Kalkulus I

1
Pertemuan I

• Kalkulus I
• 3 sks

2
Kontrak Perkuliahan

• Materi
• Fungsi dan Teori Limit
• Turunan dasar, berantai dan parsial
• Aplikasi Turunan
• Integral
• Aplikasi Integral

3
Kontrak Perkuliahan

• Pustaka
• Kuhfitting, P.KF. 1984. Basic Technical
  Mathematics with Calculus. California Brooks/
  Cole Publishing Company
• Faires, J.D.1988. Calculus. Second Edition. New
  York Random House
• Purcell, E.J Varberg, D.1996. Kalkulus dan
  Geometri analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima.
  Jakarta Erlangga
• dsb

4
Kontrak Perkuliahan

• Penilaian
• UTS 30
• UAS 30
• Tugas 40
• Quiz 20
• Tugas (Paper/ Makalah) 15
• Keaktifan 5

5
MATERI

• FUNGSI
• Pengertian fungsi
• Istilah dan lambang fungsi
• Grafik fungsi
• Jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi fungsi
• Fungsi Komposisi
• Fungsi Invers.

6
1. PENGERTIAN FUNGSI

• A. Relasi
• Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan
  asal (domain) dengan anggota himpunan kawan
  (kodomain)
• Contoh
• Relasi antara negara dan ibu kota.
• Relasi bilangan yang lebih besar dari.
• Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

7
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu
• l. Diagram panah
• 2. Himpunan pasangan berurutan
• 3. Diagram Cartesius
• Contoh
• Via aku senang permen dan coklat
• Andre aku senang coklat dan es krim
• Ita aku suka es krim

8
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• Diagram panah

9
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• Himpunan pasangan berurutan
• (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) ,
  (Andre,es krim) , (Ita,es krim)
• Diagram Cartesius

10
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• B. Fungsi
• Relasi yang bersifat khusus.
• Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah
  suatu relasi yang mengawankan setiap anggota
  himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
• Syarat fungsi
• 1. Ada himpunan asal (domain)
• 2. Ada himpunan kawan (kodomain)
• 3. Ada himpunan daerah hasil (range)
• 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis
  dipetakan
• 5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki
  2 bayangan atau lebih

11
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• B. Fungsi
• Relasi yang bersifat khusus.
• Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah
  suatu relasi yang mengawankan setiap anggota
  himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
• Syarat fungsi
• 1. Ada himpunan asal (domain)
• 2. Ada himpunan kawan (kodomain)
• 3. Ada himpunan daerah hasil (range)
• 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis
  dipetakan
• 5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki
  2 bayangan atau lebih

12
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

• Korespondensi satu-satu
• Fungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi
  satu-satu jika merupakan relasi yang
  menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu
  anggota himpunan B dan sebaliknya.

13
2. Istilah dan Lambang Fungsi

• Notasi Fungsi
• Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan
  sebuah huruf tunggal, seperti f.
• Maka f(x) yang dibaca f dari x atau f pada x
  menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap
  x, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x
• Contoh Jika f(x) x2 2x1, maka
• f(0)
• f(1)
• f(a)
• f(ab)

14
Contoh

• 1. Untuk f(x) 3x2 4x2, cari dan
  sederhanakan
• a. f(5)
• b. f(5h)
• c. f(5h) f(5)
• d. f(5h) f(5)/h
• 2. Untuk g(x) 2/x, maka tentukan
• g(ah)-g(a)/h

15
Variabel Bebas dan Terikat

• Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh
  sebuah persamaan berbentuk y f(x), maka x
  disebut variabel bebas, dan y disebut variabel
  tak bebas/terikat.
• Contoh y f(x) x 2, maka x adalah variabel
  bebas, dan y variabel terikat.

16
Daerah Asal dan Daerah Hasil

• Pada suatu fungsi, selain ditentukan
  notasi/aturan, juga daerah asal fungsi (domain),
  yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi,
  dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang
  merupakan nilai hasil dari aturan yang ada.
• Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu
  dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan
  bilangan real.
• Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya
  pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan
  negatif.

