Curso 20032004

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Ramificación y Poda

• Curso 2003/2004
• Daniel García
• José Moya
• José A. Gallud

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• Introducción
• Variante de VA
• También se le conoce como Separación y Evaluación
  Progresiva
• Técnica de exploración de un grafo orientado e
  implícito con el que se expresa un problema
• Nodos del grafo problema a resolver
• Cada nodo contiene una cota que estimará el valor
  de la solución si continuamos por ese camino
• Diferencias con VA
• En VA el test de comprobación nos decía si era
  fracaso o no
• En RyP la cota nos sirve para podar el árbol y
  para saber el orden de ramificación, comenzando
  por las más prometedoras

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• El problema del viajante de comercio
• Dado un grafo dirigido y con coste en las aristas
  no negativo, encontrar el camino hamiltoniano de
  mínimo coste
• Camino hamiltoniano camino cerrado que pase por
  todos los nodos una sola vez
• Ejemplo (...)
• Cada nodo del árbol implícito será un camino sin
  terminar
• La solución parcial tendrá la forma (a,b,c,...)
  que indica el camino que une los vértices
  a,b,c,...
• En cada nodo disponemos de una cota que nos
  estimará un mínimo de la longitud del camino
• El cálculo de la cota se distribuye entre 2
  nodos, ya que la cota es el coste del arco entre
  dos nodos i-j, asignando la mitad al nodo de
  llegada y la mitad al de salida
• Se miran los costes de pasar por un nodo (en vez
  de arcos)

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• En el ejemplo anterior
• Nodo1
• Coste como nodo salida min(14/2,4/2,10/2,20/2)2
• Coste como llegada min(14/2,4/2,11/2,18/2)2
• Coste nodo mínimo 2
• Nodo 2
• Coste como nodo salidamin(14/2,7/2,8/2,7/2)3,5
• Coste como nodo llegadamin(14/2,5/2,7/2,7/2)2,5
• Coste mínimo de pasar por el nodo 23,52,56
• Como hay que pasar por todos los nodos, el mínimo
  para la solución será la suma de los mínimos de
  los costes de pasar por cada nodo
• 2 6 4 3 3 2 20 estimación del coste
  total
• Representamos ese estado como (1)-20
• Indica que el camino encontrado hasta ahora
  consta de 1 vértice y que la cota solución es 20.
  Como sólo hay un nodo, el de menor cota es él
  mismo
• Las posibles ramificaciones son
• (1) 20
• (1,2) x1 (1,3)-x2 (1,4)-x3 (1,5)-x4 y
  calculamos xi

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• Para calcular x1
• Trayecto 1 a 2 14
• Salida desde 2 7/2 3,5 (min(14/2,7/2,8/2,7/2))
• Paso por 311/25,5 (salida por 3 llegada 3
  ?(...))
• Paso por 43 (salida 4 llegada 4 ? (...))
• Paso por 53 (salida 5 llegada 5 ? (...))
• Llegada a 1 2 (min(14/2,4/2,11/2,18/2)2)
• Total 14 7/2 5,5 3 3 2 31
• En el paso por los nodos 3,4 y 5 no se cuenta el
  nodo 1 como salida porque ya está incluido en el
  camino actual. Puede ser llegada para los nodos
  3, 4 y 5.
• El nodo 2 puede ser una posible llegada a otro
  nodo, pero no salida, por lo que tampoco se
  contará.
• La llegada al nodo 1 no puede proceder del nodo 2
  porque indicaría que faltan nodos por incluir.
• Calculamos el resto de cotas ? (...)
• x131 x224 x329 x441
• Ahora ramificamos el segundo problema con la cota
  más prometedora, que es x224 ? (...)

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• Modo de proceder de los algoritmos RyP
• Nodo vivo nodo con posibilidad de ser
  ramificado, es decir, no se ha realizado una
  poda.
• No se pueden comenzar las podas hasta que no se
  haya descendido a una hoja del árbol
• Se aplicará la poda a los nodos con una cota peor
  al valor de una solución dada ? a los nodos
  podados a los que se les ha aplicado una poda se
  les conoce como nodos muertos
• Se ramificará hasta que no queden nodos vivos por
  expandir
• Los nodos vivos han de estar almacenados en algún
  sitio ? lista de nodos, de modo que sepamos qué
  nodo expandir

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• Esquema general
• Funcion ramipoda(Pproblema)solucion
• LP (lista de nodos vivos)
• S ?? (según se aplique máximo o mínimo)
• Mientras L?0
• nnodo de mejor cota en L
• si solucion(n)
• si (valor(n) mejor que s)
• svalor(n)
• para todo m ?L y Cota(m) peor que S
• borrar nodo m de L
• sino
• añadir a L los hijos de n con sus cotas
• borrar n de L (tanto si es solución como si ha
  ramificado)
• Fin_mientras
• Devolver S

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• Problema de la mochila 0/1
• Ejemplo M15 con 4 objetos
• vi10,8,10,12
• pi2,4,5,8
• vi/pi5,2,2,1.5
• Usaremos la misma estimación que se utilizó en VA
  para acotar el beneficio esperado de un nodo,
  suponiendo que no estamos en el caso 0/1 y
  aplicamos devorador (óptima en este caso)
• Ejemplo de maximización escogeremos los nodos
  con cotas superiores
• Árbol para el ejemplo (...)
• Funcion mochila ? (...)

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• Árboles de juegos
• Muchos juegos de estrategia se representan en
  forma de árbol
• Nodo configuración posible del juego
• Arco transición legal entre estados del juego
  según las reglas
• Árbol infinito cuando el juego no termina nunca
• Supongamos un juego de dos jugadores
• Juego determinista no interviene el azar
• Suponemos que una partida es finita
• A cada nodo se le asigna una etiqueta ganador,
  perdedor, nulo
• Indicará la situación del jugador que se
  encuentra en esa configuración, suponiendo que no
  hay equivocaciones
• Asignación de etiquetas
• Las asignadas a las configuraciones dependen del
  juego
• Una configuración no terminal es ganadora si al
  menos un sucesor es perdedor
• Una configuración no terminal es perdedora si
  todos sus sucesores son ganadores
• El resto de configuraciones son nulas

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• Juego del Nim o de Marienbad
• Inicialmente hay dos cerillas.
• El primero coge tantas cerillas como quiera, al
  menos 1 y deja al menos 1.
• En cada turno, un jugador tomará al menos 1
  cerilla, pero nunca más del doble que las que ha
  cogido el otro jugador en la vez anterior.
• Gana quien retire la última cerilla.
• No hay partidas nulas.
• Ejemplo 7 cerillas ? el jugador que empieza
  tiene la victoria asegurada siempre y cuando no
  se equivoque
• Con 8 cerillas, el jugador que empieza pierde, a
  no ser que su adversario se equivoque