Faut-il br

1
Faut-il brûler la logique classique?

• Les logiques modales

2
C. I. Lewis, 1918 les  paradoxes  de
limplication matérielle

• (1)
• (2)
• ad impossibile sequitur quodlibet
• Ex si  leau bout à 100  est vraie, alors il
  est vrai que  si Charlemagne fut empereur, alors
  leau bout à 100 
• Distinguer une  implication stricte  dune
  implication matérielle?

3
Implication stricte

• P implique strictement Q si et seulement sil est
  impossible que P soit vrai sans que Q le soit
• Fait intervenir la notion de modalité

4
une idée pas neuve

• Aristote, Premiers Analytiques
• cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J.
  Vuillemin, 1984)

5
Aporie de Diodore - 1

• A le passé est irrévocable,
• B si q suit nécessairement de p, alors sil
  nest pas possible que q, il nest pas possible
  que p
• C il y a des possibles qui ne se réaliseront
  jamais,
• D de ce qui se réalise il na jamais été vrai
  quil ne se réalisera pas,
• E de ce qui ne se réalise pas et ne se
  réalisera jamais, il a été vrai (à quelque
  moment) quil ne se réalisera jamais

6
Aporie de Diodore - 1

• A le passé est irrévocable,
• B si q suit nécessairement de p, alors sil
  nest pas possible que q, il nest pas possible
  que p
• C il y a des possibles qui ne se réaliseront
  jamais,
• D de ce qui se réalise il na jamais été vrai
  quil ne se réalisera pas,
• E de ce qui ne se réalise pas et ne se
  réalisera jamais, il a été vrai (à quelque
  moment) quil ne se réalisera jamais

• Pp ? ?M?Pp
• L(p ? q)?(?Mq ? ?Mp)
• ?(Mp ? p ? Fp)
• p ? ?P?Fp
• ?p ? ?Fp ? P?Fp

7
Intérêt des logiques modales

• Introduire
• le temps dans la logique (logique temporelle)
  sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé
  et futur),
• les considérations de contingence et de nécessité
  (logique aléthique),
• celles de permission et dobligation (logique
  déontique)
• les notions de savoir et de croyance (logiques
  épistémiques et doxastiques).

8
opérateurs

• logique aléthique  le nécessaire est le dual du
  possible
• logique déontique  lobligatoire est le dual du
  permis
• logique de la prouvabilité le prouvable est le
  dual du  consistant avec 
• ?p ? ???p

9
Premières approches Lewis et Langford, 1932

• Présentation à la Hilbert

10
Lapproche syntaxique (2)

• Interprétation  naturelle 
• ?p  il est nécessaire que p 
• La logique modale (propositionnelle) est une
  extension du calcul propositionnel
• Toute logique modale doit contenir comme
  théorèmes au minimum toutes les tautologies du
  CP,
• Comme il existe une procédure pour les déterminer
  (décidabilité), on peut admettre que chaque
  tautologie du CP est prise comme axiome

11
Lapproche syntaxique (3)

• axiomes  propres , permettant de manipuler
   ? 
• Axiomes CP toute formule ayant la forme dune
  tautologie
• Axiome K ?(???) ? (??? ??)
• Règles modus ponens
• ? ???
• ?
• nécessitation ?
• ??

12
Sémantique de la logique modale

• Sémantique dite  de Kripke 
• Deux notions-clés
• Monde possible
• Relation daccessibilité

13
La théorie des mondes possibles
14
Semantic frame

• Un  frame  F est un couple (W, ?) où
• W un ensemble non vide (de  mondes
  possibles )
• ? une relation binaire sur W
• Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V)
  où
• F est un  frame 
• V est une application de p1, p2, , pn ? W dans
  0,1 (à chaque lettre propositionnelle et chaque
  monde possible une valeur de vérité)

15
Sémantique (3)

• Si dans le modèle M, V(p, w) 1
• (p une lettre propositionnelle, w un monde), on
  écrit
• VM,w(p) 1 ou
• M,w p ou encore w M p
• On étend V à toute formule au moyen de
• VM,w(???) 1 ssi VM,w(?) VM,w(?) 1
• VM,w(???) 0 ssi VM,w(?) VM,w(?) 0
• VM,w(??) 1 ssi VM,w(?) 0
• VM,w(?) 1 ssi pour tout w tel que w?w,
  VM,w(?) 1

16
Liens entre propriétés de ? et formules vraies
dans une logique modale

• Supposons que nous prenions comme axiome
  supplémentaire, la formule
• ?? ? ?
• Quelle est sa signification en termes de
   frame  ou de  relation daccessibilité ?