17

•  

18

• Latihan
• Carilah daerah asal dan daerah hasil dari
• f(x) 2 / x-8
• f(w) 1 / (9-w2)1/2
• g(x) (x-5)/x
• f(x) 5x23x
• f(x) x / (x-1)

19
3. Grafik Fungsi

• Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi
  merupakan himpunan bilangan real, maka dapat
  dibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkan
  grafiknya pada bidang koordinat.
• Contoh Tentukan daerah asal, daerah hasil dan
  grafik fungsi
• i. f(x) (x-2)/x
• ii. g(x) ( 4 x)1/2

20
4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi
Fungsi

• Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan
  daerah asal masing-masing, maka
• (fg)(x) f(x) g(x)
• (f-g)(x) f(x) - g(x)
• (f.g)(x) f(x) . g(x)
• (f/g)(x) f(x) / g(x)
• Catatan hati-hati dengan daerah asal!

21

• Contoh
• Jika f(x) (x-1) /2 dan g(x) (x)1/2, maka
  tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi
  dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah
  asalnya.
• Jika f(x) 1/(x2) dan g(x) 2x-1, maka
  tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi
  dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah
  asalnya.

22
5. Fungsi Komposisi

• Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan
  f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk
  menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah
  dilakukan komposisi g dengan f.
• Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan
  f, yang dinyatakan oleh g ? f.
• Jadi (g ? f)(x) g(f(x))
• Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.
• Jadi (f o g)(x) f(g(x))

23
Latihan (1)

• Jika diketahui f(x) (x-2)/1 dan g(x) (x)1/2,
  maka tentukan (g ? f)(x) dan (f ? g)(x)
• Jika diketahui f(x) 2x2 dan g(x) x-5 maka
  tentukan (g ? f)(x) dan (f ? g)(x)
• Jika f(x) 2x25x dan g (x) 1/x maka tentukan
  (fog)(2)
• Jika f(x) x24 dan g(y)2/(y)1/2 maka tentukan
  (gof)(t)

24
Latihan (2)

• Jika f(x) 2x5 dan g(x) (x-1)/(x4). Jika (f
  o g) (a) 5 maka tentukan a
• Jika f(x) -x3 maka tentukan f(x2)f2(x)-2f(x)
• Jika f(x) 2x , g(x) x1, dan h(x) x3 maka
  tentukan (h o g o f)
• Jika f(x) 2x23x-5 dan g(x)3x-2, agar
  (gof)(a)-11 maka tentukan a

25
6. Fungsi Invers

• Jika fungsi f A ? B, maka fungsi
• g B ? A merupakan fungsi invers dari
  fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x)
• Contoh 1 Jika f(x) (x-5)/10, maka tentukan f
  -1(x)
• Contoh 2 Jika f(x) 1/x2, maka tentukan f -1(x)

26
Latihan

• Jika f(x)-1 (x-1)/5 dan g(x)-1 (3-x)/ 2 maka
  tentukan (f 0 g)-1 (6)
• Jika f (x) ½ x -1 dan g (x) 2x4 maka
  tentukan (g o f)-1 (10)
• Jika f(x) 2x dan g(x) 3 - 5x. Tentukan (g o
  f)-1 (x)
• Jika (f o g)(x) 4x28x-3 dan g(x) 2x4 maka
  tentukan f-1(x)

27
TUGAS 1

• 1. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang
  temanmu, kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan
  lahir/tanggal lahir/kota lahir/makanan
  kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat badan
  mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.
• a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah
  anggota A!
• b) Jika B himpunan (baca soal diatas)
  teman-temanmu, tulislah anggota B !
• c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B
  dengan diagram panah, dan dengan himpunan
  pasangan berurutan.
• 2. Untuk f(x) 3x2 4x2, cari dan
  sederhanakan
• f(nimh) f(nim)/h
• 3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta
  grafiknya dari
• a. g(x) 2x2 5 (NIM gasal)
• b. f(x) x2 - 2x (NIM genap)

28
TUGAS 2

• 1. Diketahui f(x) x2 1 dan g(x) 2x 3.
  Tentukan
• a. (f o g)(x)
• b. (g o f)(x)
• 2. Diketahui f(x) x 3 dan (f o g)(x) x2
  6x 7, maka tentukan g(x) !
• 3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
• 4. Jika diketahui f(x) x 3 dan g(x) 5x 2
• Tentukan (f o g)-1(x)

