Relativistinen liikem

1
Luento 3

• Relativistinen liikemäärä
• Klassisssa mekaniikassa määritellään liikemäärä
  pkl näin

Mekaniikan ilmiöissä on todettu olevan voimassa
liikemäärän säilymisen laki eristetyn systeemin
vuorovaikutuksissa kappaleiden kokonaisliikemäärä
eli kappaleiden liikemäärien summa ei muutu.
Siis
jossa i viittaa liikemääriin vuorovaikutuksen
alussa ja f lopussa. Tämä laki on yhä voimassa,
jos nopeuksiin tehdään Galilein muutos, mutta
Lorentzin muunnoksissa se ei säily. Koetulokset
osoittavat, että jos pkl korvataan
relativistisella liikemäärällä
liikemäärän säilymisen laki pätee myös suurella
nopeudella liikkuville kappaleille.
Relativistista liikemäärää ei voi johtaa
klassisesta fysiikasta vaan se määritellään näin.
Kun v ltlt c, p pkl . On tapana käyttää
merkintää
eli
2

• Kun kappaleen nopeus lähestyy valonnopeutta c,
  relativistinen likkemäärä kasvaa rajatta ja sen
  suuruus on paljon suurempi kuin mv.
• Klassinenkin liikemäärä voi kasvaa rajatta,
  mutta se tapahtuu vain, kun nopeus v kasvaa
  rajatta.

Relativistinen dynamiikka Klassisessa
mekaniikassa dynamiikan peruslaki on Newtonin
toinen laki
Sama laki pätee kokeiden mukaan relativistisille
hiukkasille (kappaleille) edellyttäen, että
liikemäärä korvataan relativistisella
liikemäärällä
Huomaa, että relativistisessa tapauksessa
kiihtyvyys dv/dt ei ole aina voiman suuntainen
vektori (? riippuu ajasta). Poikkeuksen
muodostavat tilanteet, joissa kokonaisvoima F on
kappaleen nopeuden suuntainen tai sitä vastaan
kohtisuorassa.
3

• Relativistinen työ ja energia
• Klassisen mekaniikan mukaan siirtymän suuntainen
  voima tekee siirtymässä x1stä x2een työn

Relativistisessa tapauksessa työ on siis
Työ-energia-lauseen mukaan kappaleen kineettinen
energia on yhtä suuri kuin se työ, jonka voima
tekee kiihdyttäessään kappaleen levosta nopeuteen
v. Integraalissa oleva adx voidaan kirjoittaa
seuraavasti
Tästä seuraa
Tämän voi integroida helposti muuttujan
vaihdolla. Relatiiviseksi liike-energiaksi
saadaan
4

• Kun v ltlt c, voidaan kineettinen energia esittää
  kehitelmänä

Ensimmäinen termi on sama kuin klassinen
liike-energia, johon tulee alhaisen nopeuden
tapauksessa vain pieni relativistinen korjaus.
Lepoenergia Liike-energian lausekkeessa (ed.
sivu) on kaksi termiä, joista jälkimmäinen mc2 ei
riipu lainkaan kappaleen nopeudesta. Sitä
kutsutaan kappaleen lepoenergiaksi eli
sisäenergiaksi
Lepoenergia
Vapaan kappaleen kokonaisenergia on
liike-energian ja lepoenergian summa
eli
Kokonaisenergia
Jos kappale (hiukkanen) on vuorovaikutuksessa
toisten hiukkasten kanssa, kokonaisenergiaa tulee
lisäksi vuorovaikutuksen potentiaalienergia.
5

• Lepoenergia eli sisäinen energia E0 mc2 oli
  Einsteinin keksintö. Se on otettava huomioon
  energian säilymislaissa, mutta jos kappale tai
  hiukkanen pysyy vuorovaikutuksessa
  muuttumattomana, sisäinen energia säilyy
  muuttumattomana.
• Hiukkasten tapauksessa on kuitenkin tavallista,
  että hiukkaset muuttuvat vuorovaikutuksissa
  toisiksi hiukkasiksi ja silloin sisäinen energia
  on tärkeä. Jos raskas hiukkanen muuttuu
  keveymmiksi hiukkasiksi (esimerkiksi kun pioni
  hajoaa elektroniksi ja neutriinoksi), osa sen
  sisäisestä energiasta muuttuu kevyiden hiukkasten
  sisäiseksi energiaksi, osa niiden
  liike-energiaksi.

