TOPICOS AVANZADOS EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES

1

Algoritmo de Descomposición de Dantzig-Wolfe

• TOPICOS AVANZADOS EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Escuela de Sistemas Universidad Nacional de
Colombia Sede Medellín
2
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Muchos PL permiten descomponer las restricciones
  y variables así
• Restricciones en el conjunto 1 solo involucran el
  primer conjunto de variables
• Restricciones en el conjunto 2 solo involucran el
  segundo conjunto de variables
• Restricciones en el conjunto k solo involucran el
  k-conjunto de variables
• Restricciones en el conjunto k1 involucran
  cualquier variable (restricciones centrales)

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• EJEMPLO
• Una empresa siderúrgica fabrica 2 tipos de acero
  en dos plantas
• Los recursos necesarios para fabricar una
  tonelada de acero son hierro, carbón y tiempo de
  fundición
• Existen 2 tipos de hornos por lo cual los
  recursos necesarios son diferentes en cada planta

4
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE
5
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Las plantas 1 y 2 disponen de 12 y 15 toneladas
  diarias de carbón, respectivamente
• La planta 1 dispone de 10 horas diarias de horno
  de fundición y la planta 2 dispone de 4 horas.
• Se dispone de 80 toneladas diarias de hierro
  extraído de una mina a mitad de camino entre
  ambas plantas
• Cada tonelada de acero 1 se vende a 170/Ton y
  acero 2 a 160/Ton. Enviar una tonelada desde la
  planta 1 cuesta 80/Ton y desde la planta 2
  cuesta 100/Ton.

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Variables
• x1Toneladas de acero 1 producidas diariamente en
  la planta 1
• x2Toneladas de acero 2 producidas diariamente en
  la planta 1
• x3Toneladas de acero 1 producidas diariamente en
  la planta 2
• x4Toneladas de acero 2 producidas diariamente en
  la planta 2
• Función Objetivo
• z 170(x1x3)160(x2x4)-80(x1x2)-100(x3x4)
• z 90x1 80x2 70x3 60x4

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Restricciones
• 3x1 x2 ? 12
• 2x1 x2 ? 10
• 3x32x4 ? 15
• x3 x4 ? 4
• 8x16x27x35x4 ? 80
• xi ? 0

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Max z 90x1 80 x2 70 x3 60x4
• 3x1 x2 ? 12
• 2x1 x2 ? 10
• 3x32x4 ? 15
• x3 x4 ? 4
• 8x16x27x35x4 ? 80
• x1 , x2 , x3 , x4 ? 0

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Aplicando definición de descomposición
• Primer Conjunto de Variables
• x1 y x2 (Variables de la planta 1)
• Segundo Conjunto de Variables
• x3 y x4 (Variables de la planta 2)
• Primer Conjunto de Restricciones
• R1 y R2 (Restricciones de la planta 1)
• Segundo Conjunto de Restricciones
• R3 y R4 (Restricciones de la planta 2
• Tercer Conjunto de Restricciones
• R5 (Restricciones de hierro disponible)

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Para resolver los PL que se descomponen de la
  forma anterior, Dantzig y Wolfe proponen su
  algoritmo
• Asume que se esta resolviendo un PL en el cual
  cada subproblema tiene una región factible
  limitada
• Se aplica el siguiente teorema

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Sea una region factible del PL limitada y cuyos
  puntos extremos (SBF) son P1, P2,...,Pk
• Cualquier punto x en la región factible puede
  expresarse como una combinación lineal de P1,
  P2,,Pk.
• Existen pesos m1, m2,, mk. que satisfacen
• x m1 P1 m2 P2 Pk mk
• Los pesos se escogen tal que
• m1 m2 mk 1 y mi ? 0 ? i1,,k

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Sean los conjuntos de variables y restricciones 1
• 3x1 x2 ? 12
• 2x1 x2 ? 10
• x1 , x2 ? 0

x2
P4
P3
x1
P1
P2
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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Los puntos extremos de esta región factible son
  P10 0, P24 0, P32 6 y P40 10
• Cualquier punto dentro de esta región factible
  puede escribirse como
• donde mi ? 0 y m1 m2 m3 m4 1

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Por ejemplo
• Esto también ocurre para los conjuntos de
  variables y restricciones 2
• Los puntos extremos de esta región factible son
  Q10 0, Q24 0 y Q30 4

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• 3x32x4 ? 15
• x3 x4 ? 4
• x3 , x4 ? 0

x4
Q3
x3
Q1
Q2
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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• En esta región factible
• Donde mi ? 0 y m1 m2 m3 1
• Cual es la combinación convexa del punto

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• El algoritmo de descomposición no requiere la
  determinación de estos pesos para un punto
  arbitrario

