2.%20AN

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2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

• Objetivo
• Transformar un conjunto de variables en un
  nuevo conjunto, componentes principales,
  incorrelacionadas entre sí. Se consigue una
  representación simplificada, más sencilla y fácil
  de ver.
• Metodología
• Los datos se presentan en una tabla
  rectangular con n líneas (individuos) y p
  columnas (variables) (matriz R, nxp). Puede ser
  disimétrica y con variables heterogéneas. Hay dos
  espacios
• Rp n individuos con los valores que toman para
  cada una de las p variables.
• Rn p variables para cada individuo.
• Finalidad
• Buscar un subespacio Rq, qltp que contenga
  la mayor cantidad posible de información de la
  nube primitiva, y que mejor se ajuste a la nube
  de puntos y la deforme lo menos posible. El
  criterio de ajuste es el de mínimos cuadrados. Se
  obtendrán nuevas variables, combinaciones
  lineales de las variables originales llamadas
  factores o componentes.

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Gráficamente ui es el vector unitario
o propio y zi es la proyección de xi en Fi. Como
medida de la cantidad de información incorporada
en una componente se utiliza su varianza. Cuanto
mayor sea, mayor es la información incorporada a
dicha componente. La primera componente será la
de mayor varianza. Para obtener los factores o
componentes que diferencian al máximo a los
individuos entre sí, medidos a través de
caracteres métricos, la extracción se realiza
sobre variables tipificadas, con matriz X, para
evitar problemas de escala. La suma de las
varianzas es igual a p, ya que la de cada una de
ellas es igual a 1 y habrá tantas componentes
como número de variables originales.   Mientras
más correlacionadas estén las variables
originales entre sí, más alta será la
variabilidad que se pueda explicar con menos
componentes. Si existiera incorrelación, el ACP
carecería de sentido, ya que las variables
originales y las componentes o nuevas variables
coincidirían.
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MATRIZ DE DATOS
Cálculo de medias y desviaciones típicas
X MATRIZ DE DATOS TIPIFICADOS
R XX MATRIZ DE CORRELACIONES
Diagonalización de R, cálculo de valores propios,
varianza explicada y correlaciones
COMPONENTES PRINCIPALES
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Resumen

• Las componentes principales son combinaciones
  lineales de las variables originales.
• Los coeficientes de las combinaciones lineales
  son los elementos de los vectores característicos
  asociados a la matriz de covarianzas de las
  variables originales. Por tanto, la obtención de
  componentes principales es un caso típico de
  cálculo de raíces y vectores característicos de
  una matriz simétrica.
• La primera componente se asocia a la mayor raíz
  característica a que va asociada.
• Si se tipifican las variables originales, su
  proporción de variabilidad total captada por una
  componente es igual a su raíz característica
  dividida por el número de variables originales.
• La correlación entre una componente y una
  variable original se determina con la raíz
  característica de la componente y el
  correspondiente elemento del vector
  característico asociado, si las variables
  originales están tipificadas

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SPSS versión 10.0 para windows

• Coeficientes Matriz de los coeficientes de
  correlación entre todas las variables analizadas.
• Niveles de significación Unilaterales para cada
  uno de los coeficientes de correlación.
• Determinante muestra el determinante de la
  matriz que recoge los coeficientes de
  correlación.
• KMO y prueba de esfericidad de Bartlett Calcula
  la medida de la adecuación muestral de
  Kaiser-Meyer-Olkin que es el estadístico de
  contraste de la hipótesis de que las
  correlaciones parciales entre las variables son
  pequeñas.
• Inversa muestra la inversa de la matriz de
  correlaciones.
• Reproducida Matriz de correlaciones obtenida a
  partir del modelo factorial estimado. Muestra las
  correlaciones residuales como medida del nivel de
  error de estas estimaciones, es decir, las
  diferencias entre las correlaciones observadas de
  las variables originales y las estimadas.
• Anti-imagen Matriz con los negativos de los
  coeficientes de correlación parcial. Para que el
  modelo factorial sea considerado bueno la mayoría
  de los elementos fuera de la diagonal principal
  deben ser pequeños, mientras que en la diagonal
  principal se muestran los valores de la
  adecuación muestral para cada una de las
  variables consideradas individualmente.