K-mesoni
Myoni
Pioni
Elektroni
mK c2 494 MeV m? c2 140 MeV mµ c2 106
MeV me c2 0.511 MeV
Jokaisessa hajoamisessa lepoenergiaa muuttuu
liike-enegiaksi.
6

• Ensimmäinen kokeellinen todiste sisäisestä
  energiasta saatiin v. 1932. John Cockcroft ja
  Ernest Walton kiihdyttivät porrasgeneraattorilla
  protonin energiaan 700 keV ja hajottivat sillä
  litium-ytimen

Osa litiumin sisäisestä energiasta muuttui
helium-ytimien liike-energiaksi.
Liikemäärän ja energian kaavoista
Seuraa (p p )
Kun yhtälöt vähennetään toisistaan ja hieman
säädetään, saadaan energian, liikemäärän ja
massan välille relaatio
Relativistinen energiayhtälö
7
Kun kappale on levossa eli p 0, sen energia on
siis yhtä kuin sen lepoenergia E E0
mc2. Massattoman kappaleen energia on puolestaan
(Massaton kappale)
Massattomiin kappaleisiin kuuluu esimerkiksi
fotoni, sähkömagneettisen kentän kvantti.
Neutriinoilla on hyvin pieni massa, joten
useimmissa tilanteissa niidenkin energia on
suurella tarkkuudella pc. Energia ja liikemäärä
muodostavat Lorentzin muunnosten kannalta
samantapaisen suureparin kuin aika ja paikka.
Lorentzin muunnokset sekoittavat ne keskenään eli
se, joka on toisessa koordinaatistossa energiaa,
voi toisessa koordinaatistossa olla energiaa ja
liikemäärää. Energia ja liikemäärä esitetään
usein yhdessä ns. neliliikemääränä
(E/c,p). Suhteellisuusteoriassa pätevät
liikemäärän ja energian säilymislait, mutta
jälkimmäisessä on huomioitava myös kappaleiden
sisäiset energiat. Lyhyesti voidaan puhua
neliliikemäärän säilymisestä.
8
Yleinen suhteellisuusteoria Vapaassa
putoamisliikkeessä (paino ainoa vaikuttava voima)
ei ole paikallisesti mahdollista minkään
fysikaalisen ilmiön avulla osoittaa
gravitaatiovoiman olemassaoloa. Gravitaatio
voidaan eliminoida, mikä ilmenee siinä, että
kaikilla kappaleilla on niiden massasta
riippumatta sama kiihtyvyys g. Gravitaatiovoima
ei olekaan tavallisessa mielessä voima vaan
näennäisvoima. Sen voi hävittää siirtymällä
sopivaan koordinaatistoon, vapaasti putoavan
kappaleen lepokoordinaatistoon. Todellinen voima
on olemassa koordinaatistosta riippumatta.
Kaikki voimat, jotka ovat verrannollisia
kappaleen massaan, kuten gravitaatiovoima ja
keskipakovoima, ovat näennäisvoimia. Niitä
tarvitaan, kun Newtonin mekaniikkaa halutaan
soveltaa koordinaatistossa, joka ei ole
inertiaalikoordinaatisto. Einsteinin
hissiesimerkki osoittaa, että gravitaatiota ei
voi erottaa kiihtyvyydestä
Einstein Gravitaatio on avaruuden ominaisuus.
Gravitaatio johtuu avaruuden geometrisesta
rakenteesta, sen kaarevuudesta.
9
Avaruusaika on kaareutunut. Vapaa liike (ei
voimia) seuraa avaruuden geodeettisia viivoja.
Niitä pitkin matka paikasta toiseen on lyhin.
1,75
Auringonvalon taipuminen Auringon lähellä
havaittiin 1919.
Gravitaatiolinssi-ilmiö, jossa edessä olevat
taivaankappaleet toimivat taittavana linssinä
takana olevasta kohteesta tulevalle valolle, on
nykyään tuttu asia ja sitä käytettään mm. pimeän
massan kartoitukseen.
10
Ajan kaareutuminen ilmenee niin, että kellon
käynti on sitä hitaampaa mitä lähempänä ollaan
jotain painavaa kappaletta. GPS-paikallistamislai
tteissa pitää ottaa tämä huomioon. Toiseen
suuntaan vaikuttaa GPS-satelliittien liikkeeseen
liittyvä ajan dilaatio.
Dilaatio -7 ?s Heikompi painovoima 45 ? s
Satelliittien kellot edistävät 38 ? s päivässä
Yleisen suhteellisuusteorian ennustuksia ovat
myös mustat aukot. Hyvin raskaiden kappaleiden
lähistöllä avaruus on niin kaareutunut, että
kaikkien hiukkasten, fotonit mukaan luettuina,
radat kaareutuvat takaisin. Kappaleen ympärillä
on alue, josta ei tule mitään tietoa
ulkomaailmaan. Tätä aluetta kutsutaan mustaksi
aukoksi. Mustia aukkoja on nähty Linnunradassa
useita, ja useimpien Galaksien keskellä on
luultavasti hyvin suuri musta aukko.
11
Musta aukko voi syntyä mm. suuren tähden
romahtaessa, kun ydinreaktiot sen keskellä
lakkaavat ja säteilypaine ei enää vastusta
gravitaation vaikutusta. Kaikki aine romahtaa
yhteen pisteeseen, singulariteettiin.
Galaksi M87
Yleinen suhteellisuusteoria ennustaa myös
gravitaatioaallot. Niistä ei ole vielä
kokeellisia todisteita.
LIGO