The Physics of Star Trek

1
Licence Sciences et Technologies PHYSIQUE ET
CHIMIE, parcours Sciences Physiques L1-S2 Électr
omagnétisme Dominique Bolmont
ELECTROMAGNETISME
2

• From the Greek elektra meaning amber

A - ELECTROSTATIQUE
3
A-I Les charges électriques
A-I.1 Propriétés des charges électriques

• Les charges électriques
• Sont portées par des particules matérielles
  électrons, protons pour les plus courantes
• Sont indestructibles (algébriquement)
• Sont de deux signes positif (proton) et négatif
  (électron)
• Lunité de charge électrique est le Coulomb
• La plus petite quantité délectricité est e, -
  e étant la charge de lélectron e 1,602 10-19
  Coulomb
• Toute quantité délectricité Q est un multiple de
  e
• n entier
• Les quarks, éléments à partir desquels sont
  fabriquées les particules élémentaires, peuvent
  avoir des charges fractionnaires de e, mais comme
  ils nexistent pas à létat isolé, ils ne peuvent
  intervenir dans les lois de lélectricité avec de
  telles charges
• (quark up q 2/3e quark downq -1/3e)

4
A-I.2 Triboélectricité
Historiquement première mise en évidence de
lélectrisation des corps par frottement
Matériaux donnant des charges positives Mains
humaines, Amiante, Peau de Lapin, Verre, Mica,
Papier, Cheveux humains, Nylon, Laine, Fourrure,
Plomb, Soie, Aluminium
Matériaux donnant des charges négatives Acier,
Bois, Ambre, Cire, Caoutchouc, Nickel, Cuivre,
Laiton, Argent, Or, Platine, Acétate de soufre,
Rayonne, Polyester, PVC, Silicium, Téflon.
Charge par contact. Il ny a pas de charge par
influence, contrairement à ce qui est souvent
dit.
5
Électrification en cas dorage
A-I.3 Phénomènes et Expériences
6
Production dune étincelle à partir du nez dun
jeune garçon, électriquement isolé du sol et
chargé par un bâton débonite manœuvré par lAbbé
Nollet. Avant létincelle, décharge électrique,
le jeune garçon peut attirer de petits morceaux
de papier.
7
(No Transcript)
8
A-I.4 Machines électrostatiques
9
Générateur Van de Graaff
10
A-I.5 Distributions de charges
La charge totale du domaine électrisé est la
somme algébrique de toutes les charges. Pour des
distributions continues il faut procéder à des
intégrations
Il est fréquent que les quantités de charges
produites sur des corps électrisés soient
constituées dun très grand nombre de charges
élémentaires. Ces charges, très proches les unes
des autres, peuvent être considérées comme des
distributions qui, à léchelle du laboratoire,
apparaîtront comme des continuums.
Domaine volumique 3D densité de charges par
unité de volume Cm-3
Élément de volume dt contenant la charge

Domaine surfacique 2D densité de
charges par unité de surface
Cm-2
Élément de surface dS contenant la charge

Domaine linéique 1D densité de
charges par unité de longueur
Cm-1
Élément de longueur dl contenant la charge

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Exercices Calculs de densités de charges
électriques Exemple 1 Soit un proton de charge
e 1,6 10-19 C et de diamètre d 10-14 m La
densité volumique de charge électrique est donnée
par, si la charge est uniformément
répartie, Valeur numérique ?3.1023 Cm-3 Exemple
2 Un condensateur plan (voir plus loin) de
capacité C 1µF, de distance entre les armatures
de d 0,01 mm, est chargé sous une tension V
100 V. Nous verrons que la capacité du
condensateur plan est donnée par .
On en déduit que la surface est S 1,13 m2. La
charge électrique est donnée par Q CV 10-4
C Soit une densité de charges par unité de
surface Exemple 3 Un fil de cuivre de diamètre
1 mm est non chargé. Combien contient-il
délectrons par unité de longueur? Masse
volumique du cuivre ? 8900 kgm-3. N atomique
du cuivre 29. Masse atomique du cuivre M63,54 g.
On en déduit une charge par unité de longueur ?
1,9 1024 Cm-1.
12
A-II La Force de Coulomb
A-II.1 Définition
C. Coulomb 1736-1806