17

• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors ? est vraie dans ce monde
  actuel
• Autrement dit w0 fait partie de ces mondes
  accessibles à partir de lui-même
• w0 ? w0
• Autrement dit ? est réflexive

18
Propriétés de ? et formules vraies

• Idem pour
• ?? ? ???
• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors cest le cas également de
  ??
• Pour que ?? soit vraie dans tout monde w
  accessible à w0, il faut que ? soit vraie dans
  tout monde accessible à tout monde w accessible à
  w0.
• Donc la formule exprime le fait que si ? est
  vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle
  est encore vraie dans tout monde accessible à
  tout monde accessible à w0.

19

• ceci est assuré si
• ? est transitive

20

• Quen est-il de
• ??? ? ? ?

21

• Sil existe un monde possible accessible au monde
  actuel où ?? est vraie, alors ? est vraie dans le
  monde actuel
• Soit w1 ce monde, dire que ?? est vraie dans w1,
  cest dire que ? est vraie dans tout monde
  possible accessible à w1
• Si on veut que toujours en ce cas, ? soit vraie
  dans w0, il suffit que w0 soit toujours
  accessible à w1
• Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0
• Donc que ? soit symétrique

22
Caractérisation (2)

• ?? ?? (axiome T) caractérise les frames réflexifs
• ?? ? ??? (axiome 4) caractérise les frames
  transitifs
• ??? ? ? (axiome B) caractérise les frames
  symétriques
• ?? ? ??? (axiome 5) caractérise les frames
  euclidiens

23
Différentes logiques

• On a vu K (pas de propriété particulière de ?)
  (logique modale minimale)
• K ?? ? ? logique T
• T ?? ? ??? logique S4
• S4 ?? ? ??? logique S5
• si on ajoute ? ? ?? collapsus (retour à CP)

24
Logique épistémique (1)

• ?
• K?
• toute vérité (logique) est connue!
• (omniscience)
• Axiome K si x sait que A ? B alors sil sait A,
  il sait B ( distribution )
• Connaissance x sait que ? ? ?
• Modus ponens

25
Logique épistémique (2)

• 4  Ki? ? Ki Ki ?
• Axiome de lintrospection positive
• 5 ?Ki? ? Ki? Ki?
• Axiome de lintrospection négative
• B ?Ki?Ki? ? ? ???

26
8- La logique et les processus

• Logique linéaire

27
Le calcul des séquents (Gentzen, 1934)comme
méthode de décision pour la logique classique et
la logique intuitionniste

• Prouver
• (A ? B) ? ((B ? C) ? (A ? C))

28
démonstration

• A ? B, B ? C, A, B B, C A ? B, B ? C, A, B,
  C C
• A ? B, B ? C, A A, C A ? B, B ? C, A, B C
• A ? B, B ? C, A C
• A ? B, B ? C A ? C
• A ? B (B ? C) ? (A ? C)
• (A ? B) ? ((B ? C) ? (A ? C))

29
axiome
Règles logiques

• ? D  A, ? - ?, B ? G  ? - ?, A B, ? -
  ?
• ? - ?, A?B A ? B, ? - ?
• ? D  A, ? - ? ? G  ? - ?, A
• ? - ?, ? A ? A, ? - ?

A, ? - ?, A
coupure
? - ?, A A, ? - ? ?, ? - ?, ?
30
Règles structurelles

• Affaiblissement 
• à gauche ? - ? à droite  ? - ?
• ?, A - ? ? - A, ?
• Contraction 
• à gauche ?, A, A - ? à droite  ? - A, A, ?
• ?, A - ? ? - A, ?
• Permutation
• à gauche ?, A, B, ? - ? à droite  ? - ?,
  A, B, ?
• ?, B, A, ? - ? ? - ?, B, A, ?

