suppose aucune factorisation connue
• Schoof (1985)
• Test généraliste utilisant les courbes
  elliptiques
• Atkin, Morain (1988)
• Courbes elliptiques.
• Moins lourd que lalgorithme de Schoof

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Récapitulatif des solutions

• Algorithme stochastique
• nécessaire pour un algorithme en temps polynomial
• le plus rapide du monde à ce jour
• Algorithme non probabilistes
• Nécessitant des factorisations
• naboutissent que si on peut factoriser
• problème très difficile et impraticable au delà
  de 100 chiffres
• Très compliqués à implémenter
• Autres méthodes
• Suite de Perrin, de Fibonacci, de Judd et
  Williams,
• Tests à courbes elliptiques etc
• Liste de nombre premier

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Bibliographie

• Cryptographie Théorie et Pratique Douglas
  Stinson
• Chapitre 4 test de primalité probabiliste,
  algorithme de Monte Carlo
• Introduction à lalgorithmique Thomas Cormen,
  Charles Leiserson, Ronald Rivest
• Chapitre 33-8 Test de Primarité
• Cryptographie Appliquée Algorithmes, protocoles
  et codes sources en C
• Chapitre 11-3 Théorie des nombres
• Chapitre 11-5 Génération des nombres premiers

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Sites Internet

• Histoire des nombres premiers (Anglais)
  http//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/H
  istTopics/Prime_numbers.htmlhttp//www.utm.edu/re
  search/primes/mersenne/index.html Mersenne
• Nombres premiershttp//membres.lycos.fr/villeming
  erard/http//www.haypocalc.com/maths/nbr_premier.
  php (simple)
• News de cryptographie fr.misc.cryptographie
• traduction des termes techniques
  http//stat.sci.kagoshima-u.ac.jp/dic/fr/
• page des nombres premiers http//www.utm.edu/res
  earch/primes

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Aller plus loin

• Voici d autres méthodes

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Carré parfait utile pour Brillhart

• Quand on génère des nombres premiers, on se
  contente de conditions suffisantes
• Si N2 (mod 3), N nest pas un carré parfait
• Si N2 ou 3 (mod 5) ou N3, 5 ou 6 (mod 7), idem.
• Si N vérifie une seule de ces congruences, alors
  N nest pas un carré parfait
• De manière générale,
• si Na (mod M) avec J(a,M)-1
• où J est le symbole de Jacobi (resp. Legendre) si
  
• M est composé (resp. premier),
• alors N nest pas un carré parfait

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Raffinement de Brillhart et al.

• Soit N vérifiant les conditions du théorème de
  Pocklington sauf que Nlt2F3 seulement
• On pose R 2Fs r avec 0 ? r lt 2F
• Alors si s0 ou r2-8s nest pas un carré parfait
  alors N est premier
• Déterminer si un nombre est ou non un carré
  parfait est assez coûteux

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Théorème de Lehmer Exemple (Knuth) 1/4

• N037866809061660057264219253397
• On a 3N0-1 1 (mod N0), on suspecte donc N0
  dêtre premier
• On factorise alors N0-1 et on a N0-122 . 19 .
  107 . 353 . 91813 . N1 avec N1143675413657196977
  
• On a 3N1-1 1 (mod N1), on suspecte donc N1
  dêtre premier
• N1-1 24 . 32 . 547 . 1103 . N2 avec N2165370
  1519

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Théorème de Lehmer Exemple (Knuth) 2/4

• On a 3N2-1 1 (mod N2), on suspecte donc N2
  dêtre premier
• N2-1 2 . 7 . 19 . 23 . 137 . 1973
• La factorisation de N2-1 est sûre tous les
  facteurs premiers sont connus avec certitude
• On peut alors essayer dappliquer le théorème de
  Lehmer pour essayer de montrer que N2 est premier

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Théorème de Lehmer Exemple (Knuth) 3/4

• On a 2(N2-1)/2 1 (mod N2), donc la valeur a22
  ne marche pas.
• On essaye successivement 2, 3, 5, 7
• On trouve 7(N2-1)/2 1653701518(mod N2), donc
  a27 satisfait la condition de Lehmer
• On trouve aussi a7 a19 a23 a137 a1973 2
• On a alors montré que N2 est premier
• La factorisation de N1-1 est alors sûre et on
  peut alors essayer de démontrer que N1 est premier

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Théorème de Lehmer Exemple (Knuth) 4/4

• On continue et on montre que N1 puis N0 est
  premier
• On parle de preuve par descente
• N0 est premier si N1ltN0 est premier, N1 est
  premier si N2ltN1 est premier et N2 est
  suffisamment petit pour que lon montre
  facilement quil est premier
• Dautres certificats comme celui dAtkin-Morain
  utilise le principe de la descente
• Courbes elliptiques