• Propriétés de la force de Coulomb
• Cest une loi au caractère fondamental, une des
  quatre interactions fondamentales présentes dans
  la nature. Elle doit être acceptée comme telle,
  étant soumise à, et vérifiée par, lexpérience.
• Définie entre deux charges ponctuelles (de très
  petites dimensions propres par rapport à la
  distance r qui les sépare)
• A la direction de la droite qui joint les charges
• Attractive si
• Répulsive si
• Varie en intensité comme linverse du carré de la
  distance qui les joint
• Directement proportionnelle à la valeur de
  chacune des charges
• Le facteur résulte du choix des
  unités

13
A-II.2 Intensité relative des forces
La force de Coulomb est incommensurablement
supérieure à la force de gravitation
(à léchelle des particules)
Force de gravitation entre les deux masses
Force de coulomb entre les deux
charges Rapport Force de Coulomb/Force de
Gravitation
G 6,672 10-11 m3kg-1s-2
Entre proton et électron
14
A-II.3 Balance de Coulomb
15
A-II.4 Forces entre plus de deux charges
1er Principe La force de Coulomb qui se produit
entre deux charges électriques ponctuelles est
indépendante de la présence de toute autre charge
voisine ou pas. 2éme Principe (dit de
superposition) Si plusieurs charges électriques
exercent leurs actions sur une charge donnée, la
force totale sur cette dernière est la somme
(vectorielle) des forces de Coulomb produites par
les différentes charges prises individuellement.
Pour deux charges sur une troisième
Pour une distribution discrète de N charges qui
agissent sur la charge (q , M)
16
Exercice 1 Soit une charge ponctuelle q placée
au point M(x,y,z). Une autre charge ponctuelle q
est placée au point M(x,y,z). Expression
analytique de la force de q sur q dans la
base Le module de la force est donné par
Exercice 2 Force électrique entre le proton et
lélectron de latome dhydrogène distants de d
10-10 m. Valeur numérique F 23. 10-9 N
17
A-II.5 Compléments
Les compléments annoncés comme tels font appel à
des notions mathématiques un peu plus évoluées
que le cœur du cour. Ils sont souvent utiles pour
traiter de problèmes plus généraux leur
assimilation peut être reportée à plus tard quand
le reste du cours sera bien compris.
Charge totale dune distribution continue
Charge totale du domaine 3D
Charge totale du domaine 2D
Charge totale du domaine 1D
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Force quune distribution continue de charges
exerce sur une charge ponctuelle q Pour traiter
de ce problème on décompose la distribution en
charges élémentaires quasi-ponctuelles dq on
utilise la force de Coulomb entre les deux
charges ponctuelles q et dq on effectue la
sommation (intégrale) sur lensemble de la
distribution
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Force dune distribution continue sur une charge
ponctuelle les trois cas
Force de la charge totale du domaine 3D sur la
charge ponctuelle q
q
Force de la charge totale du domaine 2D sur la
charge ponctuelle q
q
Force de la charge totale du domaine 1D sur la
charge ponctuelle q
q
20
Exercices Exercice 1 Force dun fil chargé très
long, de section très petite, sur une charge
ponctuelle voisine.
Soit un fil rectiligne très grand portant une
charge par unité de longueur ?. Une charge q
ponctuelle est placée à la distance a du fil. On
cherche la force que le fil chargé exerce sur la
charge ponctuelle.
Au point M du fil, à la distance z du point O,
projection orthogonale de M sur le fil, on
considère une charge élémentaire dq, portée par
lélément du fil de longueur dz. La force
électrique que cette charge élémentaire dq crée
sur la charge ponctuelle q est En utilisant le
repère
M
dz
dq
r
z
?
O
q
a
M
21
Pour trouver la force totale il faut procéder à
une intégration le long du fil qui est très
grand. Une bonne variable dintégration est ?.
Nous avons les correspondances Pour obtenir la
quantité dz, accroissement de la variable de
position z, il faut différentier lexpression
z(?) qui donne Avec ces différentes
transformations la force élémentaire peut
sécrire Après les simplifications dusage Il
faut définir les bornes dintégration. Comme le
fil est très grand et que la charge q est près du
fil il est possible dintégrer de
, intégration élémentaire pour un
titulaire du Bac. Remarques la force est
portée par le vecteur donc perpendiculaire
au fil le module de la force est bien en m-2,
bien quil ny ait que a au dénominateur, la
charge par unité de longueur étant exprimée en
C.m-1.
22
Exercice 2 Force exercée par une plaque plane
chargée uniformément sur une charge
ponctuelle. La plaque est supposée de grandes
dimensions, la charge ponctuelle q est à faible
distance a de la plaque.
Un petit élément dS de la surface chargée est
considéré au point M à la distance ? du point O,
projection orthogonale du point M, où se trouve
la charge ponctuelle, sur le plan. Ce petit
élément de surface porte la charge élémentaire La
force électrique que cette charge élémentaire dq
crée sur la charge ponctuelle q est Considérons
la charge élémentaire dq symétrique de dq par
rapport au point O, donc placée en M tel que
La force électrique que cette charge élémentaire
dq crée sur la charge ponctuelle q est
Charge s Cm-2
M
dS
?
r
O
?
?
a
dS
M
M
q
Lensemble des deux charges élémentaires dq et
dq crée une force totale sur la charge
ponctuelle
23
Si on considère que les deux petites surfaces
