Vektor III

1
Vektor III
Erna Sri Hartatik

• Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)

2
Pembahasan

• Perkalian Cross (Cross Product)
• Model cross product
• Sifat cross product

3
Pendahuluan

• Selain dot product ada fungsi perkalian product
  lain dalam vektor yaitu cross product yang
  menghasilkan suatu vektor , dan scalar triple
  product untuk perkalian tiga buah vektor yang
  menghasilkan nilai scalar
• Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang
  berbeda-beda, tergantung kebutuhan
• Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh
  vektor 2 dimensi maupun 3 dimensi

4
Perkalian Cross(CROSS PRODUCT)
5
Pengertian

• Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu
  vektor baru yang besarnya sama dengan luas
  jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor
  tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang
  dibentuk oleh kedua vektor
• Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan
  skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross
  product antara dua buah vektor menghasilkan
  sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor
  tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor
  hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

6
Kegunaan

• Secara geometris, hasil perkalian silang antara
  dua buah vektor merupakan luas dari bangun
  segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor
  tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari
  persamaan lagrange.
• Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi
  banyak yang terletak di ruang , dengan
  menggunakan perkalian silang antara dua vektor.

7
Visualisasi Cross Product
8
Sifat sifat Cross Product
9
Rumus Umum
v a x b, dimana v a b sin a v 0, jika
a 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol
10

• Rumus Komponen
• Jika diketahui 2 buah vektor
• a a1,a2,a3 dan b b1,b2,b3,
• maka persilangan antar keduanya v a x b,
  menghasilkan
• v v1,v2,v3 dimana
• v x w
• Shg
• v1a2.b3 - a3.b2
• v2a3.b1 a1.b3 v3 a1b2 a2.b1

11

• Vektor i,j,k disebut vektor satuan standar
• Misal v sebarang vektor di R3 berarti
• v(v1,v2,v3)
• vv1(1,0,0)v2(0,1,0)v3(0,0,1)
• vv1i v2j v3k ? uxv

12
Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian Silang

• Jika u,v,w vektor di R3 berlaku
• u.(vxw) 0 jika u?(uxv)
• v.(uxv) 0 jika v?(uxv)
• uxv2 u2v2 (u.v)2
• ux(vxw) (u.w).v (u.v).w
• (uxv)xw (u.w).v (v.w).u

13
Contoh soal

• Diketahui u (1, 2, -2) dan v(3, 0, 1) dengan
  menggunakan koordinat tangan kanan,
• hitunglah v u x v !

14
Jawab
u x v

15
Parallelogram

• Jika u dan v vektor dengan titik asal sama maka
  uxv merupakan luas daerah parallelogram yang
  ditentukan oleh uxv.
• Luas jajaran genjang PQRS
• alasxtinggi u v sin? uxv
• Luas segitiga PQS ½ luas jajaran genjang ½
  uxv

16

• Harga mutlak dari determinan adalah
• sama dengan luas parallelogram di R2 yang
  ditentukan oleh vektor u(u1u2) dan v(v1,v2)
• Harga mutlak dari determinan
• adalah sama dengan volume parallelogram di R3
  yang ditentukan oleh vektor u(u1,u2,u3),
  v(v1,v2), dan w(w1,w2,w3)

17

• Contoh soal 2
• Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut
  A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ).
  Hitung luas segitiga tersebut.
• Jawab
• Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor
  posisi dari ruas garis AB dan AC.

18
Vektor Ortogonal

• Misal u,v vektor di R2/R3/Rn, maka u dikatakan
  tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal,
  jika u.v0

19
Proyeksi Ortogonal

• Diberikan vektor a?0 dan vektor u?0
• w1w2 u
• w1 u-w2
• Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal vektor u
  pada vektor a (w1Projau)
• Vektor w2 disebut komponen vektor u yang tegak
  lurus vektor a (w2u-Projau)

20

• Jika a vektor di R2/R3 dan a?0 maka
• w1 Projau
• w2 u-Projau

21

• Ex
• u(2,-1,3) dan a(4,-1,2)
• Tentukan Projau dan Projau !
• Penyelesaian
• u.a (2)(4)(-1)(-1)(3)(2) 15
• a2 1614 21
• w1 Projau 15/21.(4,-1,2)
• w1

22
SCALAR TRIPLEPRODUCT
23
Scalar Triple Product
24
Sifat Hasil Kali Triple Scalar
25
Latihan (1)

• 1. Diketahui a (2,1,-3) , b (3,1,1), c
  (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin )
  
• a. a x (b - 2 c) c. a x b x c
• b. ab x c
• 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus
  terhadap u dan v bila
• a. u (-1,2,-3) dan v (0,2,4)
• b. u (4,-2,1) dan v (0,2,-1) .
• 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui
  titik-titik sudutnya.
• a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )
• b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )

26
Summary

• Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai
  vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah
  tangan kanan

27

• Selamat Mengerjakan