Dada una relacin de orden parcial poset sobre A, y dado cualquier XA, X es una cadena chain si y slo

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Relaciones

• Dada una relación de orden parcial (poset) ?
  sobre A, y dado cualquier X?A, X es una cadena
  (chain) si y sólo si para todo x, y ? X, ya sea
  que x?? y ó y?? x.
• Un orden parcial ? sobre A es un orden total
  (lineal) si y sólo si A es una cadena.

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Relaciones

• Dado un conjunto parcialmente ordenado (poset)
  ltA, ?gt, y un X ?A, se define
• b ? A, es una cota inferior de X sí y sólo si
  para todo x ? X, b ? x. Denotaremos LB(X) al
  conjunto de las cotas inferiores de X.
• m ? A, es una cota superior de X sí y sólo si
  para todo x ? X, x ? m. Denotaremos UB(X) al
  conjunto de las cotas superiores de X.

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Relaciones

• b ? X es el elemento menor de X si y sólo si
  para todo x ? X b ? x.
• m ? X es el elemento mayor de X si y sólo si
  para todo x ? X x ? m.
• b?X es minimal en X si x?b implica que xb.
• m?X es maximal en X si m?x implica que xm.
• Los elementos minimal/maximal no son
  necesariamente únicos
• b ? A es la mayor cota inferior (glb) de X si
  LB(X) ? ? y b es el elemento mayor de LB(X).
• m ? A es la menor cota superior (lub) de X si
  UB(X) ? ? y m es el elemento menor de UB(X).

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Relaciones

• Conjuntos Bien Fundamentados.
• Un poset ltA, ?gt está bien fundamentado si y sólo
  si no tiene una secuencia decreciente infinita
  (xi)i?N xi 1 lt xi para todo i ? 0.
• Lema Un poset ltA ?gt está bien fundamentado si y
  sólo si todo subconjunto no vacío de A tiene un
  elemento minimal.

5
Relaciones

• Cadenas (strings).
• Dado cualquier conjunto A, una cadena sobre A es
  cualquier secuencia finita u n ? A, donde n ?
  N generalmente A recibe el nombre de alfabeto.
• Cada elemento a de A se denomina símbolo del
  alfabeto o simplemente símbolo y a menudo lo
  encerraremos entre comillas a ? A.
• Dada una cadena u n ? A, n es la longitud de
  u (n u). Para n gt0 y cada i ? n, u(i)
  representa el elemento i-esimo ui, donde u
  u1...un.

6
Relaciones

• Cuando n 0 corresponde a ? ? A y se denomina
  cadena nula, denotado por ?.
• El conjunto de todas las cadenas de A se denota
  por A.
• La concatenación para cadenas u n ? A y v
  m ? A (m, n ? 0) se denota por uv y es la
  cadena w n m ? A que cumple con
• La cadena nula es elemento neutro bajo
  concatenación u ? ? u u.

7
Relaciones

• Árboles y Dominios de Árboles.
• El concepto de dominio de árbol permite definir
  árboles finitos o infinitos
• Un dominio de árbol D es un subconjunto no vacío
  de cadenas en N que satisface las condiciones
  siguientes
• Para cada u ? D,
• 1. todo prefijo de u también está en D,
• 2. para cada i ? N, si ui ? D entonces, para
  cada j (1 ? j ? i) uj también está en D.

8
Relaciones

• Dado un conjunto ? de etiquetas y D un dominio de
  árbol, un ?-árbol es una función total t D ?
  ?. Cada cadena u ? dom(t) se denomina nodo.
• Rutas
• Una ruta finita con origen u y destino v es una
  secuencia de nodos u0, u1, ..., un tales que u0
  u, un v y para toda j (1 ? j ? n), uj uj-1ij
  para algún ij ? N.

9
Relaciones

• Dado un árbol finito t, la altura de un nodo u en
  dom(t) corresponde a
• max(long(p) p es una ruta de u a una hoja )
• La profundidad de un árbol finito es la longitud
  de la ruta más larga desde la raíz a una hoja.