élémentaires dS et dS sont égales avec dS
dS dS, il est possible décrire la force
précédente sous la forme Si la plaque est
supposée de très grandes dimensions, à toute
surface élémentaire dS il sera possible de
trouver la surface symétrique dS. Il en résulte
donc que la force totale de la plaque chargée sur
la charge ponctuelle est dirigée suivant
, donc perpendiculaire à la plaque.
Tous les éléments de la couronne circulaire
définie par la surface élémentaire dS en
tournant autour de O à distance constante ?
contribuent par couple à la force totale suivant
lexpression ci-dessus. Il est donc possible de
remplacer la quantité 2.dS par la surface totale
de la couronne donnée par
dS
M
d?
?
r
O
?
a
M
q
En effectuant les changements de variables à
laide de langle ? nous avons
Pour décrire lensemble de la plaque de grandes
dimensions vue à faible distance il faut prendre
en compte lensemble des éléments annulaires
depuis le point O (? 0) jusquà une valeur qui
peut être ? p/2
24
Lintégration donne immédiatement Remarques la
force est bien perpendiculaire au plan la force
ne dépend pas de la distance au plan la force
est bien en m-2, puisque s est en
C.m-2. Exercice 3 Force exercée par une sphère
uniformément chargée en volume sur une charge
ponctuelle q extérieure à la sphère.
Avant de traiter de ce problème, cherchons la
force créée par une sphère uniformément chargée
en surface par s Cm-2 sur une charge ponctuelle
placée à lextérieur . Pour répondre à cette
question, cherchons la force créée par un fil
très fin, formant un cercle, et chargé
uniformément par ? Cm-1, sur une charge
ponctuelle placée sur son axe. Soit Q la charge
totale du fil.
R
O
q
M
Charge uniforme ? Cm-3
25
Sur le cercle en question, deux points
symétriques M et M portant des charges égales
dQ dQ dQ donnent une force totale sur la
charge ponctuelle q de laxe
M
dQ
d
O
b
q
c
M
M
dQ
Pour trouver la force totale il suffit de
procéder à la sommation sur toutes les charges dQ
du fil, les autres paramètres étant
constants. Revenons à la force créée par une
sphère de rayon r chargée en surface. On découpe
la surface de la sphère en fils circulaires comme
ceux utilisés ci-dessus. Pour trouver la force
totale créée par la surface sphérique il faut
faire la somme sur tous les fils circulaires. Sur
le dessin qui suit sont représentés en coupe les
paramètres en question dans ce découpage.
r
c
d
O
O
q
b
M
Charge uniforme s Cm-2
26
d
d?
c
?
q
O
O
M
b
r
a
Charge uniforme s Cm-2
En utilisant la variable ? les paramètres
suivants peuvent sécrire dS étant la surface
découpée par le fil sur la sphère. La force
élémentaire créée par le fil circulaire pris sur
la surface est
27
La force est donnée par lexpression Bien que
lexpression puisse apparaître comme compliquée,
le calcul de lintégrale ne pose pas de problème
si on pose comme variable dintégration
avec
et Il reste à trouver des primitives
de u-1/2 et u-3/2. Après quelques calculs on
trouve Q étant la charge totale portée par la
sphère sur sa surface. Ce résultat est
remarquable à plus dun titre, tout ce passe
comme si la charge de la sphère était concentrée
en son centre, à la distance a de la charge
ponctuelle. Ce résultat est général pour les
distributions à symétrie sphérique, nous
reviendrons sur ce résultat par une méthode
dobtention plus directe. Reste à calculer la
force due à la sphère chargée en volume de
manière uniforme. Si on décompose cette sphère
comme une succession de surfaces sphériques
concentriques, dépaisseurs infinitésimales,
comme un oignon, de rayons compris entre 0 et R.
Chaque surface sphérique donne une contribution
du type de celle qui vient dêtre calculée et qui
se somment toutes sans difficulté. Il vient pour
la force totale de la sphère chargée en volume
avec une charge que nous noterons aussi Q Nous
traiterons plus tard le cas où la charge
ponctuelle est placée à lintérieur de la sphère
chargée.
28
A-II.6 Exercices à faire
N1- Action de deux charges ponctuelles sur une
troisième
En A et B charges q gt 0 , OA OB a fixe En M
charge q gt 0 , OM x 1- Donner lexpression de
la force F(x) de AB sur M 2- Tracer F(x)
pour toutes valeurs de x.
3- Donner une expression linéarisée de F(x) pour
0ltxltlta
N2- Action de quatre charges ponctuelles sur une
cinquième
En A,B,C,D sur un carré, centré en O, de côtés 2a
parallèles aux axes, quatre charges q gt 0 ,
fixes. En M, dans le même plan, charge q gt 0 ,
M(x,y) 1- Donner lexpression de la
force du carré sur M 2- Donner une
expression linéarisée de pour r ltlta. On
cherchera à écrire k
étant une constante à déterminer
29
A-III Le Champ Électrique
A-III.1 Définition - Propriétés
Les notions de champ ont été introduites dans les
classes du Lycée. Le plus commun est celui de
champ de pesanteur créé au voisinage dun
astre. Par analogie une charge électrique q
placée en un point M de lespace va créer ce que
lon appelle un champ électrique en tout autre
point M de lespace. La valeur de ce champ
électrique peut être rattachée rigoureusement à
la force de Coulomb de la manière suivante.
La force de Coulomb que la charge q exerce sur q
est
Le champ électrique créé par la charge q en
M est défini de la manière suivante
30
Une telle définition du champ électrique conduit
à la relation valable
pour la force exercée sur une charge ponctuelle q
placée là où existe un champ électrique
la source du champ nétant pas précisée.

