The Physics of Star Trek

1
B-VIII Généralisation aux distributions de
courants
B-VIII.1 Densité de courant
Pour les circuits de très petites sections, dits
filiformes, et qui correspondent assez bien à la
représentation que lon se fait des fils
électriques, le courant total I dans le circuit a
suffit à construire différentes grandeurs comme
champ et force. Pour aller plus loin il faut
définir une densité locale de courant électrique
de la manière suivante.
Imaginons maintenant que le courant électrique
ne soit pas limité à un circuit filiforme mais
quil soit étendu à une région de lespace comme
un fluide dans un tuyau de section variable. Il
est possible de définir en chaque point de cette
distribution un vecteur densité de courant
de la manière suivante. Le courant
traversant une surface infinitésimale orientée
est égal au produit scalaire Le courant
traversant une surface finie S est la somme
2
B-VIII.2 Champ magnétique créé par une
distribution de courant
Soit un élément de volume  orienté  défini au
point M dune distribution de courant
par dS orthogonal à
et parallèle à . Le courant qui
traverse la section dS est donné par
lélément de courant  filiforme  peut être
défini par
dS
Le calcul du champ magnétique à partir de la loi
de Biot et Savart donne pour lélément de courant
construit avec et Pour lensemble de la
distribution
M
M
3
B-VIII.3 Le potentiel magnétique vecteur
Le champ électrique sétant attaché un potentiel,
il serait profondément injuste de ne pas doter le
champ magnétique dun tel compagnon. Pour le
champ électrique le potentiel est scalaire avec
la relation locale Pour le champ magnétique,
nous définirons un potentiel magnétique vecteur,
représenté donc par un vecteur. Nous le
construisons à partir du champ magnétique créé
par un circuit filiforme.
Utilisons la forme suivante
La formule mathématique suivante entre une
fonction de point et le champ de
vecteur Nous conduit à un nouvelle expression

4
Dans le dernier terme le rotationnel se calcul en
M là où nest pas défini, ce terme
disparaît. Il reste alors La quantité
est appelée
le potentiel magnétique vecteur créé au point
M par le circuit C parcouru par le courant I. Il
est relié au champ magnétique par la relation
locale Remarque La relation entre et
nest pas univoque. Une infinité de potentiels
magnétiques vecteurs peuvent donner le même champ
magnétique. Nous verrons cela plus tard, à chaque
complément suffit sa peine.
Circuit filiforme
C
I
M
M
5
Le potentiel magnétique vecteur créé par un
courant constant, celui de la magnétostatique,
bénéficie dune propriété locale remarquable. A
partir de lexpression obtenue pour un courant
filiforme
calculons la divergence au point M en
simplifiant les notations
expression dans laquelle
lintégrale qui porte sur M nest pas
concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous
sommes autorisés à écrire
Utilisons la formule dans laquelle nous avons
utilisé le fait que ne dépendait pas de
M. Il vient
puisque la fonction 1/r est
continue et reprend sa valeur de départ après
un tour complet (voir la circulation du vecteur
champ électrique sur un parcours fermé). Nous
obtenons limportant résultat pour le potentiel
magnétique vecteur créé par un circuit filiforme
6
Pour le potentiel magnétique vecteur de la
distribution
Calculons
expression dans laquelle lintégrale
qui porte sur M nest pas concernée par la
dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés
à Utilisons la formule
dans
laquelle nous avons utilisé le fait que
ne dépendait pas de M. Nous savons que les
lignes de courant se referment sur elles-mêmes
formant des boucles. Si on décompose
lintégration sur la distribution en des
intégrations successives sur des boucles de
courant nous pouvons écrire Expression
dans laquelle di est le courant élémentaire de
la boucle C.
7
Dans lexpression précédente la quantité est en
tous points identique à celle construite pour un
circuit filiforme et peut sécrire Il en
résulte que le potentiel magnétique vecteur
répond ici encore à la relation locale
8
B-VIII.4 Généralisation du Théorème dAmpère à
une distribution de courants
Lapplication du théorème dAmpère à la courbe C
sur laquelle la surface S sappuie donne de même
Le courant traversant S est bien encerclé par C .
B-VIII.5 Forme locale du théorème dAmpère
Dans la forme globale du théorème dAmpère La
surface S et la courbes C , bien que reliées
lune à lautre, sont quelconques. On peut
transformer lintégrale de circulation à laide
de la formule de Stokes Linvariance de cette
relation sur le choix de C et S associées donne
la relation locale en tout point M Rappelons les
autres équations locales que nous connaissons
déjà
9
Construisons maintenant une autre relation locale
pour le potentiel magnétique vecteur, relation
équivalente à léquation de Poisson pour
lélectrostatique. A partir de la forme locale du
théorème dAmpère
et de la relation de définition du
potentiel magnétique vecteur
il vient en simplifiant les
écritures Faisons appel à la formule danalyse
vectorielle
dans laquelle nous
avons introduit le laplacien dun vecteur
, vecteur
obtenu en prenant le laplacien de chaque
composante. Le laplacien dune fonction scalaire
f(x,y,z) est donné en coordonnées euclidiennes
par Comme nous obtenons

