O problema de contacto com atrito

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Congresso de Métodos Computacionais em
Engenharia Laboratório Nacional de Engenharia
Civil Lisboa, 31 de Maio - 2 de Junho, 2004
O problema de contacto com atrito em termos de
complementaridade em cones de segunda ordem Y.
Kanno1, J.A.C. Martins2 e A. Pinto da
Costa2 1Universidade de Quioto Departamento de
Engenharia Urbana e Ambiental Quioto,
Japão 2Instituto Superior Técnico Departamento
de Engenharia Civil e Arquitectura e
ICIST Lisboa, Portugal
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SUMÁRIO

• Evoluções quase-estáticas em sistemas de contacto
  com atrito
• O problema quase-estático incremental
• Atrito de Coulomb em 3D em termos de uma condição
  de complementaridade em cones de segunda ordem
• O problema incremental em 3D em termos de um
  SOCLCP
• Exemplos numéricos

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EVOLUÇÕES QUASE-ESTÁTICAS
Evolução temporal dos deslocamentos u(t) e das
reacções de contacto r(t) para uma dada variação
temporal das forças exteriores, aplicadas tão
lentamente que as forças de inércia se podem
desprezar.
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CONDIÇÕES DE CONTACTO E DE ATRITO
Atrito mrn ? rt e rt.vt mrn vt 0
Contacto unilateral un ? 0, rn ? 0, unrn 0
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O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL
Calcular o incremento (Du, Dr) do estado (u,
r) para dado incremento DF das forças exteriores F
Substituição das derivadas presentes no problema
de evolução (i.e. na lei de atrito de Coulomb)
por razões incrementais
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O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL
Equação de equilíbrio de um estado de equilíbrio
(u0, r0) conhecido correspondente a forças
exteriores f0
Ku0 f0 r0
Forma incremental das equações de equilíbrio
KDu Df Dr
Equações de equilíbrio condensadas no contacto
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CONES DE SEGUNDA ORDEM
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ATRITO 3D EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM
mrn ? rt e rt.Dut mrn Dut 0 ? mrn
? rt, ln ? Dut e (ln,Dut).(mrn,rt)
0
Condição de complementaridade linear
Cones de segunda ordem no espaço tridimensional
Uma variável extra (ln) por cada nó candidato ao
contacto
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CONTACTO UNILATERAL EM TERMOS DE CONES DE
SEGUNDA ORDEM
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SECOND-ORDER CONE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM
SOCLCP
KS produto cartesiano de cones de segunda ordem
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ALGORITMO E ALGUNS FACTOS
S. Hayashi, N. Yamashita, M. Fukushima (2003) A
combined smoothing and regularization method for
monotone second-order cone complementarity
problems, Technical Report 2003-002, Dept. of
Applied Mathematics and Physics, Kyoto University.

• Álgebra euclideana de Jordan em cones de segunda
  ordem
• Funções de suavização associadas a SOCCPs
• Método de regularização que resolve uma
• sucessão de SOCLCP(e)s com e ? 0 ye (M
  e I)xe q
• Operador monótono ? convergência global
• Método de Newton
• Taxa de convergência quadrática

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BARRA EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
m 0.7
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EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
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EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
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TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS
f g ?102.9 kN
Incremento g 1 5.00
2 4.05 3 3.10
4 2.15 5 1.20
6 0.25
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TRELIÇA 12 ? 12
m 0.12
Deslocamentos totais
Deslocamentos incrementais
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COMENTÁRIOS FINAIS

• Formulação SOCLCP e algoritmo recente
• para o problema quase-estático incremental.
• Verdadeiro cone de atrito de Coulomb em 3D
• com formulação da Programação Matemática.
• Unificação da metodologia para 2D e 3D.

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PARA POUPAR TEMPO DE COMPUTAÇÃO
FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO COMO UM PROBLEMA MISTO DE
COMPLEMENTARIDADE LINEAR EM CONES DE SEGUNDA-ORDEM
SOCMLCP
KS produto cartesiano de cones de segunda ordem