• Propriétés du champ électrique
• Cest une grandeur physique vectorielle, créée
  par des charges électriques, et attachée à un
  point de lespace. On dit que le champ électrique
  modifie les propriétés de lespace. Il serait
  plus rigoureux de dire que le champ électrique
  représente les modifications des propriétés de
  lespace induites par les charges électriques.
• Défini pour une charge ponctuelle (de très
  petites dimensions propres par rapport à la
  distance r dobservation)
• A la direction de la droite qui joint la charge
  au point considéré
• A un sens donné par le signe de q
• Varie en intensité comme linverse du carré de la
  distance à la charge
• Intensité directement proportionnelle à la valeur
  de la charge
• Lunité est en Volt/mètre Vm-1

31

• Les lignes de champ
• Ce sont les courbes mathématiques qui en chaque
  point de lespace sont tangentes au vecteur champ
  électrique.
• Propriétés des lignes de champ
• Elles ont localement lorientation du champ
• Elles ne peuvent se croiser, condition pour que
  le champ soit défini univoque partout
• En général elles ont le même sens sur toute leur
  longueur.
• Si elles changent de sens cela ce produit en des
  points particuliers sur des domaines chargés,
  ou là où le champ sannule.
• Quelques exemples de spectres

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A-III.2 Champ créé par un ensemble de charges
Distribution discrète de charges La définition
retenue plus haut nous permet de passer
directement des forces entre charges au champ
créé par plusieurs charges
Pour deux charges
Pour une distribution discrète de N charges
33
A-III.2 Flux du champ Électrique Théorème de
Gauss
Définition du flux dun vecteur à travers une
surface Flux élémentaire Soit un élément de
surface, très petit disque, orienté par un
vecteur qui lui est perpendiculaire, dans
un sens choisi, et dont laire est donnée par la
norme Le flux élémentaire du vecteur au
travers la surface est donné par Cest une
grandeur algébrique positive ou négative suivant
lorientation de par rapport à
. Flux à travers une surface finie Pour une
surface finie S, la définition du flux du champ
de vecteur qui la traverse néchappe pas à
une formulation intégrale, avec laquelle il
faudra se familiariser, mais que lon se rassure,
les calculs mis en œuvre à ce niveau du cours
seront toujours simples, de par la haute symétrie
des surfaces utilisées.
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Flux élémentaire issu dune charge
ponctuelle Soit en O une charge ponctuelle q
(prise positive pour les besoins du dessin). Elle
crée en M un champ . On place en M une
surface élémentaire . Il est possible de
calculer explicitement le flux élémentaire
du champ au travers de cette surface .

