The Physics of Star Trek

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ELECTROMAGNETISME B - MAGNETOSTATIQUE
Ne pas confondre avec
2
B-I Éléments de courant
B-I.1 Circuits électriques élémentaires
Nous ne traiterons pas ici du transport du
courant électrique (Cours de L2). Nous sommes
pour linstant concernés par des courants
électriques constants dans le temps, on dit aussi
continus, circulant dans des fils métalliques de
sections très petites par rapport à leurs
longueurs. On les appelle des circuits
filiformes. De tels circuits sont bien pratiques
car ils représentent des domaines mathématiques à
une dimension. Il est possible de se localiser le
long de la boucle C grâce à un seul paramètre et
également dappuyer sur ces circuits une surface
S comme une bulle de savon sur un anneau. Seuls
les circuits fermés sur eux-mêmes ont un sens
physique. Les courants forment des boucles
fermées. Afin de traiter des circuits de formes
quelconques il est commode de décomposer un
circuit filiforme en éléments vectoriels
infinitésimaux orientés dans le sens du
courant. Un tel élément, qui ne peut être isolé
de lensemble du circuit que par la pensée, placé
en un point M du circuit, est le pendant
élémentaire en magnétostatique de la charge
ponctuelle de lélectrostatique.
Magnétostatique
Électrostatique
3
Justification de larticulation du cours En
Électrostatique, après la présentation des
propriétés des charges électriques, nous avons
directement exposé la loi de force entre ces
charges la loi de Coulomb. La difficulté
mathématique de la loi de force existant entre
deux circuits nous incite à présenter les
différentes grandeurs physiques de la
Magnétostatique dans un ordre quelque peu inverse
en commençant par le champ magnétique et
seulement après la loi de force entre les
circuits. Remarque sur les dessins des
circuits Sauf cas très spécifique,
supraconductivité, un générateur électrique est
nécessaire au maintien dun courant constant dans
un circuit. Pour des raisons de simplification
nous sacrifions à la coutume de ne pas
représenter ces générateurs. Ils seront
représentés lorsquil faudra tenir compte de
lénergie quils vont échanger avec le
circuit. Remarque sur la mathématisation du
cours Dans ce cours il est fait appel à de
nombreux résultats mathématiques non encore
connus et prouvés à des étudiants du premier
cycle universitaire. Ils sont indispensables pour
établir certaines propriétés des grandeurs
physiques concernées par ce cours. Ils doivent
être acceptés ici comme des ouvre-boîtes donnant
accès à des lois physiques présentant le plus
souvent un caractère fondamental.
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B-II Champ magnétique
B-II.1 Définition
Par définition le champ magnétique créé par le
circuit filiforme (C , I) au point M de lespace
est donné par Cest une grandeur bien décrite
par un vecteur, bien que ce  vecteur  ait des
propriétés spéciales.

• Propriétés du champ magnétique
• La formule ci-dessus est la formule de Biot et
  Savart
• Elle nest quun moyen commode de calculer des
  champs plus compliqués par intégration déléments
  différentiels.
• Le champ magnétique a des propriétés dun vecteur
  dit axial.
• Pour un vecteur classique
  linversion des axes du repère
  change
• Par contre pour un vecteur tel que
  linversion des axes du repère ne change pas
  le vecteur.
• Un tel vecteur est dit axial. Le champ magnétique
  est de ce type.
• Lunité du champ magnétique est le Tesla.
  (sous-unité le Gauss 10-4 T)

