Analyse fractale des canaux al

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Analyse fractale des canaux aléatoires de
propagation dans les transmissions ionosphériques

• Introduction
• Dimension fractale de la fonction de diffusion.
• Objets et dimension fractals
• Développement 3D de la méthode BCM
  (box-counting-method).
• Dimension des fonctions de diffusion critères de
  mesures et résultats.
• Analyse multifractale par la Méthode des Maxima
  de la Transformée en Ondelettes (MMTO)
• Le formalisme multifractal
• Transformée en ondelettes et détection des
  singularités
• La MMTO (Méthode des maxima de la transformée en
  ondelettes) en une dimension
• Réalisation des outils pour l'analyse en deux
  dimensions par la MMTO2D. Premières applications
  à des images d'échos de rétrodiffusion.
• Conclusion et perspectives

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La fonction de diffusion
Décalage Doppler
zones E
zone F principale
zone F secondaire
Région F
Retard de propagation
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Le concept fractal . Définition de la dimension
fractale
Construction d'une fractale

• Initiateur courbe polygonale (segment de
  droite, carré, triangle, etc.)
• Générateur ou système de fonctions itérées (SFI)
  
• Transformations affines application linéaire
  (homothétie, symétrie, rotation) translation
• Homothétie ET rotation ET symétrie gt
  similitude auto-similarité

Initiateur segment
Générateur - homothétie de rapport rH
1/4 - 8 transformations affines appliquées au
nouveau segment gt N 8 segments préfractale
Dimension fractale
Dimension d'homothétie
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Fractales auto-affines classiques de test

• Exemples dans le plan (dimension topologique du
  contenant DT 2).

itération 6
itération 2
itération 1
Courbe de Von Koch (Flocon de neige)
Tamis de Sierpinski 2D

• Exemple dans l'espace (dimension topologique du
  contenant DT 3 )

120x120x120
Tamis de Sierpinski 3D
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Mesure de dimension fractale. Dimension de
capacité par la méthode des boîtes (BCM,
box-counting method) ou du pavage.
Lauto-similitude dun objet fractal conduit à
réaliser une comparaison des propriétés de
lobjet entre deux échelles
Pavage du contenant puis recouvrement de la
fonction par N boîtes ou "tuiles" de taille e
(disques ou carrés en 2D, cubes ou boules en
3D).
Dimension de Bouligand-Minkowski
Pente Df 1,8
e petit
log N
o
o
o
3
o
2
o
1
log 1/e
o
e grand
-0.69 (e 2)
-4,15 (e 64)
Régression linéaire (moindres carrés)
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Application de la méthode BCM à un écho de
rétrodiffusion région F
Zone F principale (Fejim08h)
Propag-Doppler 32x40 (pixels)
Suppression du bruit de fond Df B)2,45 par
seuillage de 10 pts à la base (zmax141)
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Méthode BCM région E
Seuillage du bruit -10 pts (zmax 55)
Région E 23 x 51 pixels
Région E 8 x26
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Evolution de la dimension fractale avec le
passage dune perturbation
t0
tf
Perturbation par une sporadique Es
Début de lenregistrement t0 38 mn Filtrage
par ondelettes et détection de contour
Evolution de la dimension fractale sur
F morcellement chute de la dimension fractale
Fin de lenregistrement tf t0 21 mn 59 mn
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Mesure multifractale et spectre des singularités
Distribution damplitude dans la fonction de
diffusion
Distribution mulitfractale de la densité des
points
Spectre des singularités du Cantor multifractal
Cantor monofractal -gt multifractal
Dimension du support de la mesure D0 0,63
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Transformation continue
T(b,a)
Scalogramme

• Ondelette boîte Le module de la T.O. indique
  
• le degré de régularité de la fonction en un
  point.
• Choix particulier dondelettes gt les maxima
  locaux des modules indiquent la force de
  singularité au point considéré gt analyse
  multifractale.

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Classe dondelettes dérivées dune gaussienne.
N moments nuls de 0 à N-1
Développement de Taylor
Exposant de Hölder h(x0) ltgt exposant de
singularité a
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Méthode des Maxima de la Transformée en
ondelettes (MMTO)
On étudie, non individuellement, mais
globalement le comportement des maxima à chaque
échelle en calculant la fonction de partition
Transformation de Legendre

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Construction de l escalier du diable
monofractal
Escalier multifractal
Spectre des exposants de masse
Spectre des exposants de masse
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Extension de la MMTO à lanalyse dimage.
Développement dune T.O. 2D complexe
Ondelettes cartésiennes dérivées partielles
premières dune gaussienne
Transformée continue 2D (CWT2) complexe donnant
module et argument
z
y
TYx
A
x
TYy
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Application de la TO 2D complexe à la détection
de singularités
Singularité douce construite à partir dune
crête gaussienne
Singularité forte contour dun carré.
TYx(b,a)
TYy(b,a)
TY(b,a)
TY(b,a)
0
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Algorithmes de suivi des maxima de la T.O. 2D
Suivi intra-échelles des maxima (détecteur de
contour de Canny)
Suivi inter-échelles des maxima
Recherche du module le plus fort dans la
direction donnée par largument
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Analyse multi-échelles et détection des
singularités sur une fonction de diffusion
Coefficients dapproximation T.O. discrète
(Ca-DWT2), Ondelette Daubechies 8 (DB8). Niveau 2
T.O. continue complexe. Ondelette dérivée 2è
gaussienne (mexh). Niveau 2
Echo F
Ca-DWT2, Ondelette DB8 Niveau 1
Ca-DWT2, Ondelette DB8 Niveau 3
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Conclusion sur lanalyse fractale de la fonction
de diffusion en transmission ionosphérique.

• Dimension fractale
• Mesure monofractale en 3D des fonctions de
  diffusion. Détermination des critères de mesure.
• Différence entre les dimensions des régions E et
  F.
• Variation de la dimension fractale de lécho F
  en présence dune perturbation de type
  sporadique.
• Caractérisation de la nature multifractale de
  lionosphère.
• Similitude entre turbulence ionosphérique et
  atmosphérique.
• Application de la Méthode des Maxima de la T.O.
  en 2 dimensions pour la détermination du spectre
  multifractal.
• Mise en oeuvre dune classe dondelettes
  dérivées dune gaussienne.