Laure BlancFraud

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Restauration et analyse dimages par analyse
fonctionnelle

• Laure Blanc-Féraud
• DR CNRS
• Laboratoire I3S
• INRIA Sophia Antipolis

2
CONTENU

• Restauration dimage déconvolution, débruitage
• Restauration par minimisation de la Variation
  Totale (VT) (géométrie/contours)
• Espace BV
• Algorithmes
• Analyse dimages par transformée en ondelettes
• Transformée en ondelettes
• Espace de Besov
• Transformées vaguelet, platelet, wedgelet
• Décomposition sur un dictionnaire de formes

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Contenu(suite)

• Restauration par transformées en ondelettes
  (textures/détails fins).
• Invariance (translation, rotation), ondelettes
  complexes
• Déconvolution et paquets dondelettes
• Algorithmes (seuillages, filtrages)
• Algorithmes récents de restauration dimages
  (ondelettes et BV)
• Analyse dimages
• Décomposition géométrie/oscillations
• Segmentation fonctionnelle de Mumford Shah,
  notion de ?-convergence

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CONTENU

• Restauration dimage déconvolution, débruitage
• Restauration par minimisation de la Variation
  Totale (VT) (géométrie/contours)
• Espace BV
• Algorithmes
• Analyse dimages par transformée en ondelettes
• Transformée en ondelettes
• Espace de Besov
• Transformées vaguelet, platelet, wedgelet
• Décomposition sur un dictionnaire de formes

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Observation
Modèle dobservation
scène paysage vérité terrain
Luminance de la scène dans la bande spectrale
considérée et sous langle dobservation choisi
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Chaîne des dégradations
7
Dégradation (modèle simple)
Les images observées sont dégradées uo h u
n
8
Notations, hypothèses
sous-ensemble ouvert borné variables continues
niveau de gris au point x(x1,x2)
sous-ensemble borné de points discrets variables
discrètes pixel i,j
u0 image observée, dégradée de u uo h u
n
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Restauration

• Retrouver u, ayant observé u0 Hun
• Opérateur H connu
• Statistiques (moyenne et variance) connues pour
  le bruit n
• Hypothèses
• 
  linéaire
• Restauration déconvolution.
• si Hid débruitage

10
Restauration
11
Mais problème mal posé

• H peut ne pas être inversible, et instabilité de
  la solution par rapport aux données (idem pour H
  H)
• Problème bien posé au sens dHadamard la
  solution
• existe
• est unique
• dépend continûment des données.
• Problème mal posé il y a toujours instabilité
  de la solution par rapport aux données observées,
  qui sont toujours bruitées

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Inversion
Image déconvoluée sans régularisation
Image floue
13
Régularisation (Tikhonov)
14
Régularisation (Tikhonov)

• Equation dEuler

15
Régulariser et préserver les contours
Min u
16
Fonctions j
j non quadratique préservation des contours
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CONTENU

• Restauration dimage déconvolution, débruitage
• Restauration par minimisation de la Variation
  Totale (VT) (géométrie/contours)
• Espace BV
• Algorithmes
• Analyse dimages par transformée en ondelettes
• Transformée en ondelettes
• Espace de Besov
• Transformées vaguelet, platelet, wedgelet
• Décomposition sur un dictionnaire de formes

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Pourquoi BV ?

• Existence et unicité dune solution de
• Sur quel espace de fonctions doit-on minimiser ?
• dans un espace classique
• les fonctions sont trop régulières pour
  représenter des images, il ne peut y avoir de
  discontinuités sur des courbes contours ?
• L. Evans and R. Gariepy Measure theory and
  fine propoerties of functions, Studies in
  advanced mathematics CRCPress Berlin

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Espace BV

• Soit u une fonction de L2(?), on définit son
  gradient Du au sens des distributions. Du est une
  mesure de Radon vectorielle et on calcule sa
  variation totale notée

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Décomposition dans BV ou SBV

• Dans SBV

21
Régularisation dans BV ?

• Pour trouver des solutions discontinues à
  travers des courbes.

