MODELOS DE JERARQUA EN SOCIOFSICA

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MODELOS DE JERARQUÍA EN SOCIOFÍSICA

• Lucas Lacasa
• Bartolo Luque
• Dpto. Matemática Aplicada
• ETSI Aeronáuticos
• UPM

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MOTIVACIÓN
Qué mecanismo básico genera jerarquía en un
colectivo?
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MODELO DE BONABEAUE. Bonabeau et al., Physica
A, 217, 373 (1995).
El modelo de Bonabeau se ha propuesto como un
sencillo sistema de auto-organización,
exclusivamente basado en el azar, para explicar
la dominancia jerárquica en etología.
Con ligeras modificaciones se ha incorporado a la
incipiente área de la sociofísica como modelo de
estraticación social.
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MODELO DE BONABEAUE. Bonabeau et al., Physica
A, 217, 373 (1995).
Se trata de un sistema, formado por agentes que
parten de una situación de igualdad, con dos
componentes básicos
(1) Un mecanismo de competición con
retroalimentación por el que los
ganadores/perdedores tienen más probabilidades de
volver a ganar/perder.
(2) Un mecanismo de relajación que tiende a
igualar a los competidores.
El compromiso entre los dos mecanismos determina
una transición de fase para una densidad crítica
de agentes, que distingue sociedades igualitarias
a bajas densidades y jerarquizadas a altas.
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REGLAS DEL MODELO
El sistema parte de una comunidad formada por N
agentes distribuidos aleatoriamente en una red
regular L x L, es decir con una densidad de
población ? N / (L x L).
Cada agente i 1 2 ... N está caracterizado
por el valor en tiempo t de una variable hi(t),
que a partir de ahora llamaremos status.
Inicialmente todos los agentes tienen el mismo
status hi(t 0) 0, parten de una situación de
igualdad.
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DINÁMICA DEL SISTEMA 2 mecanismos
(1) Competición con retroalimentación se elige
un agente i al azar y se mueve de modo aleatorio
a una de sus cuatro casillas vecinas. En el caso
de que la casilla esté vacía, el agente pasa a
ocuparla. Si está ocupada por un agente j se
produce un enfrentamiento. El agente atacante i
vencerá al agente j con probabilidad
Donde ? gt 0 es un parámetro constante del sistema.
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Si i gana, intercambia la casilla con j. Si
pierde, se mantienen las posiciones. Después de
cada enfrentamiento los status hi(t) y hj(t) se
actualizan sumando a su valor 1 en el caso del
vencedor y disminuyendo en F en el caso del
derrotado.
Observemos que F es un parámetro del sistema que
puede tomar valores igual o mayores que 1. Si F
1 llamaremos al modelo simétrico. En el caso
asimétrico, con F gt 1, el hecho de perder será
más trascendente para el status del individuo,
que el de ganar.
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DINÁMICA DEL SISTEMA
(2) Relajación se define un paso de tiempo en
el sistema después de N repeticiones de la
operación anterior (haya o no enfrentamiento). Des
pués de cada paso de tiempo todos los agentes
multiplican su valor hi(t) por un factor
de relajación (1 - ?), donde 0 lt ? lt 1.
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• COMPROMISO ENTRE 2 MECANISMOS
• Mecanismo de competición (1) es retroalimentado
  son las diferencias de status hj(t) - hi(t),
  pesadas por ?, las que determinan las
  probabilidades a tiempo t de vencer/perder de los
  agentes i y j.
• El mecanismo de relajación (2) tiende a que los
  status hi(t) se igualen, tiende a amortiguar las
  diferencias.
• -A bajas densidades la relajación gobierna la
  dinámica
• -Cuando la densidad aumenta el mecanismo de
  combato se vuelve importante.
• ? Simulaciones de BONABEAU transición de fase

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MEDIDA DE LA JERARQUÍA
Una medida natural de la jerarquización o
diversidad de status del sistema es la desviación
típica de la distribución de las probabilidades
estacionarias
Está acotada inferiormente con valor 0 y
superiormente con valor 1. Actúa como parámetro
de orden del sistema.
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Simulación numérica A bajas densidades la
dispersión es nula hay igualdad
entre agentes. A altas se genera jerarquía
bruscamente.
Imagen de transición Bonabeau
Generación de jerarquía en el modelo numérico de
Bonabeau
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• OBJETIVOS
• Describir de modo analítico el modelo numérico
• -Rescatar la fenomenología (transición de fase).
• -Analizar la estructura de formación de
  jerarquía.