La quantité purement géométrique sest vue
honorée dune attention très particulière en
théorie physique, lune des grandeurs bêtes
noires des étudiants en sciences. Cette quantité
sans dimension, comme celle jouée par les angles
en géométrie plane, sappelle langle solide
sous lequel du point O est vue la surface
placée en M, tel que
Cône sappuyant sur différentes surfaces
élémentaires définissant le même angle solide en
valeur absolue. Parmi ces différentes surfaces
celle correspondant à la sphère de rayon
unité centrée en O donne directement
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• Propriétés de langle solide
• Cest une grandeur sans dimension
• Mais qui a une unité le stéradian
• Cest une grandeur algébrique, donc positive ou
  négative, au même titre que le flux.
• Pour estimer langle solide sous lequel dun
  point O est vue une surface finie S il faut
  procéder à un calcul dintégration.

• Deux cas particuliers importants
• Surface fermée S vue dun point intérieur O.
  Langle solide est donné par la surface de la
  sphère de rayon unité centrée en O, soit
• Surface fermée S vue dun point O extérieur. Pour
  tout angle solide élémentaire
• les surfaces découpées sur S entrante et
  sortante donnent des angles solides égaux
  en module mais de signes contraires, soit au
  total zéro. Pour lensemble de la surface fermée

Surface fermée
36
Calculs dangles solides
1- Angle solide sous lequel est vu un disque
depuis un point de sont axe
Soit un disque de rayon R de centre O vu depuis
un point M de son axe, OM a, sous un demi-angle
au sommet ?. Calculer langle solide O sous
lequel le disque est vu du point M.
O
M
R
?
2- Angle solide sous lequel est vu le demi-espace
De lexemple précédent déduire langle solide
sous lequel est vu le demi-espace.
3- Angle solide sous laquelle est vue une plaque
carrée depuis un point de son axe
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O,
vue dun point M de son axe à la distance a de O.
Calculer langle solide O sous laquelle la
plaque est vue du point M. En déduire langle
solide sous lequel est vu le demi-espace.
37
Théorème de Gauss Flux du champ électrique créé
par des charges. Nous avons vu que le flux
élémentaire pouvait sécrire grâce à langle
solide

• Pour une surface fermée S deux cas se présentent
• La charge est placée à lintérieur de S. Langle
  solide sous lequel la surface est vue est 4p. Il
  en résulte que le flux est
• La charge est placée à lextérieur de S. Langle
  solide sous lequel la surface est vue est nul. Il
  en résulte que le flux est

38
Théorème de Gauss (suite)

• Généralisation à une distribution quelconque de
  charges, discrète comme continue
• Les deux cas précédemment cités nous permettent
  de présenter les deux volets du théorème de Gauss
• Pour les charges placées à lintérieur de S.
  Langle solide sous lequel la surface est vue est
  4p pour chaque charge. Il en résulte que le flux
  total du au champ créé par toutes les charges
  intérieures est
• étant la charge totale intérieure à S
• Pour les charges placées à lextérieur de S.
  Langle solide sous lequel la surface est vue est
  nul pour chaque charge. Il en résulte que le flux
  total dû au champ créé par toutes les charges
  extérieures est