• Difficultés
• Pas déquations dEuler simples dans BV
• Comment appréhender numériquement une solution
  dans BV ? ? algorithmes

• Modéliser explicitement les contours
• Variable auxiliaire et résultats de ?-convergence
  pour lintégrale de longueur,
• Modèle explicite des courbes de contours par
  ensemble de niveaux.

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Analogie avec la segmentation dimage

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Résultat Image satellitaire (Nîmes _at_CNES)

• Image dégradée convolution et
• bruit gaussien. SNR16.7 dB
• Simulation SPOT 5 (CNES)
• Image restaurée, ? linéaire en ?
• SNR22.0 dB

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Résultat Image 3D synthétique

• Image synthétique Image dégradée
  Restaurée par Restaurée par
• 3D (coupes) convolution
  Richardson Lucy régularisation
• bruit de Poisson
  (RL) et VT quadratique

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Résultat Image 3D de microscopie confocale

• Coquille sphérique algo. RL
  algo RL VT
• _at_Pasteur (arrêt des
  itérations)

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CONTENU

• Restauration dimage déconvolution, débruitage
• Restauration par minimisation de la Variation
  Totale (VT) (géométrie/contours)
• Espace BV
• Algorithmes
• Analyse dimages par transformée en ondelettes
• Transformée en ondelettes
• Espace de Besov
• Transformées vaguelet, platelet, wedgelet
• Décomposition sur un dictionnaire de formes

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Contenu(suite)

• Restauration par transformées en ondelettes
  (textures/détails fins).
• Invariance (translation, rotation), ondelettes
  complexes
• Déconvolution et paquets dondelettes
• Algorithmes (seuillages, filtrages)
• Algorithmes récents de restauration dimages
  (ondelettes et BV)
• Analyse dimages
• Décomposition géométrie/oscillations
• Segmentation fonctionnelle de Mumford Shah,
  notion de ?-convergence

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Transformée en ondelettes

• Représentations efficaces pour le débruitage
  Choix de la base
• Représentation de limage sur peu de coefficients
  de valeurs fortes
• Le bruit est réparti sur tous les coefficients
• Pour la modélisation et lanalyse
• Dictionnaire de formes possibles dans une image
• Représentation non unique
• Transformée en ondelettes, ondelettes complexes,
  Paquets dondelettes, wedgelet, ridgelet

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Restauration par transformée en ondelettes

• Filtrage après inversion Donoho, Mallat, Kalifa
• Inversion non régularisée (Fourier)
• Transformation (changement de base)
• Seuillage des coefficients
• Transformation inverse

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Représentations efficaces
Représentation compacte concentrer le signal
sur un petit nombre de coefficients
Transformée
31
Représentations efficaces
Représentation efficace Le bruit déconvolué
reste localisé dans les bandes de plus haute
fréquence
Transformée
32
Représenterpour mieux filtrer
Séparation efficace du signal et du bruit
déconvolué
Transformée
33
Base dondelettes 1D
34
Bases dondelettes 2D
détails
approximations
35
Transformée en ondelettes
En pratique transformée en ondelettes discrète
Mallat,Vetterli
f et y sont entièrement définies par les filtres
discrets h et g
(a,d1,d2,d3) à léchelle 2-j ? (a,d1,d2,d3) à
léchelle 2-j-1
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Modélisation par transformée en ondelettes

• Domaine des ondelettes Représentation compacte
  du signal
• Représenter limage sur peu de coefficients de
  fortes valeurs.
• Les fonctions de bases doivent représenter au
  mieux le contenu de limage.
• Décomposition sur un dictionnaire de formes (non
  unique)
• ? Trouver X qui minimise

Algorithmes Basis Pursuit (Mallat), BCR,
37
Débruitage par transformée en ondelettes
Lestimateur de seuillage est optimal Donoho,
Johnstone
38
Filtrer le bruit déconvolué

• Annuler les coefficients dus au bruit seul
• Seuiller les coefficients du signal contaminé
  par le bruit

Dans la nouvelle base, les coefficients du bruit
doivent être indépendants ? pour les seuiller un
par un

