Vektor

1
Vektor
Prodi Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan Universitas Sriwijaya

• Abdul Basyir

2
Topik

• Aritmatika Vektor
• Konsep Geometrik
• Titik, Garis dan Bidang
• Perkalian Titik
• Perpotongan garis dengan
• Garis
• Bidang
• Poligon

3
Pengenalan

• Apa perlunya belajar vektor?
• Kita butuh untuk mengetahui dimana objek
  diletakkan dalam dunia nyata.
• Ukuran dan orientasi objek
• Seberapa jauh objek yang satu dengan yang lainnya
• Bagaimana pantulan bekerja
• Bagaimana fisika bekerja
• Bagaimana sinar cahaya mengenai objek

4
Pengenalan

• Koordinat
• 2D
• Aturan tangan kiri 3D
• Aturan tangan kanan 3D

5
Vektor

• Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah
• Vektor dinyatakan dengan cara yang sama dengan
  koordinat titik
• Point (5,10)
• Vector (5,10)
• Tetapi bagaimana perbedaannya?

6
Vektor
Sebuah titik mempunyai lokasi Sebuah vektor tidak
mempunyai lokasi Sebuah vektor adalah sebuah
lintasan antara satu titik dengan titik yang lain
7
Vektor
Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan
koordinat titik v Q P v (8-1,1-10) v (7,
-9) Dengan kata lain , v mengatakan pada kita
bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q
8
Vektor

• Definisi
• Perbedaan antara dua titik adalah sebuah vektor
• v Q-P
• Jumlah titik dan vektor adalah titik
• Q P v

9
Vektor

• Latihan.
• Tentukan vektor yang pergi dari P (9,10) ke Q
  (15,7) ?
• v (6, -3)
• Tentukan titik yang dihasilkan dari penambahan
  vektor v (9,-20) dengan titik P (1,2) ?
• Q (10, -18)

10
Operasi Vektor

• Ada dua operasi dasar vektor
• skala
• 8v
• jika v (1,2) maka 8v (8,16)
• tambah
• v a
• v (3,4), a (8,1) maka va (11,5)

11
Operasi Vektor

• Penskalaan vektor

12
Operasi Vektor

• Penambahan vektor

13
Operasi Vektor

• Latihan.
• Diberikan vektor v (10,20,5), tentukan
• 2v, 0.5v dan -0.2v?
• 2v (20,40,10)
• 0.5v (5,10,2.5)
• -0.2v (-2, -4, -1)
• Diberikan vektor v (1,1,1) dan a (8,4,2),
  tentukan
• v a, v a and a v
• v a (9,5,3)
• v a (-7, -3, -1)
• a v (7, 3, 2)

14
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Penambahan vektor skala bersama-sama
• 8v 2a
• Definisi
• Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,,vm adalah
  vektor
• w a1v1 a2v2 amvm

15
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Contoh
• v (1,2,3) dan a (1,1,1)
• 2v 3a (2,4,6) (3,3,3) (5,7,9)

16
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Affine
• Jumlah semua komponen adalah satu
• a1 a2 am 1
• Contoh. 3a 2b 4c (32-41)
• Penentuan kombinasi affine
• (1-t)a (t)b

17
Operasi Vektor

• Pertanyaan
• Tentukan koefisien untuk transformasi affine
• ia jb ?c
• Berapakah koefisien c?
• i j ? 1
• ? 1 i j maka
• ia jb (1-i-j)c

18
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Konvek
• Jumlah semua komponen satu tetapi
• Semua koefisien harus diantara 0 dan 1
• Contoh.
• a1 a2 am 1 dan
• 1 gt ai gt 0 untuk semua 1,,m
• Contoh.
• .9v .1w
• .25v .75w

19
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Konvek
• Set semua kombinasi konvek dari dua vektor v1 dan
  v2 adalah
• v (1-a)v1 av2

20
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Konvek
• v (1-a)v1 av2 can dapat ditulis lagi
• v v1 a(v2-v1)
• Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1
  ditambah beberapa versi skala dari penggabungan
  v1 dengan v2

21
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Konvek
• Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi
  akan menjadi
• v a1v1 a2v2 (1-a1-a2)v3
• v 0.2v1 0.3v2 0.5v3
• v 0.5v1 0.5v2 0v3

22
Operasi Vektor

• Kombinasi Linier
• Kombinasi Konvek
• Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi
  akan menjadi
• v a1v1 a2v2 (1-a1-a2)v3
• v 0.2v1 0.3v2 0.5v3
• v 0.5v1 0.5v2 0v3

23
Operasi Vektor

• Besar
• Adalah panjang vektor
• Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras
• Masih ingatkan akan teorema ini?