Remarque sur lapplication du Théorème de
Gauss Comme méthode pour déterminer le champ
électrique, le théorème de Gauss ne sapplique
quaux systèmes à haute symétrie sphérique,
cylindrique, plane.
39
Tubes de flux Cette notion nous sera très utile
pour létude des systèmes de conducteurs à
léquilibre. Un tube de flux est une sorte de
tube à section en général variable dont la
surface latérale est constituée par des lignes de
champ et qui ne renferme pas de charge en son
intérieur. Soit une surface de Gauss formée par
les deux sections du tube de flux et
et la surface latérale du tube compris entre
ces deux sections. Sans charge dans le volume
ainsi défini le flux à travers cette surface de
Gauss est nul. Comme le champ est tangent à la
surface latérale il y induit un flux nul. Il en
résulte Comme les normales sur les deux bases
sont opposées on en déduit la conservation du
flux le long du tube. Pour toutes
sections S, S, Le flux le long dun tube de
flux se conserve.
40
Les calculs du champ électrique en un point M
sont valables que le point M soit situé hors ou
dans le domaine de la distribution de charges
(résultat admis, il nest pas interdit de
réfléchir sur sa démonstration)
A-III.3 Compléments
a- Champ dune distribution continue de charges
Le champ de la charge totale du domaine 3D est
donné au point M par
Le champ de la charge totale du domaine 2D est
donné au point M par
Le champ de la charge totale du domaine 1D est
donné au point M par
41
b- Formulation générale du théorème de Gauss
Surface de Gauss fermée limitant le volume t
Domaine de distribution de charges
c- Théorème dOstrogradski
Soit un volume t limité par une surface S (donc
fermée). Soit un champ de vecteur défini, de
même que ses dérivées en chaque point de
lespace. On a la relation
Nous avons utilisé lopérateur divergence div( )
qui appliqué à un vecteur écrit en coordonnées
cartésiennes donne
42
d- Relation locale issue du théorème de Gauss
A partir de la relation globale du théorème de
Gauss lutilisation de la relation
dOstrogradski donne Comme le volume t peut
être quelconque, le passage à la limite
donne une relation locale au point M entre les
propriétés de divergence du champ électrique et
la densité volumique de charges. Cette dernière
relation est une des quatre relations de
lélectromagnétisme (voir cours L2-S2) En
particulier là où la densité de charges est nulle
le champ électrique répond à la relation
43
e- Relation locale issue du théorème de Gauss
(suite)
Le champ électrostatique a une autre propriété
que lon peut taxer de fondamentale, puisquelle
se retrouve sous forme réduite dans une des
quatre équations de lélectromagnétisme (voir
cours L2-S2). Nous en donnons ici une
présentation à titre dexercice danalyse
vectorielle. Elle ne fait pas partie du corpus de
notions à acquérir dès la première année
universitaire. Soit un vecteur écrit en
coordonnées cartésiennes Considérons un nouvel
opérateur vectoriel agissant sur ce vecteur
noté défini de la manière suivante
Pour le champ créé par une charge ponctuelle Le
calcul de donne
Calculons la première composante à titre
dexercice
44
A-III.4 Méthodes de calcul du Champ Électrique

• On peut distinguer trois méthodes
• Calcul direct à partir de la définition (ici à
  3D)
• Calcul à partir du théorème de Gauss
• Calcul à partir du potentiel électrique scalaire
  (voir plus loin)

Plan
Cylindre
Sphère
45
A-III.5 Exercices à faire
Soit un fil rectiligne très très grand, de
section négligeable, portant une charge par unité
de longueur ? constante. 1- Calculer par une
méthode directe le champ électrique en un point M
à la distance a du fil. 2- Retrouver ce résultat
en appliquant le théorème de Gauss.
Soit un disque de rayon R portant une charge par
unité de surface s uniforme 1- Calculer par une
méthode directe le champ électrique en un point M
de laxe du disque à la distance a de son
centre. 2- Étudier et tracer E(a). 3- Réfléchir
sur la valeur du champ au centre du disque
correspondant à a 0
N2- Champ créé par un disque chargé
M
R
46
N3- Champ créé sur son axe par une plaque carrée
uniformément chargée
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O,
portant une charge électrique par unité de
surface. Calculer le champ électrique créé en un
point M de laxe à la distance a OM. On pourra
utiliser le résultat de lexemple 3 du calcul
dangles solides proposé plus haut, en ayant
avant remarqué que certaines intégrales
disparaissent pour des questions de parité. Le
passage de M en O doit redonner le résultat de
lexercice précédent avec le disque chargé.
N4- Champ créé par une sphère chargée en volume
Soit une sphère de rayon R portant une charge
uniformément répartie dans tout son volume avec
une densité ? constante. 1- Calculer par une
méthode directe le champ électrique en un point M
à la distance r du centre O de la sphère avec OM
r. 2- Étudier et tracer E(r) pour r variant de
0 à ? 3- Retrouver lexpression du champ en
utilisant le théorème de Gauss.