Algunos comentarios sobre algunos espacios homog

1
Algunos comentarios sobre algunos espacios
homogéneos naturalmente reductivos y su relación
con las álgebras de Clifford.
2

• Los espacios más regulares parecen los más
  simétricos
• Conferencia de Hilbert en el Ier ICM, Paris,
  1900
• Los fundamentos algebraicos de las álgebras de
  Lie
• Clasificación de las raíces

3

• Clasificación de los espacios simétricos por
  Cartan (Helgason)
• Caracterización de los espacios simétricos (?R
  0)
• Importancia del estudio de los grupos de Lie como
  ejemplos de variedades de Riemann
• Buenos textos Warner y Gray (no publicado) entre
  otros

4

• Teorema de la variedad homogénea
• Caracterización de las variedades homogéneas
• Ejemplos esferas, proyectivos, grasmanianas,
  etc. (simétricos), banderas,
• La clasificación de Berger V1 y V2, Ann. Scuola
  Norm. Sup. (1961)

5

• Los ejemplos de Aloff-Wallach, BAMS,, ((1975)
• El ejemplo de Wilking V3, PAMS, (1999)
• Los artículos de Chavel sobre V1 y V2, BAMS,
  Comm. Math. Helv., ((1967)
• Existencia de campos de Jacobi anisotrópicos enV1
  y V2

6

• El artículo de González-Dávila, (J. Diff. Geom..)
• Un resultado de Naveira y González-Dávila sobre
  campos de Jacobi anisotrópicos en V3, (Preprint)
• La clasificación de Gray de los espacios
  3-simétricos, J. Diff. Geom., (1972)
• Otros resultados de Jiménez, Kowalsky, Dusek,
  Kaplan, etc.

7

• Artículo de Gray en Math. Ann.(1976). Importancia
  de R R y del hecho que (J)2 sea paralelo
• Desviación covariante de los espacios homogéneos
  respecto de los simétricos
• El rango oscilador constante de un espacio
  homogéneo
• Resultado sobre V1 (Naveira-Tarrío, Monatsch.
  Math. 2008) y V3 (Macías-Naveira-Tarrío, C. R.
  Acad. Sc. Paris 2009). Problema abierto sobre V2.

8

• Resultado sobre el ejemplo de Kaplan,
  (Arias-Naveira)
• Resultado sobre la bandera F6, (Arias, preprint)
• Conjetura sobre los espacios 3-simétricos (con
  Arias)
• Resultado bien conocido Todo espacio
  simétrico-hermítico verifica la Iª Condición de
  curvatura
• Resultado nuevo Todo espacio homogéneo con una
  estructura casi-compleja invariante y con una
  métrica biinvariante verifica la IIª Condición de
  curvatura

9

• Los artículos de Nagy sobre NK-Variedades, (Ann
  Global Ann. Appl., 2002, Asian J. math.
• Importancia de la conexión canónica
• Importancia de los resultados de Gray sobre
  descomposición de las NK-variedades, Math. Ann.
  (1976)
• Descomposición de las NK-variedades Kaehler
  Estricta
• Descomposición de las NK-variedades estrictas
• 6-dim. NK-estrictas
• NK-Homogeneous de tipo I, II, III y IV
• Twistor spaces sobre variedades Kaehler
  cuaterniónicas con curvatura escalar positiva
• Importancia de la descomposición para la
  determinación del rango.

10

• El artículo de Calabi-Vesentini para los espacios
  simétricos herméticos infinitos (Ann. of Math.,
  (1960))
• El artículo de Borel para los espacios simétricos
  herméticos excepcionales (Ann. of Math., (1960))
• La teoría de Hodge para las NK-variedades,
  (Vertbinski, arXiv)
• Problema Extensión a los espacios 3-simétricos
  de los resultados de Calabi, Vesentini y Hodge,
  utilizando para ello la teoría de Hodge, la
  teoría de las raíces y la curvatura de la
  conexión canónica.

11

• Propiedades generales de las álgebras de
  Clifford.
• El problema de Dirac.
• Las spin-variedades. Importancia para la
  Geometría Diferencial y para la Física Teórica.
• Cálculo espinorial sobre spin-variedades
  riemannianas.
• Abundante bibliografíaEntre otros, Deheuvels,
  Baum, Friedrich, Lawson, Gallier,

12

• Operador de Dirac DX? sk?? sk ?
• Ecuación twistor ?X? (1/n) X ? D? 0
• Killing espinor ?X? BX ? ?
• Nuevo interés del estudio de las NK-variedades,
  (Grunewald y otros).
• Spinores de Killing ?NK-var. en M6.
• Importancia del rango constante

13

• Estructuras contacto. Variedades de Sasaki.
• Var. Einstein-Sasakianas ?
• ?Existen espinores de Killing, pero más de uno.
• Diversos ejemplos en M5 y M7.
• V1, V2 (Berger) no son Sasakianas, todo indica
  que deben admitir spinores.
• Familia de variedades con Spinores en los
  ejemplos de Allof-Wallach.
• Parece que V3 está dentro de esta familia

