Tratamiento de Discontinuidades II

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Tratamiento de Discontinuidades II

• En esa presentación trataremos otra vez con el
  modelado de sistemas discontinuos.
• Empezamos introduciendo otro método para su
  descripción matemática. Ese método está usando
  una descripción parametrizada de la curva.
• En seguida trataremos con el problema de la
  causalidad variable.
• Acabamos con la presentación de un método que
  permite resolver problemas de la causalidad de
  forma elegante.

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Contenido

• Descripciones parametrizadas de curvas
• La causalidad de la ecuación de conmutación
• Diodos rezumantes
• La singularidad de la ecuación de conmutación
• La integración inline
• La causalidad de la integración inline

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Descripciones Parametrizadas de Curvas

• Siempre es posible describir funciones
  discontinuos por medio de curvas parametrizadas.
  Se ilustrará esa técnica usando el ejemplo de la
  característica del diodo.

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Causalidad de la Ecuación de Conmutación I

• Consideramos una vez más la ecuación de
  conmutación en su forma algebraica
• Podemos resolver esa ecuación o por u o por i

Conmutador abierto s 1 Conmutador cerrado s
0
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Causalidad de la Ecuación de Conmutación II

• Ninguna de las dos ecuaciones causales puede
  usarse an las dos posiciones del conmutador. Una
  o otra de las dos posiciones produce una división
  por 0.
• Es exactamente lo que pasa en la simulación si la
  causalidad de la ecuación de conmutación es fija.

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Un Ejemplo I
RL
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Un Ejemplo II
RL
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Un Ejemplo III
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Un Segundo Ejemplo
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Un Diodo Menos Ideal I

• Una posibilidad para evitar problemas con la
  causalidad consiste en añadir una resistencia de
  derrame Ron al conmutador cerrado y una
  conductancia de derrame Goff al conmutador
  abierto.

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Un Diodo Menos Ideal II

• Es la solución que se implementó en la biblioteca
  estándar de Modelica.
• La misma solución se ofrece también en la
  biblioteca BondLib en la forma de un modelo de un
  diodo rezumante.

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Un Diodo Menos Ideal III
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Problemas I

• Para aplicaciones eléctricas, la solución usando
  un diodo rezumante es frecuentemente aceptable.
• Un problema tiene que ver con el comportamiento
  numérico. Si el circuito usando un diodo ideal
  resulta en una división por cero, el circuito
  usando un diodo rezumante resulta en un modelo
  rígido.
• Modelos rígidos pueden simularse en Modelica
  usando el algoritmo de integración estándar
  (DASSL).
• Sin embargo, la simulación puede resultar
  ineficiente y inútil, al menos para aplicaciones
  en tiempo real.

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Problemas II

• En el caso de aplicaciones mecánicos, el método
  es menos útil, porque las características de
  rozamiento tienen que simularse con mucha
  precisión y además, en aplicaciones mecánicas,
  las causalidades de los elementos son casi
  siempre fijas.
• Las masas (y inercias) deciden sobre las
  velocidades, y las fuerzas (y pares de torsión)
  de elementos de rozamiento y muelles deben
  determinarse usando los elementos R y C en una
  causalidad predefinida.
• Por consecuencia se debe buscar otra solución
  para estas aplicaciones.

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El Algoritmo de la Integración Inline

• Usando un método de integración inline, el
  algoritmo de la integración se inserta
  directamente en el modelo (o alternativamente
  las ecuaciones del modelo se insertan en el
  algoritmo de la integración).
• Consideramos una inductancia integrada usando el
  algoritmo de Euler implícito.

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La Causalidad de la Integración Inline
Si se usa un algoritmo de integración inline, las
causalidades de los elementos de almacenaje se
liberan. Por consecuencia desaparece el problema
de la división por cero.
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Diodo Ideal con Integración Inline I
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Diodo Ideal con Integración Inline II
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Referencias I

• Elmqvist, H., M. Otter, and F.E. Cellier (1995),
  Inline integration A new mixed symbolic/numeric
  approach for solving differential-algebraic
  equation systems, Proc. ESM95, European
  Simulation Multi-conference, Prague, Czech
  Republic, pp. xxiii xxxiv.
• Otter, M., H. Elmqvist, and S.E. Mattsson (1999),
  Hybrid modeling in Modelica based on the
  synchronous data flow principle, Proc. CACSD99,
  Computer-Aided Control System Design, Hawaii.

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Referencias II

• Krebs, M. (1997), Modeling of Conditional Index
  Changes, MS Thesis, Dept. of Electr. Comp.
  Engr., University of Arizona, Tucson, AZ.
• Cellier, F.E. and M. Krebs (2007), Analysis and
  simulation of variable structure systems using
  bond graphs and inline integration, Proc.
  ICBGM07, 8th Intl. Conf. Bond Graph Modeling and
  Simulation, San Diego, CA, pp. 29-34.