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B-II.2 Flux du champ magnétique
Soit un circuit C parcouru par un courant I
créant un champ magnétique dont on cherche à
calculer le flux à travers une surface S, ici
fermée. Par définition Lunité de flux est le
Weber. Montrons que le flux de à travers la
surface fermée est nul. Cest une propriété
fondamentale du champ magnétique.
M
M2
Circuit filiforme
C
I
M
Transformons lexpression du flux à laide de la
formule dOstrogradski Nous avons dautre part
Calculons la divergence de au point M Les
dérivées de la divergence portent sur lextrémité
M du vecteur et ne concerne pas la variable
dintégration M. Nous pouvons ainsi écrire (sous
réserve de la convergence uniforme de
lintégrale)
6
Utilisons la formule
ici Comme nest pas
concerné par ce qui se passe en M et que Nous
obtenons la relation locale, propriété
fondamentale du champ magnétique, propriété quil
ne faudra pas retoucher même dans les champs
variables dans le temps
Cette propriété locale se traduit par une
propriété intégrée sur un domaine fini de
lespace La flux du champ magnétique à travers
toute surface fermée est nul. On dit aussi que le
champ magnétique est à flux conservatif.
Remarque Nous avions trouvé, avec le théorème de
Gauss, que le flux du champ électrique à travers
une surface fermée, nétait pas nécessairement
nul mais dépendait de lexistence de charges
électriques à lintérieur du volume délimité par
S. Les propriétés de et de ne sont donc
pas équivalentes. On traduit également cette
différence par la non existence de pôles
magnétiques séparables, équivalence physique de
la nécessité de courants électriques fermés sur
eux-mêmes.
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B-II.3 Circulation du champ magnétique Théorème
dAmpère
Circuit filiforme 1
Considérons au point M2 le champ magnétique
créé par le circuit C parcouru par le courant
I . Considérons la circulation élémentaire de
le long de Donnée par Lintégrale
porte sur la variable M1 non concernée par
qui est une constante pour lintégration. Il est
alors possible décrire
en vertu des
C1
I
M1
M2
propriétés du produit mixte. La quantité
vectorielle représente
un élément de surface. La circulation élémentaire
peut sécrire Nous connaissons la quantité
qui représente lélément dangle solide
sous lequel de M2 on voit la surface .
I
C1
8
Lors de lintégration le long de C1
Lintégrale donne langle solide sous
lequel de M2 est vu le bandeau de surface obtenu
en déplaçant C1 de . Si on appelle
langle solide sous lequel de M2 est vue la
surface du circuit C1 dans la position initiale
et langle solide sous lequel est vue la
même surface déplacée de alors est la
variation de langle solide sous lequel est vue
la surface du circuit C1 lorsque ce dernier se
déplace de . Or déplacer le circuit de
revient à le garder fixe mais à
déplacer le point dobservation M2 de
. Il vient alors le résultat important suivant
la circulation élémentaire du vecteur sur
est égale à étant la variation
dangle solide sous lequel est vue la surface du
circuit C1 créant , lors du déplacement
.
Circuit filiforme 1
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• La circulation élémentaire de nest quune
  étape vers le théorème dAmpère. Considérons
  maintenant la circulation de le long dun
  parcours fermé C2 .
• Deux cas sont à envisager
• La courbe C2 nintercepte pas toute surface S
  appuyée, comme une bulle de savon, sur C1.
• Lors de la circulation de sur C2 langle
  solide varie continûment de la valeur quil
  a en M2 à cette valeur retrouvée après un tour
  complet sur C2 . Donc la circulation de sur
  la courbe C2 qui nintercepte pas I est nulle.
• La courbe C2 intercepte toute surface S appuyée
  sur C1.

Lors de la circulation de sur C2 langle
solide O varie continûment jusquau point P
au-dessus de la surface S, juste avant de la
traverser. En P langle solide est égal à O(P).
En P, après avoir traversé la surface, langle
devient O(P). Ces deux angles sont reliés.
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En premier lieu il nous faut définir
lorientation dune surface appuyée sur un
circuit parcouru par un courant. Une telle
surface est orientée par convention.
I
Face Nord
Il est alors possible dexpliciter la relation
entre O(P) et O(P). Un dessin en coupe est plus
explicite. Compte tenu de lorientation de la
surface, en P est vue dans le sens inverse
et langle solide O(P) est négatif. A linverse
langle O(P) est positif. Langle négatif O(P)
peut être remplacé par langle 4p - O(P), son
complémentaire à tout lespace. Le passage de P à
P se traduit par une variation dangle solide,
lorsque les deux points sont confondus avec la
surface
O(P)
P
P
O(P)
Dessin en coupe
Face Sud
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Il en résulte pour la circulation de sur C2
qui traverse S portée par C1 Ceci constitue le
théorème dAmpère La circulation du champ
magnétique créé par un ensemble de courants le
long dune courbe fermée est égale à
, étant la somme des
courants encerclés lors de cette circulation.

