Journ

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Journée Christian LAVAULT 5 juillet 2011

• Une phase méconnue
• des pratiques algorithmiques
• (IXe-XVe siècles) 
• Ahmed DJEBBAR
• Université des Sciences et des Technologies de
  Lille

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Les algorithmes de la tradition arabe(IXe-XVe s.)

• Un ensemble dinstructions pour
• - Calculer une solution exacte ou appro-chée
  dun problème
• - Réaliser une construction
• - Etablir un résultat

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Origine du mot algorithme

• Algorithme
• Algoritmus
• Algorismus
• Alchorismus
• Al-Khwarizmi
• ?????????

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Les sources de lalgorithmique arabe

• Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes,
  mésopotamienne)
• Tradition indienne
• Tradition chinoise (?)
• Tradition grecque (?)

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SAVOIR-FAIRE ? SAVOIR SAVANT

• Deux traditions
• - algorithmique
• - hypothético-déductive
• Deux types de pratiques
• - orales et instrumentales (mental digital)
• - écrites
• Takht
• Papier

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LES NUMERATIONS
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(No Transcript)
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OPERATIONS DU CALCUL

• Multiplication
• Division
• Addition
• Soustraction
• Procédés dapproximation des fractions
• Racine carrée exacte et approchée
• Racine cubique exacte et approchée
• Racine nième

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Procédures arithmétiques

• Test de primalité
• Test pour déterminer les carrés et les cubes
  parfaits
• Détermination des nombres parfaits
• Détermination des nombres amiables

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(No Transcript)
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Procédures trigonométriques

• Calcul de p
• Calcul de sin(1), à partir de sin(3)
• Résolution de léquation de Kepler

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Formules du calcul mental

• 15n 10n (10n)/2
• 14n 15n n
• 16n 15n n
• 25n (100n)/4
• 10m/10n 10m-n

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Formules du calcul mental(suite)

• ab (ab)/22 (a-b)/22

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Algorithmes pour le takht

• Produit avec translation et effaçage (debout ou
  couché)
• Produit avec semi-translation (n2)
• Produit sans translation
• - Technique du tableau

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE
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Approximation dune fraction
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Méthode dAbû l-Wafâ (m. 997)
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(No Transcript)
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Test pour les carrés et les cubes parfaits
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(No Transcript)
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Racine carrée approchée
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Racine cubique approchée
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Racine pième
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PROCEDES DINTERPOLATION
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(No Transcript)
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Al-Kashi, sin1
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(No Transcript)
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CARRES MAGIQUES
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(No Transcript)
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Algorithmes de résolution de problèmes

• Algorithmes mentaux
• Déterminer un ou plusieurs nombres pensés
• Rechercher une ou deux bagues cachées
• Déterminer le doigt qui porte la bague
• Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du
  zodiaque

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Procédé de linverse

• 2(2(2x-1)-1) 1
• 1 ? 1/2 ? 1 1/2 3/2 ? 3/2 1 7/4?
  (7/4)/2 7/8 le capital

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• P(x) b
• P(x1) b1
• P(x2) b2
• x1(b b2) x2(b b1)/(b1 b2) x

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Lalgorithme algébrique

• Un bien et dix racines égalent trente neuf
  dirhams
• Tu divises les racines par deux ce sera cinq
  dans ce problème
• Tu le multiplies par lui-même ce sera vingt
  cinq
• Tu lajoutes à trente neuf cela donnera vingt
  cinq
• Tu prends alors sa racine carrée ce sera huit
• Tu en retrancheras la moitié des racines qui est
  cinq il restera trois.
• 6. Cest la racine du bien que tu cherches
• 7. Le bien est neuf.

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Problème babylonien (1750 av. J. C.) Problème d'Ibn ôAbd?n (Xe siècle)
Enoncé J'ai additionné la surface et ltle côtégt, mon carré 0 45. Résolution tu poses 1, l'unité, tu fractionnes 1 en deux 0 30, tu multiplies 0 30 et 0 30 0 15, tu ajoutes 0 15 à 0 45 1, 1 est le carré de 1, 0 30 que tu as multiplié, de 1 tu le soustrais 0 30, 0 30 est le ltcôté dugt carré. Enoncé Si on te dit nous avons additionné ses côtés et sa surface, il en ait résulté cent quarante. Combien ltvautgt chacun de ses côtés ? Résolution tu additionnes le nombre des côtés, et c'est quatre, tu prends alors sa moitié, et c'est deux, tu le multiplies par lui-même, et c'est quatre, tu l'ajoutes à cent quarante, et c'est cent quarante quatre, tu prends la racine, et c'est douze, tu ôtes de ce qui reste la moitié de quatre, c'est alors ltla valeur degt chacun de ses côtés.
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Solutions exactes ou approchées déquations
trigonométriques ou algébriques du 3e degré

• Habash al-Hâsib (IXe s.)

Al-Khayyâm
Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini-Hörner)
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Algorithmes et optimisation

• Produit par translation
• Pour un nombre à n chiffres, il y a n2 produits
  et n(n-1) translations.
• Produit par semi-translation
• Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n1)/2
  produits et n(n-1)/2 translations.

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Approximation de p

• Al-Kashi ar-Risala al-muhitiyya Lépître sur
  le cercle
• Méthode des polygones avec moyenne arithmétique.
• Utilisation dun polygone dont le nombre de côté
  est 3.228 805.306.368
• Valeur approchée de p
• 2p 6, 2.831.853.071.795.865

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Optimisation de lapproximation de p

• Choix préalable de la marge derreur
• 1/12 de millimètre
• La circonférence dun cercle doit être exprimée
  en fonction du diamètre avec une précision telle
  que lerreur sur la longueur de la circonférence
  dun cercle, dont le diamètre est égal à 600.000
  fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas
  lépaisseur dun crin de cheval .

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JUSTIFICATIONDES ALGORITHMES
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Preuve de Qusta Ibn Luqa
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Justification du procédé dextraction de la racine

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n

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Algorithmes de la racine cubique
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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F I N