31
Gentzen - suite

• Hauptsatz
• Le système sans coupure permet de prouver les
  mêmes séquents que le système avec coupure !
• Alors
• La règle de coupure ne sert à rien?
• Si!

32
Calcul intuitionniste

• dissymétriser le calcul les séquents ont au plus
  une formule en partie droite
• empêche tiers exclu et double négation
• Isomorphisme de Curry-Howard
• types formules
• ?-termes preuves
• réduction élimination de la coupure

33
Pourquoi casser les symétries?

• En logique classique,
• ? - A, ? ?- B, ?
• ?, ? - A ? B, ?, ?
• et
• ? - A, ? ?- B, ?
• ? - A ? B, ?
• sont équivalentes (à cause des règles de
  contraction et daffaiblissement)

34
Pourquoi casser les symétries?

• Mais si on supprime ces règles?

35
Pourquoi casser les symétries?

• La logique linéaire (1985)
• 1- partie conjonctive
• ? G ?, A, B - ? ? D ? - A, ? ?- B, ?
• ?, A ? B - ? ?, ? - A ? B, ?, ?
• G1 ?, A - ? D ? - A, ? ?- B, ?
• ?, A B - ? ? - A B, ?
• G2 ?, B - ?
• ?, A B - ?

36
Logique linéaire 2partie disjonctive

• ? G ? - A, B, ? ? D ?, A - ? ?, B -
  ?
• ? - A ? B, ? ?, ?, A ? B - ?, ?
• ? D1 ? - A, ? ? G ?, A - ? ?, B-
  ?
• ? - A ? B, ? ?, A ? B - ?
• ? D2 ? - B, ?
• ? - A ? B, ?
• ? D  A, ? - ? ? G  ? - ?, A
• ? - ?, A? A?, ? - ?
• NB A o B ? A?? B

37
Logique linéaire - 3

• Retrouver la logique classique?
• A ? B ? !A o B
• Le rôle des exponentielles réintroduire
  localement les règles structurelles
• ?, A - ? intro ! ?, !A, !A -
  ? contraction
• ?, !A - ? ?, !A - ?
• ? - ? affaiblissement
• ?, !A - ?

38
Le menu.

• Prix 16
• Entrée au choix jambon ou salade
• Plat de résistance entrecôte
• Accompagnement frites à volonté
• Déssert au choix
• fromage
• ou
• fruit de saison selon arrivage (pêche
  ou pomme)

39
Le menu.

• Prix 16
• Entrée au choix jambon ou salade
• Plat de résistance entrecôte
• Accompagnement frites à volonté
• Déssert au choix
• fromage
• ou
• fruit de saison selon arrivage (pêche
  ou pomme)

40
La formule

• 16
• --o
• (jambon salade)
• ?
• (entrecôte ? !frites)
• ?
• (fromage (pomme ? pêche))

41
Autre exemple

• Il y a un siège disponible sur Londres
  Bruxelles
• Marie est à Londres
• John est à Londres
• En principe
• Marie peut prendre lavion pour Bruxelles
• John peut prendre lavion pour Bruxelles
• Donc Marie et John peuvent prendre lavion pour
  Bruxelles

42
En réalité

• Soit les prémisses
• ?x (Londres(x) o Brux(x))
• pour tout individu x, sil est à Londres, il
  peut aller à Bruxelles
• mais cette formule est utilisable une seule fois
• Londres(Marie)
• Londres(John)
• Elles ne permettent pas de déduire Brux(Marie) et
  Brux(John)

43
déduction

• ?x (Londres(x) o Brux(x))
• Londres(Marie) o Brux(Marie)
• Londres(Marie)
• Brux(Marie)
• Donc ?x (Londres(x) o Brux(x)), Londres(Marie)
  ? Brux(Marie)
• Londres(John) ? Londres(John)
• Donc ?x (Londres(x) o Brux(x)),
  Londres(Marie), Londres(John) ? Brux(Marie) ?
  Londres(John)
• Ou bien ?x (Londres(x) o Brux(x)),
  Londres(Marie), Londres(John) ? Brux(John) ?
  Londres(Marie)

44
Plus sérieux

• !(?e (electron(e) o ?z position(e, z)))
• !(?e (electron(e) o ?z vitesse(e, z)))
• Impossible de prouver
• !(?e (electron(e) o ?z position(e, z) ? ?z
  vitesse(e, z)))