24
Operasi Vektor

• Besar
• Teorema Pitagoras

25
Operasi Vektor

• Besar
• Teorema Pitagoras

26
Operasi Vektor

• Besar
• Teorema Pitagoras
• Contoh Berapakah besar v (5,10)?
• v sqrt(52102) sqrt(25100) sqrt(125)
• 11.18

27
Operasi Vektor

• Latihan
• Tentukan v untuk
• v(1,-2,5), w(10,3,1) dan t(1,1,1)
• v 5.5677
• w 10.488
• t 1.732

28
Operasi Vektor

• Besar

29
Operasi Vektor

• Besar
• Kadang kala sangat berguna untuk menskala vektor
  menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah
  satu.
• Vektor normal disimbulkan dengan a topi â.
• Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang
  vektor.
• â a/a

30
Operasi Vektor

• Besar
• Contoh
• Berapakah vektor normal a (1,5,3) ?
• a sqrt(12 52 32) 5.916
• â (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916)
• (0.169, 0.845, 0.5)

31
Operasi Vektor

• Latihan
• Normalisasikan
• a (2,4,6)
• g (1,1,1)
• h (0,5,1)
• Jawab (dengan pembulatan) ?
• â (0.26,0.53,0.8)
• g (0.6,0.6,0.6)
• h (0,1,0.2)

32
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri
  dalam grafika komputer.
• Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan
  vektor.

33
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai
  baris dengan nilai kolom..
• Definisi
• Perkalian titik dua vektor v?w adalah

34
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Jika diketahui v (v1,v2) dan w (w1,w2)
• Perkalian titik, v ? w akan menghasilkan
• (v1w1v2w2)
• Contoh, v (2,1) dan w (3,5) maka v ? w akan
  menghasilkan
• 23 15 11
• Contoh, v (2,2,2,2) dan w (4,1,2,1.1), v ? w
  akan menghasilkan
• 24 21 22 2 1.1 16.2

35
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Operasi Properti
• Simetri v ? w w ? v
• Linier (v t) ? w v ? w t ? w
• Homogen (sv) ? w s(v ? w)
• v2 v ? v

36
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Sudut antara dua vektor.
• Perkalian titik dapat digunakan untuk mencari
  sudur antara dua vektor atau perpotongan garis.
• Diberikan 2 vektor e dan c, sudut antara vektor
  ini dihitung sbb.
• e (ecos ?e,esin ?e)
• c (ccos ?c,csin ?c)
• Perkalian titik e ? c adalah
• eccos(?c - ?e)
• atau e ? c eccos(?)
• Dengan ? adalah sudut diantara 2 vektor

37
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• e ? c eccos(?)
• Kedua sisi dibagi dengan ec
• (e ? c)/ec eccos(?)/ec
• c ? ê cos(? )
• Jadi
• Sudut antara dua vektor adalah perkalian
  titik antara dua vektor yang
  ternomalisasi

38
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Contoh Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)
• cos(? ) c ? ê
• c c/c (5,6) / sqrt(5262)
• (5,6) / 7.8
• (0.64,0.77)
• ê e/e (8,2) / sqrt(8222)
• (8,2) / 8.25
• (0.8,0.24)
• c ? ê 0.8248
• ? cos-1(0.8248) 34.43

39
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Tegaklurus atau orthogonal atau normal.?
• Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk
  anatar vektor ini adalah 90 derajad.
• jika e ? c gt 0 sudut antara dua vektor kurang
  dari 90o
• jika e ? c 0 dua vektor tegaklurus
• jika e ? c lt 0 sudut antara dua vektor lebih dari
  90o

40
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat
  adalah tegak lurus

Cara penulisan vektor satuan
41
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai
  kombinasi skalar dari 3 vektor satuan
• (a,b,c) ai bj ck
• (3,2,-1) 3(1,0,0) 2(0,1,0) 1(0,0,1)

42
Operasi Vektor

• Perkalian titik
• Proyeksi sebuah vektor ke vektor lain
• Proyeksi vektor c ke v
• Gambar garis dari C ke v sehingga tegaklurus
  dengan v
• Kv adalah proyeksi orthogonal c ke v

43
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• Hasil perkalian silang dua vektor adalah sebuah
  vektor yang tegak lurus dengan dua vektor
  tersebut.