• Les courants qui ne sont pas encerclés ne
  participent pas à cette sommation.
• Cette sommation est algébrique, il y a lieu de
  ternir compte du sens du courant dans chaque
  circuit encerclé, la surface étant orientée en
  fonction de ce courant.

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Symétries où le théorème dAmpère est applicable
Lapplication du théorème dAmpère est réservée à
quelques cas particuliers à haute symétrie. Il
conviendra dexaminer attentivement si le
théorème est applicable au problème posé.
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B-II.5 Lignes de champ Tubes de flux
Lignes de champ Comme pour le champ électrique
les lignes du champ magnétique sont localement
tangentes au champ. Elles définissent ce que lon
appelle le spectre. Comme principale propriété
elles constituent des boucles fermées.
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Champ magnétique terrestre
Trouve son origine dans le mouvement de la
matière qui entoure le cœur central
Simulation numérique
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Tubes de flux Ensemble de lignes de champ formant
une sorte de tube à section généralement variable
le long duquel le flux est constant
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B-II.6 Calcul des champs magnétiques
Les cas de circuit où le champ magnétique peut se
calculer analytiquement jusquau bout sont très
limités. Nous donnons ici quelques exemples
classiques et montrons comment les calculs
deviennent moins classiques hors de ces quelques
cas décole.
N1- Fil rectiligne très grand
Un fil rectiligne très grand, on dit aussi
indéfini pour ne pas dire infini, de section
négligeable, est parcouru par un courant I. Il
est nécessaire que le fil se referme sur lui-même
par une portion de circuit située quelque part à
très grande distance et dont on peut supposer que
leffet au point M est négligeable. On cherche le
champ magnétique à la distance a OM du fil. On
applique directement la définition à partir de la
formule de Biot et Savart Nous avons
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Application du théorème dAmpère Par symétrie il
est facile de montrer que est tangent aux
cercles centrés sur le fil, de module ne
dépendant que de a. Soit directement
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N2- Fil rectiligne fini
Une formule très utile est celle dun fil
rectiligne fini. Cette formule sera utilisée dans
des cadres carrés comme représentant le champ de
chaque côté. Le fil est vu à la distance a sous
les angles et qui ont une mesure
algébrique. Sur la figure et Le
calcul mené pour le fil très long reste valable
jusquà Ce qui donne
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N3- Spire circulaire sur son axe
Une spire circulaire filiforme de rayon R de
centre O est parcourue par un courant I. On
cherche le champ magnétique en un point M de son
axe tel que OM x. On utilise la formule de Biot
et Savart
Nous avons r Cte . Il vient directement
Les deux intégrales des fonctions circulaires
sont nulles Sous cette forme la variable r nest
pas commode. On lui préfère les deux expressions
suivantes

• Remarques
• Le champ est porté par laxe
• Le champ au centre vaut

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Champ magnétique dans le plan dune spire
circulaire On cherche à estimer le champ en un
point M, à la distance x, dans le plan de la
spire circulaire de rayon R, parcourue par le
courant I . Ce champ est donné par lexpression
Cette intégrale nadmet pas de solution
analytique simple et fait appel à des fonctions
calculables mais pas connues des étudiants de
premier cycle.