45
déduction

• !(?e (electron(e) o ?z position(e, z)))
• electron(i)
• electron(i) o ?z position(i, z)
• ?z position(i, z)
• Mais electron(i) a été consommé, on ne peut pas
  le réutiliser pour prouver ?z vitesse(e, z)

46
Prouver cest aussi planifier

• cf. une action produit un changement dans le
  monde
• utilise des ressources
• se réalise par combinaison dactions plus
  élémentaires

47
poser c sur la table
48
poser c sur la table
c
a
49
poser c sur la table
c
a
50
poser c sur la table
a
51
poser c sur la table
a
52
poser c sur la table
a
c
53

• Passer de létat du monde
• main vide (V)
• c en haut de pile (donc accessible) (H(c))
• c sur a (S(c, a))
• à
• main vide
• c en haut de pile
• c en bas de pile (B(c))
• a en haut de pile

54
décrit par le séquent

• V, H(c), S(c, a) ? V?H(c)?B(c)?H(a)

55
Actions élémentaires

• prendre(x)  V, H(x), B(x) ? T(x)
• poser(x)  T(x) ? V?H(x)?B(x)
• oter(x, y)  V, H(x), S(x, y) ? T(x)?H(y)
• mettre(x, y)  T(x), H(y) ? V?H(x)?S(x, y)

56
preuve

• T(c) ? V ? H(c) ? B(c) H(a) ? H(a)
• ----------------------------------------------
  --- ? - droite
• T(c), H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)
• ----------------------------------------------
  - ? -gauche
• V, H(c), S(c, a) ? T(c) ? H(a) T(c) ? H(a) ? V ?
  H(c) ? B(c) ? H(a)
• --------------------------------------------------
  ---------------------------------coupure
• V, H(c), S(c, a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)

57
preuve

• poser(c) H(a) ? H(a)
• -------------------------------------- ?
  -droite
• T(c), H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)
• ------------------------------------ ?
  gauche
• oter(c, a) T(c) ? H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ?H(a)
• --------------------------------------------------
  ---------------------------------coupure
• V, H(c), S(c, a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)

58
preuve ? action?

• On peut extraire une composition dactions dune
  preuve
• comme on peut extraire un programme dune preuve
  (informatique théorique)

59
interaction

• choix  actif  (vous avez le choix entre
  et )
• ? choix  passif  (lun ou lautre, vous ne
  décidez pas)
• ? les deux, dans un ordre séquentiel non
  déterminé
• ? les deux, en parallèle, par exemple léchange
  (lun contre lautre)
• ? le changement de point de vue

60
interprétation

• Interaction
• la logique nest plus seulement interprétable
  comme  décrivant un extérieur ,
• elle sinterprète  par rapport à elle-même ,
  autrement dit elle réfère à ses propres
  procédures  linterprétation des règles se fait
  dans un dialogue interne et le système se voit
  ainsi doté dune dynamique des preuves

61
La logique et les processus

• une science formelle des processus
  informationnels convergents
• Applications
• Linguistique
• Biologie
• Sciences cognitives (Krivine)

62
biologie

• Antoine Danchin  la cellule est un ordinateur
  vivant 
• Physique  matière, énergie, temps
• Biologie  Physique information, codage,
  contrôle
• Arithmétique  chaînes dentiers, récursivité,
  codage
• Informatique  arithmétique programme
  machine 
•  comme dans le cas de la construction dune
  machine, dans celui de la construction dune
  cellule, on a besoin dun livre de recettes cela
  demande ensuite quon soit capable de changer le
  texte de la recette en quelque chose de concret 
  ceci consiste dans le  transfert
  dinformation . Dans une cellule, ce transfert
  dinformation est assuré par le programme
  génétique 

63
conclusion

• au cœur dun processus contemporain de
  mathématisation à propos dobjets qui nont pas
  pu jusquà présent être lobjet dun tel
  processus, faute doutils mathématiques adéquats
• il était assez imprévisible et il reste curieux
  que ce soit la logique, dans son propre
  développement interne, qui donne aujourdhui de
  tels outils, via lintégration quelle opère des
  lois de fonctionnement de machines abstraites.