Geometra y Grupos de Lie

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Geometría y Grupos de Lie

• Raúl Quiroga Barranco
• Centro de Investigación en Matemáticas

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Introducción

• El objetivo de esta plática es mostrar la
  relación entre el concepto de Geometría en un
  espacio y la noción de Grupo de Lie.
• Veremos que tales nociones son conceptos que
  están fuertemente relacionados.

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Variedades

• En su forma mas elemental, el concepto de
  Geometría se construye sobre variedades
  diferenciables.
• El ejemplo mas simple de una variedad
  diferenciable es el dado por la gráfica de una
  función suave.

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Ejemplos de Variedades

• También son variedades aquellos subespacios de Rn
  que localmente se pueden ver como gráficas de
  funciones suaves.

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Ejemplos de Variedades

• No toda variedad es el conjunto de ceros de una
  función suave.

• No todo conjunto de ceros de una función suave es
  una variedad.

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Variedades abstractas

• Más generalmente, una variedad es un espacio
  localmente Euclideano con cambios de coordenadas
  suaves. Esto permite desarrollar cálculo
  diferencial e integral en una variedad.

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Grupos de Lie

• Un Grupo de Lie G es un espacio que es variedad y
  grupo a la vez, con estructuras compatibles. Es
  decir, las operaciones de grupo son mapeos suaves.

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Ejemplos de Grupos de Lie
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Grupos de Lie y Geometría

• es el grupo de
  transformaciones que preservan volumen en Rn.
• es el grupo de movimientos
  rígidos en Rn.
• es el grupo de movimientos
  rígidos en el espacio de Minkowski (R4,I1,3).

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Geometría Esférica

• La esfera n-dimensional Sn ½ Rn1 posee una
  distancia definida por
• Podemos medir ángulos entre curvas en Sn con el
  producto interno de Rn.
• Las curvas más cortas son círculos máximos.
• es el grupo de transformaciones
  de Sn que preserva tal Geometría.

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Geometría Hiperbólica

• El espacio hiperbólico n-dimensional se puede
  definir como
• Posee una distancia y ángulos entre curvas
  definidos como antes.
• Las curvas más cortas son la intersección de Hn
  con planos en Rn1 que pasan por el origen.
• es el grupo de transformaciones
  de Hn que preserva tal Geometría.
• Hn es definido por la condición

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Geometrías y Grupos

• Klein observó que en los ejemplos anteriores y en
  muchos más, la Geometría está codificada en el
  grupo de transformaciones que preserva sus
  invariantes.
• Podemos recuperar la Geometría de un espacio X si
  sabemos el grupo G de isometrías y su acción
  sobre X.

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Geometrías de Klein

• Una Geometría de Klein es un par (G,H) de grupos
  de Lie con H es subgrupo cerrado de G.
• El espacio de la Geometría de Klein es X G/H.
• Los invariantes geométricos son aquellas
  estructuras u objetos sobre X que sean
  invariantes bajo la acción de G.

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Haz tangente

• Si X ½ Rn es una variedad, el espacio tangente a
  X en un punto x0 es el subespacio afín Tx0X que
  mejor aproxima a X en x0.
• Para cualquier variedad X, es espacio tangente
  Tx0X se puede definir mediante clases de
  equivalencia de los siguientes objetos en X
• Curvas.
• Cartas o sistemas de coordenadas.
• Operadores de orden 1.
• El haz tangente de X se define por la unión
  disjunta
• y representa la linealización de X.
• El haz tangente de S1 es
• difeomorfo al cilindro.

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Haz lineal de referencias.

• Para estudiar las propiedades del haz tangente
  TX, se introduce el haz lineal de referencias
• El grupo Gl(n,R) actúa por la derecha sobre L(X)
  por composición de mapeos lineales.

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Haz lineal de referencias.

• Las órbitas de Gl(n,R) en L(X) son precisamente
  las fibras de la proyección natural L(X) ! X.
• L(X) es una forma alternativa de linealizar a
  la variedad X, cuya ventaja es emplear grupos.

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Haces Principales

• Un haz principal sobre X es dado por un esquema
  como el anterior
• Propiedades
• H actúa sobre P con cociente X, i.e. X P/H.
• P es localmente difeomorfo a XH bajo
  difeomorfismos H-equivariantes.

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Ejemplo básico de haz principal

• Si H es subgrupo cerrado de un grupo de Lie G,
  entonces el esquema
• define un haz principal.
• Dadas las Geometrías de Klein, esto sugiere usar
  haces principales para definir Geometrías en
  espacios más generales que los homogéneos.

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Estructuras Geométricas

• Una H-Estructura Geométrica en X es una reducción
  suave
• del haz
• a un subgrupo cerrado H de Gl(n,R).

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Ejemplos de Estructuras Geométricas

• Las siguientes valores de H definen las
  estructuras geométricas indicadas

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Ejemplo Métricas Riemannianas

• Sea P una reducción de L(X) al subgrupo O(n).
  Dado L1 en la fibra de P sobre x0 el isomorfismo
  L1 Rn ! Tx0X define un producto interno en
  Tx0X.
• Para cualquier otra elección L2 en la fibra sobre
  x0 existe A 2 O(n) tal que el siguiente diagrama
  conmuta.
• Por tanto, el producto interno en Tx0X no depende
  de la elección de L.

