Programa de la materia

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Programa de la materia
Tema 1 E. D. O DE PRIMER ORDEN Tema 2
E. D. O. LINEALES DE ORDEN n Tema 3
TRANSFORMADA DE LAPLACE Tema 4 SISTEMAS
DE E. D. O. LINEALES Tema 5 ESTABILIDAD DE
SISTEMAS DE E. D. O Tema 6 SERIES DE
FOURIER Tema 7 E. D. D. P.
Primer Parcial Temas 1, 2 y 3
Segundo Parcial Temas 4 y 5
Tercer Parcial Temas 6 y 7
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Contenidos
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Soluciones Generales de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias Lineales.
2.2 EDO Homogéneas. 2.3 EDO No Homogéneas con
Coeficientes Constantes y Método
de los Coeficientes Indeterminados.
2.4 Variación de Parámetros. 2.5 Problemas con
Condiciones en la Frontera y Valores Propios.
2.6 Aplicaciones en Ingeniería.
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NotaciónOperador diferencial / Operador derivada

• Dada la EDO lineal de segundo orden

Operador derivada segunda
Operador derivada
Operador diferencial
El operador derivada D es, por definición
Tanto el Operador Derivada, como el Operador
Diferencial, son Operadores Lineales
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• Sean p, q funciones contínuas sobre algún
  intervalo I (?, ?),que podría ser infinito.
  Para cualquier función y que sea dos veces
  diferenciable sobre I, el operador diferencial
  queda definido como
• Note que f D(y) es una función sobre I, con
• Por ejemplo,

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Objetivos

• Consideremos el siguiente problema de valor
  inicial
• Queremos saber si existe solución para este PVI y
  de ser asi, si es única.
• También, quisiéramos saber qué se puede decir
  sobre la forma y la estructura de las soluciones
  y usar esta información para encontrar soluciones
  a problemas particulares.
• Enunciaremos teoremas que nos permitan encontrar
  la respuesta

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Soluciones Generales de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias Lineales.

• Una EDO lineal de orden superior, tiene la forma
  general
• Suponemos que an, ......., a0, ,, y G son
  funciones contínuas de variable real, definidas
  en algún intervalo I (?, ? ), y que an nunca es
  cero sobre I.
• Dividiendo por an, la EDO queda
• Para una EDO de orden superior, hay n condiciones
  iniciales

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Problema de valor inicial

• El conjunto de una EDO lineal de orden superior,
  y de las n condiciones iniciales, constituye un
  Problema de valor inicial

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Teorema 1 Existencia y Unicidad. EDO n orden

• Considere el siguiente problema de valor inicial
  
• Y sea I un intervalo abierto que contiene a t0
• Si las funciones p1,, pn, y g son contínuas
  sobre el intervalo abierto I, entonces existe
  solo una solución y ?(t) que satisface el
  problema de valor inicial. Esta solución existe
  en el intervalo I.

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Teorema 1 Existencia y Unicidad. EDO 2º orden

• Considere el siguiente PVI
• donde p, q, y g son contínuas sobre un intervalo
  abierto I que contiene t0. Luego, existe una
  única solución y ?(t) sobre I.
• Note que mientras que este teorema dice que
  existe una solución al problema de valor inicial
  antedicho, no es a menudo posible encontrar una
  expresión útil para la solución. Esto es una de
  las principales diferencias entre las ecuaciones
  lineales de primer y segundo orden.

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Ejemplo 1

• Considere el siguiente problema de valor inicial
• Es posible mostrar que la solución a este
  problema viene dada por
• Note que p(t) 0, q(t) -1, g(t) 0 son ambas
  contínuas sobre (-?, ?), y la solución y está
  definida y es dos veces diferenciable sobre (-?,
  ?).

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Ejemplo 2

• Considere el siguiente problema de valor inicial
• donde p, q son continuas sobre un intervalo
  abierto I que contiene t0.
• Note que y 0 es una solución de este PVI.
• Ya que las hipótesis del Teorema se cumplen, se
  sigue que y 0 es la única solución para este
  problema.

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Ejemplo 3

• Determine la longitud del intervalo sobre el cual
  es posible asegurar que el PVI tiene una única
  solución dos veces diferenciables
• Escribamos la ED en la forma estandar
• La longitud del intervalo que contiene el punto
  t 0 sobre el cual las funciones coeficientes
  son continuas es (-1, ?)
• Se sigue entonces del Teorema, que la longitud
  del intervalo para el cual es posible asegurar la
  solución única del PVI es (-1, ?).