• Covariance du bruit  presque diagonalisée par
  TO
• Donoho

39
Construction de lalgorithme

• Choix de la base
• compacité
• diagonalisation
• reconstruction
• invariances

Choix de la fonction de seuillage
Valeur optimale du seuil ?
40
Nîmes, image originale 512 x 512
41
Nîmes, image dégradée flou bruit gaussien
s1.4
42
contours diagonaux nets et réguliers
textures nettes
zones homogènes lisses
Nîmes, déconvolution par COWPATH 2
43
Nîmes, déconvolution par RHEA (régularisation non
quadratique)
44
Nîmes, déconvolution avec régularisation
quadratique (Wiener)
45
Comparaison des résultats
46
Résultat Image 3D simulation

• Image réelle et image dégradée
• par du bruit de Poisson (coupes)
• Restaurée par seuillage de la
• transformée en ondelettes
• complexes et réelles.

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Résultat Image 3D biologiquepar microscopie
confocale

• Image réelle (156x156x30)
• embryon de drosophile en train de
• réaliser la fermeture dorsale (coupe).
• Laboratoire biologie cellulaire UNSA/CNRS
• Débruitée par seuillage de la
• transformée en ondelettes complexes.

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Contenu(suite)

• Restauration par transformées en ondelettes
  (textures/détails fins).
• Invariance (translation, rotation), ondelettes
  complexes
• Déconvolution et paquets dondelettes
• Algorithmes (seuillages, filtrages)
• Algorithmes récents de restauration dimages
  (ondelettes et BV)
• Analyse dimages
• Décomposition géométrie/oscillations
• Segmentation fonctionnelle de Mumford Shah,
  notion de ?-convergence

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Deconvolution results
Image blurred by a synthetic aperture optical
system (with 4 lenses). Additive noise (?5? of
the image dynamic).
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Régularisation TVTO

• Lena image

blurred image
blurrednoisy
Wavelet TV regul.
Wavelet regul.
TV regul.
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Contenu(suite)

• Restauration par transformées en ondelettes
  (textures/détails fins).
• Invariance (translation, rotation), ondelettes
  complexes
• Déconvolution et paquets dondelettes
• Algorithmes (seuillages, filtrages)
• Algorithmes récents de restauration dimages
  (ondelettes et BV)
• Analyse dimages
• Décomposition géométrie/oscillations
• Segmentation fonctionnelle de Mumford Shah,
  notion de ?-convergence

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Décomposition dimages
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Décomposition dimages

• Espace G ?
• Définition
• Propriétés
• Comment décomposer ?
• Par minimisation de fonctionnelle
• Définition de la fonctionnelle
• Algorithme de minimisation
• Utilisation, Résultats

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Résultats

• Image bruitée ( f )
• Composante BV ( u ) Composante
  G ( v )
• Image originale fournie par le GdR-PRC ISIS

55
Résultats

• Image RSO observée ( f )
• (CNES, CESBIO)
• Composante BV ( u ) Composante
  G ( v )

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Stages

• Détection de points et de courbes dans des images
  3d. Application en imagerie biologique pour la
  détection de filaments dactine.
• Stage co-encadré par Laure Blanc-Féraud, Ariana,
  I3S/INRIA
• Gilles
  Aubert Laboratoire J-A. Dieudonné (mathématique)
• Collaboration avec lInstitut Pasteur Paris.
• Déconvolution aveugle en imagerie biologique 3d.
• Stage co-encadré par Laure Blanc-Féraud, Ariana,
  I3S/INRIA
• Josiane
  Zerubia Ariana, I3S/INRIA
• Collaboration avec lInstitut Pasteur Paris,
  lInstitut Weizmann Israel.
• Restauration et analyse dimage
  multidimensionnelle.
• Stage co-encadré par Laure Blanc-Féraud, Ariana,
  I3S/INRIA
• Gilles
  Aubert Laboratoire J-A. Dieudonné (mathématique)
• Collaboration avec plusieurs équipes parisiennes
  et lObservatoire Midi-Pyrénées