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• Como mínimo habrá que pedir la media y la
  desviación típica y los coeficientes de la matriz
  de correlaciones lineal de Pearson entre las
  variables dos a dos. En general, se debería usar
  alguna de las otras opciones, como son
• Los niveles de significación, obtenidos en un
  test de hipótesis de los coeficientes de
  correlación lineal.
• El índice KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) Se obtendrá
  mediante la siguiente ecuación
•  
• donde
• rij coeficiente de correlación lineal de
  Pearson entre las variables i,j
• aij coeficiente de correlación parcial entre
  las variables i,j
• Índice KMO alto, implica que el nivel de
  correlación entre las variables analizadas es
  alto y por tanto tiene sentido el Análisis de
  Componentes Principales, puesto que se podrá
  reducir la dimensionalidad del problema agrupando
  variables con una alta correlación entre ellas.
• La prueba de esferidad de Bartlett se utiliza
  para verificar si la matriz de correlaciones es
  una matriz de identidad o no. Indica la
  inadecuación del modelo factorial propuesto.

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Elección del numero de ejes
Criterio de la media aritmética Se seleccionan
las componentes cuya varianza (valor propio) o
inercia asociada a cada componente, exceda de la
media de las raíces características. Por tanto,
se debe verificar que Si las variables
originales están tipificadas, , por lo
que la media de la inercia es igual a 1. Se
retendrán los factores cuya inercia sea mayor que
1.
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Comando Extracción SPSS

• Método factorial Análisis de Componentes
  Principales
• Matriz de correlaciones. Entre las variables.
  Punto muy importante
• Solución factorial sin rotar Definir cada una de
  las componentes retenidas.
• Gráfico de sedimentación de los autovalores
  Ayuda a en la elección del número de factores.
  Según el cambio de pendiente del gráfico,
  confirmará a partir de qué factor la cantidad de
  varianza explicada disminuye drásticamente.
• Extraer Elección del número de componentes. Por
  defecto, las componentes con autovalores mayores
  que 1, siguiendo el criterio de la media
  aritmética.

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Obtención de las puntuaciones factoriales

• Guardar las puntuaciones factoriales de cada
  individuo como variables añadidas al fichero de
  datos inicial.
• Método El más usual es el de Regresión

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Posicionamiento de países de la U E frente al
cumplimiento de las condiciones de Maastricht

• Encargo Una asociación de empresarios dedicados
  a la exportación de productos a Europa, encarga
  un estudio del entorno económico europeo.
• Objetivo 
• Conocer la situación de cada país de la UE en
  cuanto a las previsiones de entrada en el MUE y
  la similitud o disimilitud entre ellos.
• Fase cualitativa
• Se consideraron las cuatro variables para el
  cumplimiento de las condiciones de Maastricht
  Inflación, deuda, déficit y crecimiento.

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Datos

• Fuente Informe Previsiones Económicas de
  primavera del año 1997. Club Mediterranée

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Resultados
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Valores propios y de variación explicada
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Correlaciones de las variables con los factores y
coordenadas de países con los factores
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Rotación de los ejes Procedimientos

• Objetivo
• Obtener nuevos factores más fáciles de
  interpretar. Cada variable original tendrá una
  correlación lo más próxima a 1 con uno de los
  factores y lo más próximas a 0 con el resto. Cada
  factor tendrá correlación alta con un grupo de
  variables y baja con el resto.
• 1. Rotación ortogonal Queda preservada la
  incorrelación entre los factores.
• VARIMAX. Los ejes de los factores rotados se
  obtienen maximizando la suma de varianzas de las
  cargas factoriales al cuadrado dentro de cada
  factor. Problema Las variables con mayores
  comunalidades tienen mayor influencia en la
  solución final. Para evitarlo normalización de
  Kaiser Cada carga factorial al cuadrado se
  divide por la comunalidad de la variable
  correspondiente (VARIMAX normalizado). Ventaja
  queda inalterada tanto la varianza total
  explicada por los factores como la comunalidad de
  cada una de las variables
• EQUAMAX y el QUARTIMAX
• 2. Rotación oblicua Factores no
  incorrelacionados. Se compensarse si se consigue
  una asociación más nítida de cada variable con el
  factor correspondiente.
• OBLIMIN Se utilizan algoritmos para controlar el
  grado de no ortogonalidad. Tampoco se ve
  modificada la comunalidad en la rotación oblicua

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Interpretación simultanea Rotación VARIMAX
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(No Transcript)