14

• Clasificaciones de Friedrich y otros para M7 con
  2 ó 3 espinores de Killing.
• Con un espinor Problema abierto.
• Condición suficiente M7 admita un espinor de
  Killing Utilizando el vector-cross product,
  (Gray, 1969, TAMS)

15

• Importancia de los artículoos de Agricola y
  Kostant
• Utilización de la conexión canónica
• Operadores de Dirac y Killing para esta conexión
• Posible interes por contrastar resultados de las
  conexiones de Levi-Civita y de la canónica

16
(No Transcript)
17
Referencesa. Around Bergers classificationB
BERGER, M., Les variétés riemanniennes
homogènes normales connexes à corbure
strictement positive, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa 15 (1961), 179-246.B-B.1 BERARD-BERGER
Y, L. Sur certaines fibrations despaces
homogènes riemanniennes, Comp. Math. 30,
(1975), 43-61.B-B.2 BERARD-BERGERY, L.
Les variétés riemanniennes homogènes
simplement connexes de dimension impaire à
courbure strictement positive, J. Math. P. and
Appl. 55, (1976), 47-68.
18
Wh.2 WALLACH, N. Three new examples of
compact manifolds admitting Riemann structures
of positive curvature, Bull. A. Math. Soc. 78,
(1972), 55-56.Wh.3 WALLACH, N., Homogeneous
positively pinched Riemannian manifolds, Bull.
Amer. Math. Society 76 (1970),
783-786.Wg WILKING, B., The normal
homogeneous space has ositive sectional
curvature. Proc. of the Amer. Math. Soc. 127
(1999), 1191-1194.AW ALOFF, S. WALLACH,
N., An infinite family of distinct 7-manifolds
admitting positively curved Riemannian
structures. Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975),
93-97.
19
A-MB ARIAS-MARCO, T. BARTOLL, S. An
algebraic property of the Jacobi operador on a
family of homogeneous Riemannian manifolds
with non- negative curvatura (preprint).M,
NT MACÍAS, E, NAVEIRA, A. M. TARRÍO, A., The
constant osculating rank of the Willking's
manifold (SU(3) x SO(3))/U?(2). Wh.1 WALLA
CH, N. , Compact homogeneous Riemannian
manifolds with strictly positive curvature,
Ann. of Math. 96, (1972), 277-295.WG WOLF,
J. GRAY, A. Homogeneous spaces defined by
Lie group automorphisms, II, J. Diff. Geometry2
(1968), 115-159.
20
D, KN DUSEK, Z, KOWALSKI, O NIKCEVIC, S. Z.
New examples of Riemannian g.o. manifolds in
dimension 7, Differ. Geom. And its Appl. 21
(2004), 65-78.KV KOWALSKI, O. VLASEK, Z.,
Homogeneous Einstein metrics on Aloff-Wallach
spaces, Diff. Geom. Appl. 3 (1993), 157-167.
21
G - D. 1 GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C., Isotropic
Jacobi fields on compact 3-symmetric spaces, J.
Differential Geometry (to appear).G -D.
2 GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C., Isotropic Jacobi
fields on naturally reductive spaces,
(preprint).G - D N GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C.
NAVEIRA A. M. Isotropic Jacobi fields on normal
homogeneous spaces with positive sectional
curvatura, (preprint).G - D S
GONZÁLEZ-DÁVILA, J. C. SALAZAR, R. O.,
Isotropic Jacobi fields on naturally reductive
spaces, Publ. Mat. Debrecen 66 (2005), 41-61.
22
Be BESSE, A. L., Einstein manifolds,
Springer-Verlag, (2002).Hn HELGASON, S.,
Differential Geometry and Symmetric Spaces,
Aca-demic Press, (1978).N NOMIZU, K.,
Invariant affine connections on homogeneous
spaces. Amer. J. Math. 76 (1954),
33-65.KN KOBAYASHI, S. NOMIZU, K,
Foundations of differential geometry,
Interscience Publishers, New York, I, (1963),
II, (1969).M MILNOR, J. Curvatures of left
invariant Metrics on Lie groups, Adv. In
Math. 21 (1976), 293-329.
23
H HEINTZE, E. The curvature of
SU(5)/(Sp(2)xS1), Invent. Math. 13, (1971),
205-212.R RODIONOV, E. D., Homogeneous
Einstein metrics on a exceptional Berger
space. Sib. Math. J. 33 (1992),
171-174.S SAGLE, A. A note on triple systems
and totally geodesic manifolds in a
homogeneous space, Nagoya Math. J. 91 (1968),
5-20. T TAIMANOV, I. A. On totally geodesic
embeddings on 7- dimensional manifolds into
13-dimensional manifolds of positive sectional
curvature, Sb. Math. 187 (1996), 1853-1867.