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Aproximación de campo mediopara el modelo de
Bonabeau
Para abordar matemáticamente el sistema
obviaremos las correlaciones espaciales
interpretando ? como la probabilidad de
enfrentamiento entre dos agentes. En el modelo
espacial original eso es equivalente a tomar
todos los agentes de la red regular y
distribuirlos al azar a cada paso de tiempo.
No combate
combate
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RESULTADOS transición de fase
La transición de fase se desplaza en función
de los valores de los parámetros N,F,?,?.
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RESULTADOS transición de fase
igualdad-jerarquía

• Pérdida de estabilidad del régimen igualitario
  hi0 para cierta densidad crítica ?C
• La densidad crítica depende de los parámetros F
  (asimetría), ? (relajación), N (número de
  agentes) y ? (acoplamiento)
• ?c concuerda con las simulaciones

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RESULTADOS fase jerárquica

• Transición de fase entre regimen igualitario
  (hi0) y regimen jerárquico en ?c
• 
  N 2

Pérdida de estabilidad
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RESULTADOS fase jerárquica
A partir de la densidad crítica los status se
diversifican generando jerarquía
N 3
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RESULTADOS fase jerárquica
Más allá de la densidad crítica los status
sufren de nuevo splitting
N 6
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RESULTADOS fase jerárquica
Patrón no trivial Crecimiento del desorden no
monótono. Aunque la diversidad siempre aumenta
(? creciente), la diversificación de status
presenta un patrón más complejo. POSIBLE
CAUSA RELAJACIÓN MULTIPLICATIVA
Existen intervalos en los cuales la
diversificación de status disminuye!!!
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CONCLUSIONES PRELIMINARES

• Mediante métodos de campo medio, obtenemos que el
  modelo de Bonabeau
• - evidencia transición de fase
  igualdad-jerarquía
• - ?c(N,F,?,?) coincide con resultados
  numéricos
• Complejidad estructural no trivial de la fase
  jerárquica
• - patrón de formación atípico (varias
  densidades críticas)
• - el desorden del sistema no crece de forma
  monótona
• EXTENSIÓN DEL ANÁLISIS STAUFFER

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MODELO DE STAUFFER
El modelo de Stauffer incorpora al modelo de
Bonabeau una sutil modificación en el cómputo de
probabilidades, acoplando un factor de feedback
Se introduce este parámetro para solventar los
supuestos problemas de los que adolecía el modelo
original (falta acotación en el modelo con
relajación aditiva)
feedback
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RESULTADOS NUMÉRICOS existentes en la literatura
Salto abrupto del parámetro de orden
Sociophysics Simulations IV Hierarchies of
Bonabeau et alDietrich Stauffer 8th Granada
Seminar, AIP Conf.Proc.
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APROXIMACIÓN DE CAMPO MEDIO
El análisis de estabilidad del sistema para el
punto fijo (zona estable) nos proporciona los
siguientes resultados
SIEMPRE ESTABLE !!
Cómo puede entonces existir una transición entre
régimen igualitario y jerárquico, si el primero
es ESTABLE para toda
densidad?
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SIMULACIONES DE MONTE CARLO Diversidad
(estacionaria) con respecto a la densidad del
sistema
Stauffer et al.
Lacasa Luque

• La rama de igualdad es siempre
• estable.
• En una densidad crítica se genera
• mediante bifurcación silla-nodo otra
• rama estable, la de jerarquía

Dependiendo de las condiciones iniciales que se
den en la simulación, el sistema tiende, por
encima de la densidad crítica, a una de las dos
ramas. En todos los trabajo de Stauffer y
subsiguientes, las condiciones iniciales se toman
de tal modo que el sistema se halle en la cuenca
de atracción de la rama jerárquica.
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CONCLUSIONES EN ESTE MODELO DE JERARQUÍA

• Por debajo de una densidad, el sistema tiene un
  único punto fijo (una cuenca de atracción la
  zona igualitaria).
• En una densidad crítica, se genera una
  bifurcación silla-nodo, apareciendo en el sistema
  otro punto fijo estable, el de la zona
  jerárquica dependiendo de las condiciones
  iniciales el sistema tenderá a una de las dos
  cuencas.
• No existe transición, sólo cambio en las cuencas
  de atracción.

NO ES UN MODELO DE GENERACIÓN DE JERARQUÍA
-Por debajo de una densidad crítica, el
sistema posee un único punto fijo
(triángulos). -Por encima, tenemos dos puntos
fijos estables (igualdad-jerarquía) y uno
inestable que los Delimita (círculos).
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CONCLUSIONES GENERALES

• Mediante técnicas analíticas (aproximación de
  campo medio, análisis de estabilidad) hemos
  tratado varios modelos de jerarquía que existian
  en la literatura
• El modelo de Bonabeau presenta una transición
  igualdad jerarquía, en donde nuestro enfoque
  discreto nos permite analizar el patrón de
  generación de jerarquía, que presenta
  complejidad.
• La versión desarrollada por Stauffer y empleada
  en numerosos artículos siguientes no presenta
  estrictamente una transición igualdad-jerarquía
  en tanto en cuanto no se genera desorden a partir
  del orden.

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REFERENCIAS

• Bonabeau hierarchy models revisited (L.
  Lacasa, B. Luque)
  PHYSICA A -in press-

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GRACIAS !!