• Deux enseignements sont à tirer de cet exemple
• Même dans un système très simple les calculs ne
  le sont pas
• Au voisinage du circuit filiforme le champ diverge

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N4- Bobines de Helmholtz
Deux bobines identiques de rayon R, parcourues
par des courants dans le même sens de même axe
situées à la distance 2a lune de lautre. En
utilisant le résultat obtenu pour une spire
circulaire le champ magnétique total au point M
de laxe tel que OM x est Le champ au centre
est donné par Nous cherchons la relation entre
R et a qui provoque les plus faibles variations
du champ au voisinage du centre. La fonction B(x)
étant paire son développement en série ne
comprend que des termes polynomiaux pairs La
dérivée dordre deux sannule pour R 2a (faire
le calcul)
I
I
R
a
x
M
O
a
a
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N4- Bobines de Helmholtz (suite)
La fonction B(x) démarre donc du centre avec ses
trois premières dérivées nulles, donc présente un
profil très plat.
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N4- Bobines de Helmholtz (suite)
Si on accepte une fluctuation de de B(x) autour
de sa valeur centrale il est encore possible
daugmenter la zone de faible variation de B pour
R voisin de 9/5 de a.
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N5- Solénoïde
Soit un solénoïde de rayon R, longueur , de
N spires jointives parcourues chacune par un
courant i. On cherche à calculer le champ
magnétique au point M à la distance x du centre
O, et duquel les deux extrémités du solénoïde
sont vues sous les angles et . On
découpe le solénoïde en tranches de spires
circulaires à la distance de O et
dépaisseur . Une telle spire porte le
courant . Elle crée au point
M un champ
?2
?1
?
d?
Choisissons comme variable dintégration langle
alors
?
Soit après intégration
porté par laxe
25
N5- Solénoïde (suite)
26
N5- Solénoïde (suite)
Champ magnétique en z dans le plan médian qui
coupe le solénoïde en deux
Bz
y0
a
On remarque que le champ magnétique à lextérieur
tend vers zéro lorsque le solénoïde devient très
long. Dans le solénoïde le champ magnétique est
quasiment constant
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N5- Solénoïde (suite)
Pour un solénoïde très long à spires jointives
?1?0 et ?2?p et le champ devient au voisinage du
centre
si n est le nombre de spires par unité de
longueur Si on a remarqué que le champ était nul
à lextérieur et constant à lintérieur, il est
possible dappliquer le théorème dampère sur un
rectangle abcd (voir figure) et de retrouver
directement le résultat donné ci- dessus.
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N6- Tore
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N7- Sphère chargée en surface en rotation
Une sphère de rayon R, chargée en surface par Q gt
0, tourne à la vitesse angulaire ? Cte autour
dun de ses axes. On cherche à déterminer le
champ magnétique en un point M de laxe à la
distance OM x du centre. Une tranche de sphère
perpendiculaire à laxe définie par les angles ?
et ?d ? porte une charge avec
la densité de charges par unité de surface et
la surface élémentaire de révolution autour de
laxe La spire de rayon ainsi
définie porte un courant dI de part la rotation
de cette charge dQ Le champ créé par cette
spire au point M est Il est possible dexprimer
Soit lintégrale suivante pour le champ
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N7- Sphère chargée en surface en rotation
(suite)

• Après une intégration laborieuse mais du niveau
  dun étudiant de DEUG on trouve
• Pour x gt R sur
  laxe
• Pour x lt R sur
  laxe

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N8- Sphère chargée en volume en rotation
La sphère de rayon r dépaisseur dr porte la
charge Elle crée au point M tel que OM x un
champ donné par lexemple précédent Soit pour
linduction totale à lextérieur de la sphère
Pour un point M tel que OM x à lintérieur,
deux zones sont à considérer 0 lt r lt x et x lt r
lt R Pour la première zone 0 lt r lt x , le point M
est considéré comme extérieur et la formule
ci-dessus est applicable avec
et soit Pour la
deuxième zone x lt r lt R, le point M est à
lintérieur de couches sphériques successives,
on utilise
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N8- Sphère chargée en volume en rotation (suite)
Avec et
il vient Soit Le champ magnétique total
à lintérieur sécrit Aussi pour 0 lt r lt R
Pour x gt R