10
B-VIII.6 Énergie en magnétostatique
Dans le cours délectrostatique nous avons vu que
lénergie électrostatique était distribuée dans
tout lespace où le champ électrique était
non nul sous la forme dune densité volumique
dénergie (Jm-3) Faisons ici de même en
supposant que lénergie magnétostatique est
distribuée dans tout lespace où le champ
magnétique est non nul sous la forme dune
densité volumique dénergie (Jm-3) Nous
justifierons ce résultat plus tard. Lénergie
magnétostatique totale dune distribution de
courants qui crée le champ est donnée
par Lintégration est prise sur tout le volume
T de lespace où le champ est non nul. Ce
volume correspond souvent à tout lespace
géométrique. Transformons cette expression sous
la forme
et utilisons la formule danalyse vectorielle
il
est alors possible décrire
11
Transformons la deuxième intégrale grâce au
théorème dOstrogradski, S étant une surface qui
entoure toute la région où le champ est non nul.
Il est clair que cette transformation
mathématique est physiquement non valable si des
courants vont à linfini (cas idéalisé du fil
rectiligne indéfini). Cette éventualité de
courant à linfini na pas de raison dêtre dans
les montages expérimentaux réalistes de la
technologie. Donc une surface S entourant les
sources à suffisamment grande distance sera
toujours trouvée. Que devient cette intégrale
lorsque la surface S séloigne à linfini? Le
champ se comporte en module comme 1/r2, le
potentiel vecteur se comporte en module
comme 1/r et la surface, assimilée à une sphère
se comporte comme r2. Soit au total lintégrale
qui se comporte comme 1/r et qui tend vers zéro
à grande distance faisant disparaître ce
terme. Dans le premier terme de lénergie
utilisons la forme locale du théorème dAmpère
qui est nul là où la densité de
courant est nulle ce qui réduit lintégrale de
lénergie magnétostatique au volume t de la
distribution de courant Dans la mesure où le
potentiel magnétique vecteur nest pas défini de
manière univoque, il convient de se méfier de
lapplication de cette formule.
12
B-VIII.7 Exemple dillustration des relations
théoriques
Courant total I uniformément réparti
Les possibilités de calculs analytiques sont très
limitées. Voici un exemple type de calcul qui
utilise la symétrie cylindrique. Cest le cas
dun fil très long de rayon non nul a, parcouru
par un courant I uniformément réparti dans la
section. Nous avons calculé le champ magnétique
Pour calculer le potentiel magnétique vecteur
utilisons en coordonnées
sphériques dans la base
Rayon a
r
M
Par raison de symétrie le potentiel magnétique ne
doit pas dépendre de z et de ?, mais uniquement
de léloignement r du fil. Nous cherchons donc,
nous avons le choix, un vecteur de la forme
. Lexpression du rotationnel
donne les deux équations
Après intégration
13
Le potentiel étant continu, ses dérivées étant
reliées au champ magnétique, grandeur physique
définie, il faut que les deux expression du
potentiel coïncident en r a, soit A(a)0
Dans le fil lexpression du potentiel ne pose pas
problème, le potentiel étant défini. Il nen va
pas de même à lextérieur du fil, bien que
lexpression mathématique soit sympathique. En
effet le potentiel diverge à linfini,
comportement paradoxal pour décrire un champ
magnétique qui lui tend vers zéro. Cette
divergence du potentiel provient de lexistence
des courants à linfini, comme le fil y est
supposé aller.
Compte tenu quil est presque toujours
problématique de calculer le potentiel magnétique
vecteur dune distribution de courant, la portée
de cette grandeur physique peut en apparaître de
portée limitée. Il nen est rien. Le potentiel
magnétique vecteur joue un rôle essentiel en
électromagnétisme comme moyen dintégration des
équations des champs à partir de léquation du
genre de celle de Poisson Il en est de même
pour le potentiel électrique scalaire V qui
répond à léquation de Poisson
14
Câble coaxial Nous allons utiliser lexemple
précédent pour traiter le cas du câble coaxial
bien connu du public. Nous lui allouons ici une
utilisation bien particulière en magnétostatique,
alors quusuellement ce type de composant est
plutôt du domaine des faibles signaux, souvent
haute fréquence.