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Ejemplo 4

• Determine un intervalo para el cual se pueda
  asegurar que la solución existe y es única.

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Teorema 2 Solución general de la EDO
Lineal No Homogénea
Considere la siguiente ED No Homogénea
(1)
Y sea
(2)
la ED Homogénea asociada. Sea yp(t) una solución
particular de la EDO lineal no homogénea (1) y
sea yh(t) la solución de su EDO lineal
homogénea asociada (2) , entonces la solución
general de la ecuación es.
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Prueba
Considere la EDO Lineal de orden 2

(1)
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Teorema 3 Principio de Superposición (orden n)

• Considere el siguiente problema de valor inicial
  
• Si las funciones p1,, pn-1 son contínuas
  sobre un intervalo abierto I que contiene a t0 ,
  y si y1,, yn son soluciones en I, luego cada
  solución y de la EDO puede expresarse como una
  combinación lineal de y1,, yn

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Teorema 3 Principio de Superposición (orden 2)

• Si y1 y y2 son soluciones de la ED
• luego la combinación lineal c1y1 y2c2 es
  también una solución, para toda constante c1 y
  c2.
• Para probar este teorema, sustituimos c1y1 y2c2
  en lugar de y en la ecuación (1), y usamos el
  hecho que y1 y y2 son soluciones.

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Independencia Lineal

• Dos funciones f y g son Linealmente
  Dependientes si existen constantes c1 y c2, no
  ambas cero, tales que
• para todo t en I. Note que esto se reduce a
  encontrar cuando f y g son una múltiplo de la
  otra.
• Si la única solución de esta escuación es c1 c2
  0, luego f y g son Linealmente Independientes
• Por ejemplo, sea f(x) sen 2x y g(x) senx
  cosx, y considere la combinación lineal
• Encontramos que c1 1, c2 -2, y
  entonces f y g son LD

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Ejemplo 1 Independencia Lineal (1 of 2)

• Muestre que las siguientes dos funciones son LI
  en cualquier intervalo
• Sean c1 y c2 escalares, y suponga que
• 
  (1)
• para todo t en un intervalo arbitrario (?, ?
  ).
• Queremos mostrar que c1 c2 0. Ya que se
  espera que la ecuación (1), se verifique para
  todo t en (?, ? ), eligiendo t0 y t1 en (?, ?
  ), con t0 ? t1. Luego

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Ejemplo 1 Independencia Lineal (2 of 2)

• La solución de nuestro sistema de ecuaciones
• será c1 c2 0, con un determinante D
  distinto de cero
• Luego
• Ya que t0 ? t1, se sigue que D ? 0, y f y g son
  LI en cualquier intervalo (?, ? ), .

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Teorema 4 Independencia Lineal de dos funciones
f y g cualesquiera

• Si f y g son funciones diferenciables sobre
  un intervalo abierto I y si W(f, g)(t0) ? 0 para
  algún t0 en I, luego f y g son LI sobre I. Por
  otra parte, si f y g son LD sobre I, entonces
  W(f, g)(t) 0 para todo t en I.
• Prueba Sean c1 y c2 escalares, y suponga
• Para todo t en I. En particular, cuando t t0
  tenemos
• Luego W(f, g)(t0) ? 0 , se sigue que c1 c2 0,
  y por lo tanto f y g son LI.

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Teorema 5 Independencia Lineal de dos
soluciones de una EDO Lineal

• Suponga que y1 y y2 son soluciones de la ED
  (1), cuyos coeficientes p y q son funciones
  contínuas en algún intervalo I
• Entonces y1 y y2 son LD sobre I si y
  solo si W(y1, y2)(t) 0 para todo t en I.
  También, y1 y y2 son LI sobre I si y sólo
  si W(y1, y2)(t) ? 0 para todo t in I.

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Demostración Teorema de Abel

• Suponga que y1 y y2 son soluciones de la
  ecuación
• donde p y q son contínuas en algún
  intervalo abierto I.
• Luego W(y1 , y2 ) está dado por
• donde c es una constante que depende de y1
  y y2 pero no de t.
• Note que W(y1 , y2 ) (t) es cero para todo t en I
  (si c 0) o sino nunca es cero en I (si c ? 0).