• El algoritmo de descomposición para dos conjuntos
  1 y 2 es el siguiente (puede generalizarse a mas
  de dos conjuntos de variables)

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• PASO 1
• Sean x1, x2,...,xn1 las variables del conjunto 1
• Exprese las variables como combinación convexa de
  los puntos extremos P1, P2,...,Pk de la región
  factible para el conjunto de restricciones 1
• donde m1 m2 mk 1 y mi ? 0 ? i1,,k

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• PASO 2
• Sean xn11, xn12 ,...,xn las variables del
  conjunto 2
• Exprese las variables como combinación convexa de
  los puntos extremos Q1, Q2,...,Qm de la región
  factible para el conjunto de restricciones 2
• donde l1 l2 lm 1 y li ? 0 ? i1,,m

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• PASO 3
• Exprese la función objetivo y las restricciones
  centrales en terminos de las mi y li.
• Despues de adicionar las restricciones de
  convexidad m1 m2 mk 1 y l1 l2 lm
  1
• y las restricciones de signo
• mi ? 0 ? i1,,k y li ? 0 ? i1,,m
• Se obtiene el PL denominado Master restringido

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• PASO 4
• Asuma que se tiene una SBF para el Master
  restringido
• Utilice GENERACION DE COLUMNAS para resolver este
  problema.
• PASO 5
• Sustituya los valores de las mi y li y halle los
  valores óptimos para x1, x2,...,xn

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Continuación EJEMPLO
• El master Restringido resulta al reemplazar

23
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• La función objetivo se vuelve
• 90x1 80 x2 70 x3 60x4 90(4m22
  m3)80(6m310m4)70(4l2)60(4l3)
• 360m2660m3800m4280l2240l3
• La restricción centralizada se vuelve
• 8x16x27x35x4 ? 80
• 8(4m22 m3)6(6m310m4)7(4l2)5(4l3) ? 80
• 32m252m360m428l220l3 ? 80
• Después de adicionar una variable de holgura , se
  obtiene el siguiente Master restringido

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Max z 360m2660m3800m4280l2240l3
• Sujeto a
• 32m252m360m428l220l3 s1 80
• m1 m2 m3 m4 1
• l1 l2 l3 1
• mi ? 0, li ? 0

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Existe una forma inteligente de seleccionar una
  variable en el master restringido
• Encuentre la columna que corresponde a la
  variable mi, que corresponde al punto en el
  conjunto de variables 1 (planta 1)
• Sea la siguiente propuesta para la producción
  en la planta 1
• El peso mi (variable del master restringido) es
  una fracción de la propuesta correspondiente al
  punto Pi que está incluido en el actual plan de
  producción

26
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Por ejemplo, el punto
• Es equivalente a 1/3 de la propuesta P1, 1/3 de
  la propuesta P2 y de la propuesta P3
• Podemos describir entonces un método para
  determinar la columna para cualquier variable del
  Master restringido
• Se quiere encontrar la columna para el punto
  extremo
• que corresponde al peso mi

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Si se incluye una fracción mi de dicho punto,
  cuanto contribuye a la función objetivo?
• Si mi 1 entonces
• Contribuirá 90x1 80 x2.
• Por proporcionalidad, mi contribuye mi (90x1 80
  x2)

28
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• También, contribuye al lado izquierdo de la
  restricción central con la cantidad mi (8 x1 6
  x2)
• Ejemplo Cuál es la columna de m3 que corresponde
  al punto extremo
• La contribución a la f.o. y a la restricción
  central son
• m3(90x1 80 x2) m3 (90(2) 80(6)) 660m3
• m3 (8 x1 6 x2) m3 (8(2) 6(6)) 52m3

29
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Además, tiene un 1 en la primera restricción de
  convexidad y 0 en la otra restricción de
  convexidad.
• Se resuelve el problema Master restringido
  aplicando el algoritmo simplex revisado y
  generación de columnas
• Las variables elegidas para entrar a la base son
• s1, m1, l1

30
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Las variables en la base inicial y la base
  serán

• Así, los precios sombra en la tabla inicial serán

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se aplica Generación de Columnas en dos etapas
• Se determina si hay un mi asociado al conjunto de
  restricciones 1 que tenga un coeficiente negativo
  en el renglón cero (Problema Max)
• Este peso tendrá la siguiente columna en el
  Master
• Coeficiente en la f.o mi 90x1 80 x2
• Coeficientes en las restricciones para mi

32
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera una columna. En el problema,
• y se debe verificar que x1, x2 no violen las
  restricciones del conjunto 1
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  de

33
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 0
• Subproblema Planta 1
• La solución a este problema es z -800, x10,
  x210
• Esto significa que el peso mi asociado con el
  punto extremo tiene el coeficiente más
  negativo.
• La columna que tiene un coeficiente -800
  corresponde a la variable m4 (punto extremo P4).

