Clase E5

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Clase E5
2
La ley de Ohm, o el movimiento de cargas en un
medio viscoso
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Resumen del capacitor, energia, campo, potencial
y capacidad...

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dq
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Este numero, llamado capacidad, es un factor
geometrico y propio del material que establece
cuanta carga puede aumentar un capacitor por
unidad de voltaje. (A la inversa, C baja resulta
en gran cambio de V para poca carga)


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q-Q
qQ
La energía del capacitor es
El campo era
Por lo tanto V es
De donde se obtiene una relación lineal entre la
carga y la diferencia de potencial, lo cual era
dedu- cible simplemente, sin ninguna cuenta, por
aditividad (superponiendo en el espacio dos
planos.
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Iones pequeños y grandes y la velocidad de
conducción.






Veremos que esta regla de proporcionalidad entre
un campo aplicado (o una diferencia de
potencial) y la corriente inducida es un hecho
empírico en una gran cantidad de medios, y define
otra propiedad (geométrica y material, como la
capacidad), llamada RESISTENCIA.
En la atmósfera existen otros iones mucho mas
grandes llamados nucleos, que resultan de iones
liquidos (sales) del mar que se evaporan. Estos
iones tienen mucha menos movilidad y por lo tanto
generan, con el mismo campo, corrientes menores.
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5
El movimiento de cargas dentro de un dieléctrico
una rareza no tan rara (o al menos conocida)
Los iones por radiación conforman pequeñas
estructuras con gran movilidad dentro del aire,
por lo que la corriente es grande.
Siguiendo las leyes de la mecánica, en un campo
constante, la velocidad de una partícula debería
(o debiera, o debiese...) aumentar con el tiempo,
ya que la aceleración es constante.
Velocidad constante en un campo de fuerza es la
huella digital, la presencia in vitus motus, de
un proceso disipativo. La Ley de Ohm, pues (que
es un hecho empírico) no es mucho mas que decir
que las cargas en un dieléctrico se mueven como
si estuviesen en un medio viscoso.
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Disipación en un medio denso como un máximo de la
velocidad sin choque (o mas bien, como la
velocidad que optimiza el tiempo, incluidos los
choques)
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La base molecular de la disipación tiene muchas
versiones según el problema. Pero en general, un
factor común, es que el impulso ordenado (la
aceleración en dirección del campo) se pierde en
energía cinética desordenada (choques con otras
partículas). Al aumentar la velocidad aumenta la
probabilidad de choque y por lo tanto la perdida
de energía. La disipación (viscosidad o
resistencia) tiene que ver entonces con el rango
de libertad (probabilidad de avanzar sin
colisiones de las partículas en el medio)
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La Ley de Ohm (uno que no tiene billete)
La corriente es proporcional al voltaje (lo cual,
en este caso es lo mismo que decir que la
velocidad es proporcional a la fuerza)
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La familia de objetos crece

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LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un
amortiguador de corriente.

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-

EL CAPACITOR Tiene el potencial de acumular
carga, una fuerza proporcional a la carga y una
energía proporcional a la carga al cuadrado ...
empieza a parece a un resorte (aunque todavía no
lo hemos visto oscilar)
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La familia de objetos crece

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-

LA RESISTENCIA (por ahora un pistón), un
amortiguador de corriente.