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(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
Teorema 6 Solución general
de las EDO Lineales Homogéneas

• Dada la siguiente EDO homogénea
• y sean y1,, yn soluciones LI de la EDO
  anterior en un intervalo (?, ? ), entonces, la
  solución general de la EDO en el intervalo (?, ?
  ), puede ser expresada como
• y los coeficientes se determinan por las
  condiciones iniciales resolviendo

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Teorema 6 Solución general
de las EDO Lineales Homogéneas

• El sistema de ecuaciones anterior, tiene
  solución si y sólo si, su determinante o
  Wronskiano, no es cero en t0
• Como t0 puede ser cualquier punto del
  intervalo I, el determinante Wronskiano necesita
  ser distinto de cero en todo punto de I.
• Entonces resulta que el Wronskiano es cero
  para cada punto interior a I, o nunca es cero en
  I.

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Teorema 6 Solución general
de las EDO Lineales Homogéneas
(orden 2)

• Suponga que y1 y y2 son soluciones de la
  ecuación
• Si hay un punto t0 tal que W(y1,y2)(t0) ? 0,
  luego la familia de soluciones y c1y1 c2 y2
  con coeficientes arbitrarios c1, c2 incluye todas
  las soluciones de la ecuación diferencial (1).
• La expresión y c1y1 c2 y2 es llamada solución
  general de la ecuación diferencial, y en este
  caso y1 y y2 se dice que forman un conjunto
  fundamental de soluciones de la ecuación
  diferencial (1).

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Teorema 6 Solución general
de las EDO Lineales Homogéneas
(orden2)

• Suponga que y1 y y2 son soluciones de
  la ecuación
• 
  
  
• 
  
  (1)
• y que el Wronskiano
• no es cero en el punto t0, donde están dadas
  las condiciones iniciales
• Luego, hay una elección de constantes c1,
  c2 para las cuales y c1y1 c2 y2 es una
  solución de la ecuación diferencial (1) y
  verifica las condiciones iniciales (2).

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Ejemplo 1

• Considere la siguiente ED y 2 soluciones de la
  misma
• El Wronkiano de y1 y y2 es
• Luego y1 y y2 forman un conjunto fundamental de
  soluciones de la ecuación diferencial dada
  arriba, y puede ser usadi para construir todas
  sus soluciones.
• La solución general es

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Soluciones Fundamentales e independencia lineal

• Considere la EDO de orden n
• Un grupo y1,, yn de soluciones con W(y1,,
  yn) ? 0 sobre I es llamado conjunto fundamental
  de soluciones.
• Todas las soluciones pueden ser expresadas como
  una combinación lineal de el conjunto fundamental
  de soluciones, la solución general es
• Si y1,, yn son soluciones fundamentales, luego
  W(y1,, yn) ? 0 sobre I. Puede demostrarse que
  esto es equivalente a decir que y1,, yn son
  linealmente independientes

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Ejemplo 6

• Considere la ED de segundo orden que se muestra
• Suponga que las siguientes funciones son solución
  de (1)
• El Wronskiano de y1 y y2 es
• Luego y1y y2 forman un conjunto fundamental de
  soluciones de (1), y puede ser usada para
  construir todas sus soluciones.
• La solución general es

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Ejemplo 7 Soluciones fundamentales (1 de 2)

• Considere la siguiente ED
• Muestre que tiene el siguiente conjunto
  fundamental de soluciones
• Para mostrar esto, primero sustituya y1 en la
  ecuación
• Luego y1 es de hecho una solución de la ecuación
  diferencial.
• Similarmente, y2 is también a solution

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Ejemplo 7 Soluciones fundamentales (2 of 2)

• Vemos que
• Para mostrar que y1 y y2 forman un conjunto
  fundamental de soluciones, evaluamos el
  Wronskiano de y1 y y2
• Ya que W ? 0 para t gt 0, y1, y2 forman un
  conjunto fundamental de soluciones de la ED

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Resumen

• Sean y1 y y2 soluciones de
• donde p y q son contínuas sobre un intervalo
  abierto I
• Luego, las siguientes afirmaciones son
  equivalentes
• Las funciones y1 y y2 forman un conjunto
  fundamental de soluciones en I.
• Las funciones y1 y y2 son LI sobre I.
• W(y1,y2)(t0) ? 0 para cualquier t0 en I.
• W(y1,y2)(t) ? 0 para todo t in I.