44
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• Diberikan a (ax,ay,az) dan e (ex,ey,ez),
  tentukan perkalian silang antara vektor ini dalam
  vektor satuan
• a x e i(ayez-azey) j(axez-azex)
  k(axey-ayex)
• Atau dengan matrik yaitu penentuan determinan

45
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• How do you use this to calculate the dot product?
• Take each item in the top row and multiply by the
  difference of the products of the items in the
  other columns.

46
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• i(ayez-azey)
• j(axez-azex)
• k(axey-ayex)

• Now add them together
• a x e i(ayez-azey) j(axez-azex)
  k(axey-ayex)
• . and you have the CROSS PRODUCT!!!

47
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• a x e adalah tegaklurus baik dengan a maupun e
• panjang a x e sama dengan luas parallelogram yang
  dibatasi oleh a dan e
• Gunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah
  a x e

48
Operasi Vektor

• Perkalian Silang
• Penentuan Normal ke bidang
• Dengan tiga titik dapat ditentukan normal ke
  bidang.
• P1, P2, P3 -gt v P2-P1, w P3-P1
• Tentukan v x w untuk menghitung normal n.
• Perkalian vektor n dengan sembarang nilai skalar
  akan menghasilkan normal ke bidang juga.

49
Koordinat Homogen

• Beberapa sistem grafika dan OpenGL menyatakan
  titik dan vektor dalam koordinat homogen.
• Ini berarti dalam koordinat 2D mempunyai 3 nilai
  (x, y, v)
• Dan dalam 3D, 4 nilai (x, y, z, v)

50
Koordinat Homogen

• Untuk titik v 1
• Untuk vektor v 0
• Cth. Titik (2,4) menjadi (2,4,1).
• Cth. Vektor (3,5) menjadi (3,5,0).
• Cth. Titik (3,4,1) menjadi (3,4,1,1).
• Cth. Vektor (3,6,7) menjadi (3,6,7,0).

51
Contoh

• Tweening antara bentuk-bentuk

52
Pencarian Perpotongan Garis

• Masalah diberikan dua segmen garis, apakah akan
  berpotongan??

B
D
A
C
53
Pencarian Perpotongan Garis

• Masing-masing garis mempunyai garis induk yang
  merupakan perpanjang ke tak berhingga segmen
  garis tersebut.

B
D
A
C
54
Perpotongan Garis dengan Bidang

• Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
• Asumsikan garis berpotongan dengan bidang di
  titik P.
• Berikan titik yang lain misalnya B pada
  bidang, kita ketahui bahwa
  vektor (P-B) berada pada
  bidang.
• Kita juga ketahui bahwa
  n . (P-B) 0

n
55
Perpotongan Garis dengan Bidang

• Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
• Karena titik potong akan berada pada tenpat
  tertentu sepanjang vektor dimulai dari A dan
  pergi ke arah c, sehingga P dinyatakan sebagai
• P A cthit
• jadi,
• n . (A cthit -B) 0
• Solve for thit
• thit n . (B A)/ (n . c)

n
56
Perpotongan Garis dengan Bidang

• Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
• Apakah garis ini akan berarah masuk atau keluar
  bidang?
• jika n . c gt 0 arahnya sama dengan normal

n
57
Perpotongan Garis dengan Bidang

• Dimana garis akan berpotongan dengan bidang?
• Apakah garis ini akan berarah masuk atau keluar
  bidang?
• jika n . c gt 0 arahnya sama dengan normal
• jika n . c lt 0 arahnya berlawanan dengan normal

58
Perpotongan Garis dengan Poligon

• Perlu algoritma khusus

A
C
59
Perpotongan Garis dengan Poligon
A
C
60
Perpotongan Garis dengan Poligon

• Jika n . (C A) gt 0 sinar keluar
• Jika n . (C A) lt 0 sinar masuk

gt 90o
lt 90o
A
n
C
n
61
Perpotongan Garis dengan Poligon

• Lihat algoritma Cyrus-Beck Clipping