NDICE

1
ÍNDICE

• Conjuntos
• Partes de un conjunto. Operaciones.
• Lógica proposicional y Teoría de conjuntos.
• Autoevaluación.

1
2
3
4
2
1. Conjuntos

• Definiciones.
• Ejemplo.
• Diagramas de Venn.

1.1
1.2
1.3
3
1.1 - Definiciones

• Conjunto es una colección de objetos bien
  definidos. Estos objetos se llaman elementos del
  conjunto.
• Podemos determinarlo
• Por extensión enumerando sus elementos.
• Por comprensión dando una propiedad
  característica.

Capítulo 1
4
1.2 - Ejemplo

• Observa como podemos determinar un mismo
  conjunto

Así, estamos definiendo el conjunto E por
extensión
Así, estamos definiendo el conjunto E por
comprensión
Se lee E es el conjunto de los x pertenecientes
a los números naturales, tales que x es mayor
que cero y menor o igual que cinco
Capítulo 1
5
1.3 - Diagramas de Venn

• Un diagrama de Venn nos sirve para representar
  gráficamente un conjunto. Consiste en encerrar
  los elementos del conjunto en una línea cerrada.
• Observa el diagrama de Venn del conjunto E,
  descrito anteriormente.

1 2 3 4 5
Capítulo 1
6
2. Partes de un conjunto. Operaciones.

• Definiciones.
• Ejemplos.
• Unión de subconjuntos.
• Intersección de subconjuntos.
• Complementario de un subconjunto.

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
7
2.1 - Definiciones

• Inclusión de Conjuntos. Se dice que el conjunto
  A está contenido en B o está incluido en B, si
  todo elemento de A pertenece a B.
• Si A está contenido en B, decimos que A es
  subconjunto de B y se escribe
• Partes de un conjunto U es el conjunto de todos
  los subconjuntos de U.
• Se denota por P(U)

Capítulo 2
8
2.2 Ejemplos
C
Si
2
4
3
A
1
B
H
Observa que
8
y

• Con el símbolo indicamos el subconjunto
  que no contiene ningún elemento, le llamamos
  vacío.

Capítulo 2
9
2.3 - Unión de Subconjuntos

• Dados dos subconjuntos A y B de U, (es decir dos
  elementos de P(U)), definimos el subconjunto AUB
  (leemos A unión B) al formado por los
  elementos de U, que pertenecen a A o a B.

7
5
6
1
8
4
9
3
0
2
Capítulo 2
10
2.4 - Intersección de Subconjuntos

• Dados dos subconjuntos A y B de U, (es decir dos
  elementos de P(U)), definimos el subconjunto A
  B (leemos A intersección B) al formado por
  los elementos de U, que pertenecen a A y a B.

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8
3
1
0
4
2
6
7
U es el conjunto de todos los dígitos
Capítulo 2
11
2.5 Complementario de un subconjunto

• Dado un subconjunto A de U, (es decir un
  elemento de P(U)), definimos complementario de A
  en U y le denotamos por al subconjunto
  formado por los elementos de U, que no pertenecen
  a A.

5
7
6
4
8
1
3
9
2
0
U es el conjunto de todos los dígitos
Capítulo 2
12
Lógica Proposicionaly Teoría de conjuntos

• Definiciones. Ejemplos
• Operaciones lógicas
• Consecuencias
• Implicación .Teorema

3.1
3.2
3.3
3.4
13
3.1- Definiciones

• Una proposición es un enunciado que atribuye una
  cualidad o propiedad a un objeto o conjunto de
  objetos.
• Un axioma es una proposición que tomamos a priori
  como verdadera.
• Decimos que un enunciado que depende de una
  variable (x), es una función proposicional sobre
  el conjunto U, si al sustituir dicha variable (x)
  por un elemento de U, se convierte en una
  proposición.
• Llamaremos clase de verdad al subconjunto A
  formado por todos los elementos de U para los que
  la proposición es cierta.

Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
Capítulo 3
14
Ejemplos de proposiciones

• El número entero 25 es divisible por 5.
• Todos los números enteros son divisibles por 5.
• El triángulo ABC es rectángulo.
• EL triángulo ABC es rectángulo.

Verdadera
Falsa
Verdadera
Falsa
Falsa
Verdadera
Falsa
Verdadera
C
C
A
B
B
A
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Ejemplos de axiomas

• El 0 es el primer número natural.
• El número 20 es el entero 1.
• Dos rectas paralelas no se cortan nunca.
• Una vez fijados el 0 y el 1 en una recta, a todo
  número real le corresponde un punto de la recta y
  a todo punto de la recta un número real. (Axioma
  de continuidad).

16
Ejemplos de funciones lógicas o funciones
proposicionales

• En los siguientes ejemplos denotamos por pA a la
  función proposicional y por A a la clase de
  verdad correspondiente.
• pA Un número entero z es divisible por 5.
• pA Un triángulo BCD es rectángulo.
• A es el conjunto de todos los triángulos que
  tienen uno de sus ángulos rectos.
• pA xlt7, x natural
• pA x39, x número real
• A 6

17
3.2 - Operaciones lógicas

• Sea U un conjunto y consideremos ciertas
  proposiciones p y q que pueden cumplir los
  elementos de U. A partir de estas propiedades es
  posible construir otras mediante las llamadas
  operaciones lógicas elementales. Las más
  importantes son
• 1. (negación de p) afirmar que
  un elemento x de U posee la propiedad
  (leemos no p) es lo mismo que decir que x no
  posee la propiedad p.
• 2. (conjunción de p y q)
  afirmar que un elemento x de U posee la propiedad
  (leemos p y q) es decir que x
  tiene a la vez las propiedades p y q.
• 3. (disyunción de p y q)
  afirmar que un elemento x de U tiene la propiedad
  (leemos p o q) quiere decir que
  x posee o la propiedad p, o la q, o ambas
  simultaneamente.

Capítulo 3
18
3.3 - Consecuencias

• Dadas las funciones proposicionales pA y pB con
  clases de verdad A y B de U respectivamente, se
  verifica que
• A la propiedad pA le corresponde
• A la propiedad pA pB le corresponde
• A la propiedad pA pB le corresponde

Capítulo 3
19
3. 4 - Implicación. Teorema

• Dadas dos proposiciones, se dice que p implica q,
  y se escribe ,
• si todo elemento que posee la propiedad p
  posee la propiedad q.
• Por tanto, si a las funciones proposicionales
  les corresponden los subconjuntos clases de
  verdad A y B de U respectivamente, la implicación
  se traduce por
• A la implicación también se le llama
  Teorema.
• A p se le llama hipótesis y a q se le llama
  tesis.
• Se dice que p es condición suficiente de q y que
  q es condición necesaria de p
• Si se verifica que y
  entonces decimos que p y q son equivalentes y se
  escribe .
• Por tanto, si a las funciones proposicionales
  les corresponden los subconjuntos clases de
  verdad A y B de U, la equivalencia se expresa
  por AB

Capítulo 3
20
Ampliación

• Se puede comprobar fácilmente qué, si
  , se tiene , y recíprocamente.
• Luego si se desea demostrar el teorema directo
  ello equivale a demostrar el teorema
  contrarrecíproco.

21
Autoevaluación

• De las siguientes proposiciones indica cuáles
  son verdaderas y cuáles falsas

Verdadera
Falsa
Verdadera
Falsa
Verdadera
Falsa
Verdadera
Falsa
Verdadera
Falsa