• La structure du câble est aisément
  compréhensible
• Une âme métallique centrale de rayon a,
  transportant un courant total I uniformément
  réparti dans la section
• Une armature extérieure métallique de rayon
  compris entre b et c, transportant un courant I
  uniformément réparti dans le sens opposé à celui
  de lâme
• Un isolant entre les deux, de rayon compris entre
  a et b

• Lapplication du théorème dAmpère permet de
  calculer le champ magnétique dans les quatre
  domaines
• 0 lt r lt a
  (voir lexemple précédent)
• a lt r lt b (voir
  lexemple précédent)
• b lt r lt c
  , même principe que
• précédemment mais attention au courant encerclé

• r gt c le courant encerclé
  étant nul.

15

• Calculons le potentiel magnétique vecteur dans
  les quatre domaines en commençant par lextérieur
• r gt c puisque y est nul, il semble
  logique de prendre , puisque
  nous avons le choix
• b lt r lt c nous devons intégrer
  ce qui donne
• a lt r lt b
  résultat directement déductible de
  lexemple précédent
• La constante se calcule en faisant
  soit
• 0 lt r lt a
  résultat directement déductible de
  lexemple précédent
• La constante se calcule en faisant
  soit

16
(No Transcript)
17

• Calcul de lénergie magnétostatique
• Nous avons à notre disposition deux approches
• Intégrer sur le domaine où le champ magnétique
  nest pas nul avec la formule
• Intégrer sur le domaine où la densité de courant
  nest pas nulle avec la formule
• Dans les deux cas il faut définir des éléments de
  volume à symétrie cylindrique (voir figure)

• Commençons par lintégrale de la densité
  dénergie
• 0 lt r lt a
• a lt r lt b
• b lt r lt c

18
Lénergie totale sécrit Remarque importante
pour la suite, lénergie est proportionnelle à I2.
Lénergie ci-dessus peut se mettre sous la
forme Un calcul sur la région où la densité de
courant est non nulle donne Résultat différent
le calcul avec le champ est probablement juste.
La différence entre les deux résultats est
certainement liée au caractère infini du câble,
idéalisation dont on sait les problèmes quelle
peut poser.
19
B-VIII.8 Pression magnétique Soit une
distribution plane de courants dans la direction
x avec une densité j par unité de longueur.
Appliquons le théorème dAmpère à un circuit
rectangulaire de longueur d de part et dautre de
la distribution. La symétrie nous permet décrire
soit vectoriellement Si
nous ajoutons dun seul coté de la distribution
un champ extérieur qui annule le champ Sur
la partie rectangulaire de
côtes da, db le champ extérieur exerce
une force Ramenée par unité de surface cette
force donne la pression
j est en A/m
Cette situation se rencontre dans les solénoïdes
longs où les spires sont assimilables à une nappe
continue. Ils sont alors soumis à un ensemble de
forces de pression dirigées vers lextérieur.
20
B-VIII.9 Coefficient dinductance propre Le
circuit C ne peut pas être filiforme dans la
réalité, le champ magnétique ne pouvant pas être
infini. Il a donc une section finie, seule
possibilité dexistence du champ magnétique réel
en tout point. Lintégrale étant prise sur le
volume du fil. La densité de courant permet de
calculer le courant total du fil. Multiplier
par un facteur k induit une multiplication de I
par k. Donc la relation entre et I est
linéaire, de même quentre et .
Il y a donc proportionnalité entre lénergie
magnétique Wm et I2 puisque la densité volumique
dénergie dépend de B2. On définit le coefficient
dinductance propre de la manière suivante
soit Par extension il est
possible de définir une quantité homogène à un
flux propre bien que le calcul direct du flux du
champ propre ne soit pas défini.