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-

EL CAPACITOR Tiene el potencial de acumular
carga y por lo tanto se parece a un resorte
(aunque todavía no lo hemos visto oscilar)
La corriente es precisamente el cambio de carga
en una unidad de tiempo. Por lo tanto, los dos
objetos básicos quedan relacionados por una
ecuación diferencial. De paso, cambiando la carga
(q) por la posición (x) y por lo tanto la
corriente (I) por la velocidad (v) cada objeto
mantiene su identidad (resistencia piston,
capacitor resorte)
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Cual es la energía disipada en una resistencia?
Asumiremos que la contribución debido a la
energía cinética es despreciable. En tal caso, la
energía potencial perdida se ha disipado
enteramente, con lo cual, la energía disipada es
igual al cambio de energía potencial
El cambio de la carga es proporcional a la
corriente y el tiempo
De donde
La corriente, el ritmo de cambio de la carga
La misma relación de siempre
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Cual es la energía disipada en una resistencia?
Asumiremos que la contribución debido a la
energía cinética es despreciable. En tal caso, la
energía potencial perdida se ha disipado
enteramente, con lo cual, la energía disipada es
igual al cambio de energía potencial
El cambio de la carga es proporcional a la
corriente y el tiempo
De donde
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Cual es la energía disipada en una resistencia?
Tres maneras de medir la disipación del campo
(las tres equivalentes y las tres entendibles...)
La tasa de flujo de Cargas La energía disipada
en cada carga transportada
Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia
mas se disipa En general la resistencia y la
corriente están relacionadas.
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Cual es la energía disipada en una resistencia?
Tres maneras de medir la disipación del campo
(las tres equivalentes y las tres entendibles...)
Fijo el voltaje, cuanto menor es la resistencia
aumenta el transito de cargas y por lo tanto la
descarga (y la disipación) es mas rápida.
La tasa de flujo de Cargas La energía disipada
en cada carga transportada
Fija la corriente, cuanto mayor es la resistencia
mas se disipa En general la resistencia y la
corriente están relacionadas.
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Fuentes de movimiento Quien da batalla a la
disipación? 1) El extraño caso de algunos
materiales por los cuales pueden circular
corrientes no disipativas (no ohmicas).
De nuestro modelo de juguete de la Ley de Ohm
como resultado de colisiones se intuye que a
medida que baja la temperatura, la resistencia
disminuye, lo cual es cierto.
Otro descubrimiento notable y su correspondiente
galardonado (1913)
Heike Kamerlingh Onnes (Holandes)
A temperaturas extremadamente bajas (en este caso
4.2 K) se da una transicion de fase, la mecánica
de bolas que colisionan ya no funciona y un
material puede volverse superconductor con lo que
una corriente puede circular sin disipar y por lo
tanto ad infinitum sin medicación de ninguna
batería.
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Fuentes de movimiento Quien da batalla a la
disipación? 1) En general las corrientes son
disipativas y es necesario una bateria que
compense la energía disipada.
La batería, un objeto que inyecta energía en un
circuito (en realidad, se define la batería como
la cantidad de trabajo que hace por unidad de
carga) y por lo tanto queda caracterizada por
generar una diferencia de potencial V.
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Álgebra de circuitos. Dos reglas de conservación
y sus usos.
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Circuitos con baterías y resistencias
Conservación y composición.
El circuito mas simple en un estado estacionario,
la corriente que fluye es proporcional al voltaje
inyectado por la batería e inversamente
proporcional a la resistencia.
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Circuitos con baterías y resistencias
Conservación y composición.
Componiendo do leyes básicas de conservación (Las
leyes K) que estipulan que las cargas solo
transitan (i.e. ni se crean ni desaparecen) y que
la energía se conserva (equivale a postular el
estado estacionario del circuito) se pude
calcular la corriente a lo largo de cualquier
circuito y eventualmente reducir un conjunto de
resistencias a una resistencia equivalente.
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Circuitos con baterías y resistencias
Conservación y composición.
La Ley K
La segunda Ley de K establece simplemente la
conservación de carga, si las corrientes
entrantes y saliente no fuesen iguales (o su suma
con signo igual a cero, que es lo mismo) se
acumularía carga en el vértice.
Tres incógnitas I1,I2 e I3... Faltan
ecuaciones...
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Circuitos con baterías y resistencias
Conservación y composición.
La Primera Ley de K establece que en el estado
estacionario, la energía disipada es la misma que
la energía entregada por la batería y por lo
tanto los cambios de potenciales a lo largo de un
circuito cerrado suman cero.
V2
V1
V3
V6
V5
V4
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Circuitos con baterías y resistencias
Conservación y composición.
La Primera Ley de K establece que en el estado