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Cálculo Proposicional
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Cálculo Proposicional

• La lógica es un lenguaje formal que permite
  plantear enunciados acerca de objetos
  (matemáticos programas y estructuras de datos) y
  razonar sobre las propiedades de los mismos.
• La lógica matemática es un lenguaje formal.
• La sintaxis del lenguaje debe describirse
  completamente mediante reglas simples y
• La semántica debe definirse sin ambigüedad.

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Cálculo Proposicional

• Representación del lenguaje usual tomando como
  elementos de la formulación una representación
  matemática de las frases declarativas simples
  (proposiciones).

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Cálculo Proposicional

• Los usos que haremos del lenguaje lógico son los
  siguientes
• Como Sistema de Inferencia (Teoría de Pruebas),
  cuyo propósito es construír objetos denominados
  pruebas partiendo de un conjunto de axiomas
  (hechos) y un conjunto de reglas de inferencia
• Para la formalización de propiedades de las
  estructuras matemáticas y poder determinar cuando
  un enunciado es verdadero respecto a la
  interpretación en cierta estructura. Un enunciado
  es válido si es verdadero bajo cualquier
  interpretación (Teoría de Modelos).

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Cálculo Proposicional

• En este nivel de simbolización se considera el
  lenguaje constituido por
• Enunciados simples, también llamados
  proposiciones atómicas.
• Conectivos.
• De manera intuitiva un enunciado simple puede
  considerarse como la unidad mínima del lenguaje
  con un contenido de información

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Cálculo Proposicional

• Enunciados de acción con sujeto no determinado,
  por ejemplo llueve, hace sol, hace frío, etc.
• Enunciados de atribución de propiedades a sujetos
  determinados, por ejemplo Juan es negro, Pepe es
  estudioso, etc.
• Enunciados de relación entre sujetos, por ejemplo
  Andrea es amiga de Ana, Miguel ama a Karla, etc.

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Cálculo Proposicional

• Representa los elementos que permiten construir
  una frase a partir de otra p.
• Negación p.
• No p.
• Es falso que p.
• Conjunción p q.
• p y q.
• p pero q.
• p no obstante q

• No es cierto que p.
• p sin embargo q
• p a pesar de q.

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Cálculo Proposicional

• Disyunción p v q.
• p o q ó ambos.
• p ó q.
• Al menos p ó q.
• Condicional Causa Efecto. p ? q.
• Si p entonces q.
• Si p, q
• p sólo si q
• q si p
• Bicondicional o equivalencia p ? q.
• p suficiente y necesario para q
• p si y sólo si q.

• Como mínimo p ó q
• p a menos que q
• q necesario para p
• p suficiente para q.
• No p a menos que q.

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Cálculo Proposicional

• Sintaxis
• Se denota al alfabeto de la lógica proposicional
  como ?PROP y está conformado por
• Un conjunto contable de símbolos proposicionales
  PS p, q, r, ..., p0, p1, ...
• Un conjunto de conectivos lógicos
  (constructores) , v, , ?, ?.
• Una pareja de constantes ?, -.
• Una pareja de símbolos auxiliares (, ).

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Cálculo Proposicional

• Se denota por PROP al conjunto de fórmulas
  proposicionales (proposiciones). PROP es la
  cerradura inductiva de PS ? -, ? bajo las
  funciones constructoras C, Cv, C, C?, C?
  definidas como sigue
• C(A) A
• C(A, B) (A B)
• Cv(A B) (A v B)
• C ?(A, B) (A ? B)
• C ?(A, B) (A ? B) donde A, B ? PROP.

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Cálculo Proposicional

• PROP es el conjunto más pequeño de cadenas
  tomadas de ?PROP que cumple
• Cada pi ? PS, ? y - están en PROP.
• Si A ? PROP, A ? PROP.
• Si A, B ? PROP, (A B), (A v B), (A ? B), (A ?
  B) están en PROP.
• Una cadena está en PROP únicamente si está
  formada mediante la aplicación de las reglas
  anteriores. A tales cadenas se les denomina
  fórmulas bien formadas o simplemente fórmulas.