Introduccin a la Estimacin

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Introducción a la Estimación

• Capítulo 10

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10.1 Introducción

• La Inferencia Estadística es el proceso por el
  cual se obtiene información sobre poblaciones en
  base a muestras.
• Hay dos tipos de Inferencia
• Estimación
• Pruebas de Hipótesis

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10.2 Conceptos de Estimación

• El objetivo de la Estimación es determinar el
  valor de un parámetro poblacional en base a un
  estadístico muestral.
• Hay dos tipos de Estimaciones
• Estimación Puntual
• Estimación por Intervalos

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Estimador Puntual
Un estimador puntual permite hacer una
inferencia acerca de una po- blación, estimando
el valor de un parámetro desconocido de la misma
usando solamente un valor o un punto obtenido de
una muestra.
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Estimación Puntual
Un estimador puntual permite hacer una
inferencia acerca de una población estimando el
valor de un parámetro desconocido usando un solo
valor o punto obtenido de una muestra.
Distribución muestral
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Estimación por Intervalos
Una estimación por Intervalo permite hacer
inferences acerca de un población estimando el
valor de un parámetro desconocido usando un
intervalo.
Estimación por Intervalo
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Características de las Estimadores

• La selección del estadístico muestral correcto
  para estimar el valor de un parámetro depende de
  las características (o propiedades) del
  estadístico.

• Propiedades que deben reunir los Estadísticos
• Insesgamiento Un estimador es insesgado cuando
  su valor esperado es igual al parámetro que
  estima.
• Consistencia Se dice que un estimador es
  consistente si la diferencia entre el estimador
  y el parámetro se hace cada vez menor a medida
  que aumenta el tamaño de la muestra.
• Eficiencia Relativa Dados dos estimadores
  insesgados, aquél con menor varianza es
  relativamente más eficiente.

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10.3 Estimación de la Media Poblacional cuando
se conoce la Varianza Poblacional

• Cómo se obtiene una Estimación por Intervalos a
  partir de una distribución muestral?
• Se selecciona una muestral al azar de una
  población de tamaño n y se calcula la media
  muestral .
• De acuerdo al Teorema Central del límite, se
  distribuye normalmente ( o en en forma aproxima-
  damente normal entonces

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10.3 Estimación de la Media Poblacional cuando
se conoce la Varianza Poblacional

• Se ha obtenido anteriormente que

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El Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Esto lleva al siguiente enunciado equivalente

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Interpretación del Intervalo de Confianza para m
Se construye un Intervalo 1 a de todos los
valores de obtenidos en muestras repetidas
de una distribución que incluye (cubre) el
valor esperado de la población.
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Demostración gráfica de un Intervalo de
Confianza para m
1 - a
Límite de Confianza Inferior
Límite de Confianza Superior
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El Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Los Cuatro Niveles de Confianza más usados son

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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Ejemplo Estimar el valor medio de la
  distribución resultante de tirar un dado
  correcto.Se conoce que s 1,71. Usar un nivel
  del 90 de continua , y realizar 100 tiradas
  repetidas del dado.
• Solución El Intervalo de Confianza es

Los valores promedio obtenidos en muestras
repetidas de tamaño 100, resultan en estimaciones
de Intervalos de la forma Media muestral 0,28,
Media muestral 0,28, 90 de los cuales cubren
la media real de la distribución.
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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Recalcular el Intervalo de Confianza para un
  nivel del 95
• Solución

0,95
0,90
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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• La amplitud del Intervalo de Confianza del 90
  2(0,28) 0,56
• La amplitud del Intervalo de Confianza del
  95 2(0,34) 0,68

• Puesto que el Intervalo de Confianza del 95 es
  más amplio, es más probable que incluya el valor
  de m.

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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Ejemplo10.1
• La Empresa Computer vende computadoras a sus
  clientes que la solicitan por medio de Internet.
• Para reducir los costos de inventario en sus
  depósitos, la empresa usa un modelo de
  Inventario, que requiere estimar la demanda
  promedio durante el período de reaprovisionamiento
  .
• Se estimó que la demanda durante el tiempo de
  reaprovisiona- miento se distribuye normalmente
  con un desvío estándar de 75 computadoras por
  tiempo de demora.
• Estimar la demanda en el período de
  reaprovisionamiento con un 95 de confianza.

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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Ejemplo 10.1 Solución
• El parámetro a estimar es m, la demanda media
  durante el período de reaprovisionamiento.
• Hay que calcular la estimación por Intervalos
  para m.
• Del fichero Xm10-01, la media muestral es

Como 1 - a 0,95, a 0,05. O sea a/2 0,.025.
Z.025 1,96
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Intervalo de Confianza para m ( se conoce s)

• Usando ExcelHerramientas gt Análisis de Datos gt
  Estimar Z Media

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Información y Amplitud del Intervalo

• Un Intervalo amplio provee muy poca información.

Dónde está m ?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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La Amplitud del Intervalo y la Información

• Una Estimación por Intervalos amplia provee poca
  información

Dónde está m ?

Ahaaa!
Aquí el Intervalo es mucho más angosto.Si el
Nivel de Confianza no cambia, el Intervalo más
angosto brinda información más precisa.
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La Amplitud del Intervalo de Confianza

• La amplitud del Intervalo de Confianza es
  afectada por
• el desvío estándar poblacional (s)
• El Nivel de Confianza (1-a)
• el tamaño de muestra (n).

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El Efecto de s en la Amplitud del Intervalo
90 Intervalo de Confianza
Suponga que el desvío estándar aumentó un 50.
Para mantener un cierto nivel de confianza, un
desvío estándar mayor requiere un Intervalo de
Confianza más grande.
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El Efecto de un Cambio en el Nivel de Confianza
Nivel de Confianza 90
95
Si se aumenta el Nivel de Confianza del 90 al
95 .
Un Nivel de Confianza mayor produce un Intervalo
más amplio
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El efecto de un Cambio en el Tamaño de la Muestra
90 Nivel de Confianza
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10.4 Determinación del Tamaño de Muestra

• Se puede controlar la amplitud del Intervalo de
  Confianza cambiando el tamaño de la muestra.
• Entonces se determina primero la amplitud del
  intervalo y se calcula luego el tamaño de muestra
  requerido.
• La frase estimar la media con un margen de error
  menor o igual a e se puede expresar en un
  Intervalo de Confianza de la forma

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10.4 Determinación del Tamaño de Muestra

• El tamaño de muestra requerido para estimar la
  media es

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Determinación del Tamaño de Muestra

• Ejemplo 10.2
• Para estimar la cantidad de madera que puede ser
  talada en un terreno, se debe estimar el diámetro
  medio de los árboles con un margen de error de 1
  cm y un 99 de confianza.
• Qué tamaño de muestra se debe tomar ? Suponga que
  los diámetros se distribuyen normalmente con s
  6cm.

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Determinación del tamaño de muestra

• Solución
• El margen de error estimado es /-1 cm. O sea e
  1.
• El Nivel de Confianza del 99 a 0,01, y za/2
  z0,005 2,575.
• Se calcula