estacionario, la energía disipada es la misma que
la energía entregada por la batería y por lo
tanto los cambios de potenciales a lo largo de un
circuito cerrado suman cero.
V
V
V
V-
V-
V-
Similarmente, en equilibrio, los conductores son
equipotenciales, luego todos estos saltos de
potencial son equivalentes.
22
El ejemplo mas sencillo de composición
Resistencias en serie se suman (concatenación de
disipaciones).
23
El ejemplo mas sencillo de composición
Resistencias en serie se suman (concatenación de
disipaciones).
V2
La corriente, por conservación de carga es igual
en todos los tramos. La suma de saltos de
potencial a lo largo de las dos resistencias es
igual al de la batería. O, lo que es lo mismo
dicho en una ecuación
V2
Vint
V1
V1
V2 - Vint
Vint - V1
24
El ejemplo mas sencillo de composición
Resistencias en serie se suman (concatenación de
disipaciones).
Olvidando este punto de paso intermedio, si uno
quiere conocer por ejemplo la corriente, o la
energía disipada, esta caída escalonada no es
relevante y uno puede pasar a un circuito
equivalente
V2
V2
R (R1R2)
V1
V1
25
El segundo ejemplo canónico de composición
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman
las conductividades).
V
V
V
V-
V-
V-
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El segundo ejemplo canónico de composición
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman
las conductividades).
V
V
V
V-
V-
V-
La corriente se divide entre las dos ramas en
manera proporcional a la inversa de cada
resistencia.
27
El segundo ejemplo canónico de composición
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman
las conductividades).
V
V
V
V-
V-
V-
La corriente se divide entre las dos ramas en
manera proporcional a la inversa de cada
resistencia.
V
V
La aditividad es en las corrientes y por lo tanto
en la inversa de las resistencias.
V-
V-
28
El segundo ejemplo canónico de composición
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman
las conductividades).
V
V
V
V-
V-
V-
V
V
V-
V-
29
Circuitos con corrientes (y cargas) que cambian
en el tiempo.
30
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
Ya habíamos visto la dinámica de este proceso sin
demasiado detalle cuantitativo. También habíamos
visto que un capacitor cargado acumula energía
que pierde cuando se descarga.
C
31
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
Ya habíamos visto la dinámica de este proceso sin
demasiado detalle cuantitativo. También habíamos
visto que un capacitor cargado acumula energía
que pierde cuando se descarga.
C
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
32
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
Ya habíamos visto la dinámica de este proceso sin
demasiado detalle cuantitativo. También habíamos
visto que un capacitor cargado acumula energía
que pierde cuando se descarga.
C
El circuito está abierto, con lo que no hay
transporte de carga. en cuanto se cierra, el
conductor empieza a descargarse. Tal como
habíamos, visto, al descargarse disminuye el
campo y por lo tanto la corriente, con lo que se
descarga mas lento... Es decir el ritmo de
descarga depende de la carga lo cual da, como ya
sabemos, ... exponenciales. Veámoslo.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
33
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
34
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
La relación entre voltaje y carga, dada por el
campo generado en el capacitor es
La relación entre corriente y potencial
35
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
La relación entre voltaje y carga, dada por el
campo generado en el capacitor es
La relación entre corriente y potencial
36
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
La relación entre voltaje y carga, dada por el
campo generado en el capacitor es
La relación entre corriente y potencial
37
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
El ritmo de descarga es proporcional a la carga
(como cualquier otra regla exponencial de
crecimiento o decrecimiento de una población) El
factor de cambio esta dado por el producto de R y
C (cuanto mas grande R, menos corriente y se
descarga mas lento, cuanto mas grande C, menos el
voltaje para una misma carga y por lo tanto menos
corriente)
38
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga es como la de
la posición y velocidad La corriente
C
El tiempo en el que el conductor pierde 1/e de su
carga, después de 3 veces este tiempo habrá
periodo 1/e3 y así... Siempre la misma idea de
una exponencial como un operador que cada tic
(Tau) divide por e.
39
Descarga de un capacitor, una función conocida.
Q0
Q
TRC
La carga (así como su tasa de cambio) decrece
exponencialmente.
40
Descarga de un capacitor Corriente, la misma
función
I0
I
TRC
La derivada de una exponencial es otra
exponencial (nótese que cambia solamente la
escala). Por lo tanto, carga y corriente decrecen
con un tiempo típico de decrecimiento dado por RC.
41
Cargando capacitores, circuitos dinámicos
forzados (por una batería que inyecta energía)
42
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
Misma historia dada vuelta. Ahora en vez de
disipar energía se inyecta (mediante una bateria)
para cargar un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia) para calcular la
energía de un capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
C
43
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-

