The Physics of Star Trek

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A-VI Le Dipôle Électrique
A-VI.1 Définition
Il est très fréquent de trouver dans la matière
tant minérale quorganique, des couples de
charges (-q , q) très voisines lune de lautre
par rapport aux dimensions dobservation. De tels
couples de charges sappellent des dipôles
électriques caractérisés par un moment dipolaire
La charge q étant en A, lautre q en B. Le
moment dipolaire à une unité le Debye qui vaut
A-VI.2 Potentiel créé par un dipôle
Il sagit de calculer le potentiel créé en un
point M par un couple de deux charges opposées
situées à une grande distance du point en
question. Potentiel des deux charges A grande
distance ce potentiel peut sécrire
ICI
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(No Transcript)
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Établissement de lexpression
dans lapproximation a ltlt r Soit

et Calculons
soit avec
quantité ltlt 1. On aura de même
avec un calcul du même
type Un expression intermédiaire du potentiel
peut être On utilise lapproximation de
linéarisation Soit lexpression du potentiel
créé par le dipôle à grande distance
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Étude du potentiel du dipôle Sous forme
développée Équation polaire des équipotentielles
dans le plan étant une constante liée à
la valeur constante V du potentiel Les surfaces
équipotentielles sont de révolution autour de
laxe du dipôle.
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Potentiel électrique non approximé du dipôle
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A-VI.3 Champ électrique créé par un dipôle
Reprenons les notations précédentes et calculons
directement le champ électrique créé par les deux
charges Le calcul fait dans le cadre de
lapproximation à grande distance donne dans le
repère Dans le repère polaire
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M
Établissement de la formule du champ électrique
du dipôle Reprenons les notations précédentes et
calculons directement le champ électrique créé
par les deux charges
q
-q
B
O
A
En réintroduisant le vecteur moment dipolaire En
coordonnées polaires
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Recherche des lignes de champ du dipôle Le
vecteur élémentaire local de la ligne de champ en
coordonnées polaires doit être parallèle au
champ local La relation de proportionnalité
suivante doit être satisfaite qui avec les
expressions des composantes du champ donne
après intégration
Les surfaces équipotentielles sont données par
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A-VI.4 Énergie potentielle dun dipôle

• Deux cas se présentent
• Lénergie interne dinteraction du dipôle
• Lénergie potentielle du dipôle dans un champ
  électrique extérieur.
• Énergie dinteraction interne du dipôle
• Cest le cas typique de deux charges ponctuelles
  en interaction.
• A partir de la formule générale vue en A-V
• Nous avons directement avec AB 2a
• Expression que lon peut mettre sous la forme
• Énergie potentielle dun dipôle dans un champ
  extérieur
• Lexpression de cette énergie qui tient compte de
  la petitesse des dimensions du dipôle par rapport
  à léchelle de variation locale du champ
  sexprime simplement par

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Établissement de lexpression de lénergie
potentielle dun dipôle dans un champ
extérieur Le dipôle a ses deux
charges q en A et q en B qui, dans le cas
général, ne sont pas au même potentiel. Il est
alors possible décrire pour lénergie totale du
dipôle dans le champ extérieur La différence de
potentiel entre les points A et B peut se
calculer par la circulation du champ
électrique Qui se réduit compte tenu de la
proximité de A et B Le champ ayant une
valeur moyenne prise là où se trouve le dipôle
dont les dimensions sont telles quil peut être
ici considéré comme ponctuel à léchelle des
variations de Il vient alors lexpression de
lénergie cherchée
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Soit langle orienté entre le
dipôle et le champ électrique. Lénergie
potentielle du dipôle dans le champ extérieur
peut sécrire Bien que la fonction
soit censée être parfaitement connue des
titulaires dun bac scientifique (ce nest
malheureusement plus le cas aujourdhui), il est
instructif de tracer la fonction (en notation
simplifiée) Le tracé montre que lénergie
minimale pE, situation déquilibre (voir plus
loin), est réalisée pour lalignement dans le
même sens du dipôle sur le champ.
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A-VI.5 Force sexerçant sur un dipôle placé dans
un champ électrique extérieur
Le calcul de cette force est plus difficile que
celui mené pour lénergie potentielle Il est très
facile de montrer que la force totale exercée sur
le dipôle est nulle si le champ est uniforme
même champ sur deux charges opposées q et q
donne Dans le cas où le champ nest pas
uniforme, bien que les deux charges soient très
voisines, cette force nest pas nulle. Nous
donnons dans la page qui suit une démonstration
de la formule suivante Dans le champ électrique
le dipôle est doté de lénergie
potentielle Il est possible de calculer la force
exercée par le champ à partir du gradient de
lénergie potentielle, formulation générale de ce
type daction dérivant dun potentiel
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Établissement de lexpression Cette expression
est obtenue à partir de la force totale sur le
dipôle, somme des forces sur les charges q et
q. Il faut estimer la différence
sachant que les point A et B sont proches. Pour
se faire estimons la différence de la grandeur
scalaire
Qui nest autre que la composante en x de la
différence des vecteurs champs entre A et B. La
quantité peut se calculer à partir de
sa valeur en M, milieu de AB 2a par
lexpression Nous aurons de même pour l autre
terme Il vient pour la composante en x de la
force Un calcul identique pour les autres
composantes donne pour le vecteur force Il est
aussi possible décrire cette force sous la forme
(à montrer en exercice)
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A-VI.5 Couple sexerçant sur un dipôle placé dans
un champ électrique extérieur
Que le champ soit uniforme ou pas le couple des
forces qui sexerce sur un dipôle placé dans un
champ est en général non nul. Calculons le moment
des forces par rapport au point M
centre du dipôle. Les deux forces peuvent
sécrire et Il est suffisant
de prendre dans ces deux expressions le champ au
point M pour obtenir une expression du couple au
premier ordre Le couple prend la forme Nous
obtenons le résultat à connaître Le couple est
un vecteur orthogonal à et Sa valeur
algébrique est donnée par langle ? étant orienté
à partir de la direction fixe du champ de telle
manière que le couple soit un couple de rappel
vers le champ
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Relation entre le couple de rotation et lénergie
potentielle du dipôle. Nous remarquons que Le
couple est nul pour Seule la position en
donne un équilibre stable. Un écart par rapport
à cette position ramène le dipôle en ,
dans le fond du puits de potentiel. Dans les
positions léquilibre nest pas
stable, le dipôle a tendance à sen éloigner vers
le fond du puits.
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A-VI.6 Interaction entre deux dipôles (Complément)
On sintéresse ici à lénergie potentielle
dinteraction existant entre les deux
dipôles. Les énergies propres de chaque dipôle ne
nous intéressent pas ici, seule linteraction
dun dipôle sur lautre est à considérer. Le
dipôle crée là où se trouve le dipôle
le champ électrique Lénergie dinteraction de
dans ce champ sécrit Cette expression
est symétrique par échange de et Il est
possible décrire
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A-VI.7 Multipôles (Complément)
Soit une distribution discrète de N charges
ponctuelles qi, aux points Mi avec Ces charges
sont voisines dune origine O et telles quau
point dobservation M avec On cherche à estimer
le potentiel électrique créé en M par cette
distribution de charges en tenant compte des
distances relatives.
Développons les quantités en
puissances de en allant jusquau second
ordre avec
et
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Soit Q la charge totale de la distribution Le
premier terme du développement donne
potentiel équivalent à
lensemble des charges concentrées en O. Le
terme du premier ordre qui est en est
Si on introduit le
moment multipolaire total Ce terme potentiel
sécrit
équivalent à celui trouvé pour le dipôle.