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Isometrías

• Todo difeomorfismo ? X ! X define un
  difeomorfismo
• donde L esta en la fibra sobre x0.
• La acción de ?(1) desciende a la de ?.
• Las acciones de ?(1) y Gl(n, R) conmutan.

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Isometrías

• Dada una H-estructura P½L(X), el difeomorfismo ?
  X ! X es una isometría si ?(1)(P) P. En tal
  caso, el siguiente diagrama conmuta, para
  cualesquiera L1,L22P en las fibras
  correspondientes.
• También tenemos el siguiente diagrama conmutativo

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Grupos y H-Estructuras

• Algunos problemas generales
• Condiciones para la existencia de una
  H-estructura.
• Estudiar las propiedades del grupo de isometrías
  de una H-estructura.
• Dada una G-acción sobre X, determinar las
  H-estructuras invariantes.
• Clasificar las H-estructuras por sus propiedades.
• Determinar las H-estructuras que admiten una
  conexión o invariantes similares a una conexión.
• En tales problemas hay dos enfoques
• Fijar H y estudiar las H-estructuras.
• Considerar diferentes posibles grupos H. En este
  caso, podemos fijar una G-acción sobre X.

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Geometría y Sistemas Dinámicos

• Dado un grupo G, nos interesa estudiar las
  G-acciones (la dinámica de G) empleando
  estructuras geométricas.
• Opciones para G
• G compacto. Topología de G es interesante, pero
  la dinámica de G-acciones es trivial.
• G soluble. Dinámica interesante pero relajada
  en exceso.
• G semisimple sin factores compactos. Dinámica
  interesante y con propiedades rígidas.

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Programa de Zimmer

• Clasificar las variedades compactas X que admiten
  una acción de un grupo de Lie G simple no
  compacto.
• Conjetura Todas las acciones son de tipo
  algebraico
• X K\H/?, G subgrupo de H, K½CH(G).
• X G/P, P parabólico.
• Construcciones algebraicas o topológicas
  (cirugía) de los ejemplos anteriores.

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Grupos Simples y Superrigidez

• Enunciaremos algunos resultados que muestran que
  la dinámica de los grupos semisimples sin
  factores compactos es rígida.
• Algunas de la herramientas empleadas
• Teoría ergódica.
• Geometría algebraica.
• Estructuras geométricas con (algún tipo de)
  conexión.
• Teoría de grupos algebraicos.
• Teoría de representación de álgebras de Lie.
• Flujo de calor y mapeos armónicos.
• Geometría de foliaciones.
• Geometrías de grupos discretos (gráficas de
  Cayley).

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Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer) Sea G un grupo de Lie
semisimple conexo y sin factores compactos. Si G
preserva una medida finita suave sobre una
variedad X, entonces G actúa localmente libre
sobre X. En particular las G-órbitas en X definen
una foliación.
Teorema (Zimmer) Sea G un grupo de Lie
semisimple conexo y sin factores compactos. Si G
preserva una H-estructura (H algebraico) y una
medida finita sobre una variedad X, entonces
existe un encaje local G ! H
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Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Zimmer) Sea G un grupo de Lie simple
conexo y no compacto. Si G preserva una métrica
de Lorentz sobre una variedad compacta X,
entonces G es localmente isomorfo a Sl(2,R).
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Grupos Simples y Superrigidez

• Teorema del Centralizador (Gromov,
  Candel-Quiroga)
• Sea G un grupo simple conexo no compacto que
  actúa analíticamente sobre una variedad X
  preservando (algún tipo de) conexión y un volumen
  finito. Entonces en el recubrimiento universal de
  X existe un grupo local G de isometrías tal que
• El grupo local G es ?1(X)-invariante.
• La acción de G centraliza a la acción de G.
• Las G-órbitas contienen a las G-órbitas.

Teorema (Gromov, Candel-Quiroga) Con G y X como
antes, existe una representación ? ?1(X) !
Gl(m,R) cuya imagen posee una cerradura de
Zariski que contiene un grupo localmente isomorfo
a G. En particular, ?1(X) no es amenable.
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Grupos Simples y Superrigidez
Teorema (Quiroga) Con las hipótesis anteriores,
supongamos además que n0m0, donde n0, m0 son
las dimensiones de los conos nulos de X y G,
resp. Entonces existe una fibración
principal donde H es un grupo de Lie, K es
compacto y ? es un subgrupo discreto. Es decir,
hasta un recubrimiento finito tenemos X K\(G
H)/?.
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Grupos Simples y Superrigidez

• Teorema (Quiroga)
• Con las hipótesis anteriores, supongamos ahora
  que X es irreducible. Entonces
• dim X dim G dim V, donde V es un G-módulo
  irreducible no trivial de dimensión minimal.
• Si dim X dim G dim V, entonces G SO(p,q)
  (hasta recubrimiento finito) y el recubrimiento
  universal de X es Spin(p,q1) o Spin(p1,q).
• Este resultado concluye que la variedad X misma
  es esencialmente un grupo de Lie.