Misma historia dada vuelta. Ahora en vez de
disipar energía se inyecta (mediante una bateria)
para cargar un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia) para calcular la
energía de un capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)


C
-
Ahora se da vuelta la exponencial ya que a medida
que se carga el capacitor la diferencia de
potencial (a lo largo de la resistencia) es menor
y por lo tanto hay menos corriente. Esto se
vuelve mas claro cuando se dibujan explícitamente
las cargas (el regreso del manosanta).
44
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-

Misma historia dada vuelta. Ahora en vez de
disipar energía se inyecta (mediante una bateria)
para cargar un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia) para calcular la
energía de un capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)


C
-
Ahora se da vuelta la exponencial ya que a medida
que se carga el capacitor la diferencia de
potencial (a lo largo de la resistencia) es menor
y por lo tanto hay menos corriente. Esto se
vuelve mas claro cuando se dibujan explícitamente
las cargas (el regreso del manosanta).
De alguna manera, estos signos son lisibles como
si la bateria trabajase contra la carga del
capacitor y la disipacion de la resistencia.
45
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-



C
-
Una ecuación diferencial de primer orden
(exponenciales) forzada.
46
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-



C
-
Una ecuación diferencial de primer orden
(exponenciales) forzada.
Una solución transitoria (dependiente de las
condiciones iniciales, (homongenea)) y una
solución estacionaria, dependiente del forzado
(particular).
QCV
(es una solución estacionaria), la transitoria HA
de ser una exponencial
47
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-



C
Proponiendo una solución exponencial, resolviendo
como siempre y sumando la solución estacionaria.
-
48
Transitorios y otras situaciones dinámicas Carga
y descarga de capacitores.
-



C
Proponiendo una solución exponencial, resolviendo
como siempre y sumando la solución estacionaria.
-
Durante la carga, la energía de la batería
contribuye a cargar el capacitor (a un ritmo
proporcional a la corriente) y es disipada en la
resistencia. A medida que el capacitor se carga
la corriente es menor hasta llegar al punto
(después de un tiempo infinito) en el que el
voltaje del capacitor es igual a la de la batería
y no hay corriente.
Transitoria
Estacionaria
49
Descarga de un capacitor Corriente, la misma
función
Q0
Q
La función 1- exp
TRC
El capacitor se carga y a medida que el circuito
alcanza el valor de equilibrio, el salto de
potencial se acerca (con signo invertido) al de
la batería y la corriente disminuye (la derivada
de la carga).
50
Descarga de un capacitor Corriente, la misma
función
I0
I
La derivada de la función (1- exp) es una
exponencial.
TRC
El capacitor se carga y la corriente decrece. A
medida que el capacitor va acercándose a su carga
maxima, la corriente disminuye cada vez mas lenta
acercándose a su asintota de cero. Notese que, en
ausencia de inercia (quien sera la masa de los
circuitos?? esta acercamiento es monotónico y no
hay oscilaciones.
51
Q
I


-
La carga de un capacitor La carga empieza siendo
cero, el capacitor no tiene energia. Se enciende
la bateria y fluye corriente, lo que carga el
capacitor. Esto disminuye la diferencia de
potencial en la corriente, disminuyendo la
corriente y disminuyendo el ritmo de carga. Cada
vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta
que el capacitor se carga para generar (valor
asintotico) un potencial igual al de la bateria.
Aqui no hay mas corriente por lo que no se disipa
mas energia.
Q
I
C
La descarga de un capacitor La carga empieza
siendo Q, el capacitor tiene energia. Esta
diferencia de potencial inducida por el capacitor
genera una corriente que disipa la engergia del
capacitor. A medida que el capacitor pierde
carga, la corriente disminuye con lo que pierde
carga mas lento y esto sigue iterandose cada vez
mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta que
el capacitor disipa toda su energia, pierde la
carga y la corriente es cero.
52
Q
I


-
NOTESE QUE EN AMBOS CASOS, LA CONSTANTE TEMPORAL
(DE CARGA O DESCARGA) ES LA MISMA Y ESTA DADA POR
EL PRODUCTO RC.
Q
I
C
53
Analizando un circuito sin hacer ni una sola
cuenta.
Historia conocida
C
La carga de un capacitor con perdida. Que
aspectos cualitativos de la dinamica de este
circuito podemos conocer, sin resolver ninguna
cuenta?
C