29
Pertemuan II

• Kalkulus I
• 3 sks

30
Jenis-jenis Fungsi

Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi non aljabar
f.irrasional
f.rasional
f. Eksponensial f. logaritmik f. Trigonometrik f.
hiperbolik
f. Polinom f.linear f.kuadrat
f.pangkat
31
Fungsi Aljabar

• Fungsi Kuadrat (Parabola)
• f(x)ax2bxc
• dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama
  dengan nol
• Contoh3x22x1
• Fungsi Pangkat Tiga (Kubik)
• f(x)ax3bx2cxd
• dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama
  dengan nol
• Contohx3x25x

32
Fungsi Aljabar

• Fungsi Polinom (Suku Banyak)
• f(x)anxnan-1xn-1an-2xn-2a1xa0
• Contoh
• f(x)-x57
• Fungsi Linier
• f(x)axb
• Contoh5x9

33
Fungsi Trigonometri

• Apabila sebuah sudut sebesar ? derajat
  ditempatkan dalam kedudukan standar pada pusat
  sebuah lingkaran berjari-jari c seperti pada
  gambar di bawah, maka harga-harga sinus, cosinus,
  dan tangen dari sudut ini diberikan oleh
  rumus-rumus berikut

34
Fungsi Trigonometri lanj..
35
Pertemuan III

• Kalkulus I
• 3 sks

36

• 1. Identitas Trigonometri
• 2. Fungsi Pangkat
• 3. Fungsi Eksponen

37
1. Identitas Trigonometri

• Kesamaan Ganjil-Genap
• Kesamaan Fungsi Trigonometri
• Kesamaan Jumlah
• Kesamaan Sudut Rangkap Dua

38
Kesamaan Ganjil - Genap
39
Kesamaan Fungsi Trigonometri
40
Kesamaan Fungsi Trigonometri..lanj
INGAT !
sec x      1               cos x cosec x  
 1                     sin xcot x       1   
      cos x               tan x         sin x
41
Kesamaan Jumlah
42
Kesamaan Sudut Rangkap Dua
LATIHAN
1.
2.
3.
43
Latihan Kelompok
4.
1.
2.
5.
3.
44
Tugas 3
1.
2.
3.
4.
45
Pertemuan V

• Kalkulus I
• 3 sks

46
2. Fungsi Pangkat
y variabel tak bebas x variabel bebas n
konstanta
Identitas fungsi Pangkat
1.
2.
6.
3.
7.
4.
5.
47
Latihan
6.
1.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
48
3. Fungsi Eksponen
y peubah tak bebas a konstanta,
x peubah bebas

• af(x) ap maka f(x) p
• af(x) ag(x) maka f(x) g (x)
• af(x) ag(x) c maka af(x) ag(x) a0
• f(x) g (x) 0

49
Latihan
2.
1.
4.
3.
5.
6.
50
Tugas 4
a.
f.
b.
g.
c.
h.
d.
i.
e.
j.
51
Pertemuan VI

• Kalkulus I
• 3 sks

52
LIMIT FUNGSI

• Tinjau fungsi yang ditentukan oleh
• f(x) pada x 1
• Tetapi , bagaimana nilai f(x) jika x mendekati
  1?
• Perhatikan tabel di bawah ini

53
LIMIT FUNGSI
54
LIMIT FUNGSI
Dari tabel yang ada, dapat disusun suatu
kesimpulan yaitu f(x) mendekati 3 saat x
mendekati 1. Secara matematis ditulis
55
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

• Bentuk tak tentu 0/0
• dapat diselesaikan dengan 2 cara
• Memfaktorkan

CONTOH
56
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
2. LHospital
CONTOH
57
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

• Bentuk tak tentu /
• dapat diselesaikan dengan
• Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat
  tertinggi penyebut

58
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
rumus sbb
Jika m n hasilnya a/p Jika m gt n hasilnya
Jika mlt n hasilnya 0
jadi
karena pangkat pembilang lt pangkat penyebut
59
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Contoh soal
karena m gt n
jadi
60
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

• Bentuk
• Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar,
• maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan
• f(x) atau sekawan g(x).

CONTOH
61
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

• Bentuk

gunakan rumus sbb
berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)
Diketahui b-2 p 2 a 1
62
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini
63
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
64
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90
derajat
T 00 300 450 600 900
Sin ? 0 1
Cos ? 1     0
Tan ? 0   1 8
65
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini
66
Tugas 5
Tentukan nilai dari limit dibawah ini