34
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Ahora se determina si hay un li asociado al
  conjunto de restricciones 2 que tenga un
  coeficiente negativo en el renglón cero (Problema
  Max)
• Este peso tendrá la siguiente columna en el
  Master
• Coeficiente en la f.o li 70x3 60 x4
• Coeficientes en las restricciones para li

35
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera la columna
• y se debe verificar que x3, x4 no violen las
  restricciones del conjunto 2
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  de

36
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 0
• Subproblema Planta 2
• La solución a este problema es z -280, x34,
  x40
• Esto significa que el peso li asociado con el
  punto extremo tiene el coeficiente más
  negativo.
• La columna que tiene un coeficiente -280
  corresponde a la variable l2 (punto extremo Q2).

37
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Como m4 tiene un coeficiente más negativo que l2,
  debe entrar a la base.
• Se necesita encontrar la columna de m4 en la
  tabla cero

38
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Columna de m4

• Lado derecho en el tablero inicial será
• Donde entra a la base? ? En la segunda restricción

39
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Las variables en la base y la base serán

• Así, los precios sombra en la tabla 1 serán

40
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera una columna a partir de dos nuevos
  subproblemas . Para el subconjunto 1,
• y se debe verificar que x1, x2 no violen las
  restricciones del conjunto 1
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  de

41
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 1
• Subproblema Planta 1
• La solución a este problema es z 0, x10, x210
• Esto significa que ningún peso mi tiene un
  coeficiente negativo.

42
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera la columna
• y se debe verificar que x3, x4 no violen las
  restricciones del conjunto 2
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  del mismo problema anterior!

43
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 1
• Subproblema Planta 2
• La solución a este problema es z -280, x34,
  x40
• Esto significa que el peso li asociado con el
  punto extremo tiene el coeficiente más
  negativo.
• La columna que tiene un coeficiente -280
  corresponde a la variable l2 (punto extremo Q2).

44
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Como ningún mi tiene un coeficiente negativo, es
  l2 quien debe entrar a la base.
• Se necesita encontrar la columna de l2 en la
  tabla uno

45
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Columna de l2

• Lado derecho en el tablero 1 será
• Entra a la base en la primera restricción

46
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Las variables en la base y la base serán

• Así, los precios sombra en la tabla 2 serán

47
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera una columna a partir de dos nuevos
  subproblemas . Para el subconjunto 1,
• y se debe verificar que x1, x2 no violen las
  restricciones del conjunto 1
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  de

48
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 2
• Subproblema Planta 1
• La solución a este problema es z 0, x10, x210
• Esto significa que nuevamente ningún peso mi
  tiene un coeficiente negativo.

49
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera ahora la columna para el subproblema 2
• y se debe verificar que x3, x4 no violen las
  restricciones del conjunto 2
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo

50
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 2
• Subproblema Planta 2
• La solución a este problema es z -40, x30,
  x44
• Esto significa que el peso li asociado con el
  punto extremo tiene el coeficiente más
  negativo.
• La variable l3 (punto extremo Q3) entra a la
  base.

51
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Como ningún mi tiene un coeficiente negativo, es
  l3 quien debe entrar a la base.
• Se necesita encontrar la columna de l3 en la
  tabla dos

52
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Columna de l3

• Lado derecho en el tablero 2 será
• Puede entrar a la base en la primera restricción
  o en la tercera restricción

53
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Escogiendo arbitrariamente la primera
  restricción, las variables en la base y la base
  serán

• Así, los precios sombra en la tabla 3 serán

54
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera una columna a partir de dos nuevos
  subproblemas . Para el subconjunto 1,
• y se debe verificar que x1, x2 no violen las
  restricciones del conjunto 1
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo que es la solución
  de

55
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 3
• Subproblema Planta 1
• La solución a este problema es z 0, x10, x210
• Esto significa que nuevamente ningún peso mi
  tiene un coeficiente negativo.

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Se genera ahora la columna para el subproblema 2
• y se debe verificar que x3, x4 no violen las
  restricciones del conjunto 2
• El peso que tiene un valor más negativo es el
  peso asociado al punto extremo

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Tabla 3
• Subproblema Planta 2
• La solución a este problema es z 0, x30, x40
• Esto significa que ningún peso li tiene un
  coeficiente negativo.

58
DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Como ningún mi ni li tienen coeficiente negativo,
  esta tabla debe ser la óptima.

• Lado derecho en el tablero 3 será
• La solución óptima al Master restringido es la
  anterior, y los demás pesos son cero.

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DESCOMPOSICION DANTIZG-WOLFE

• Al devolverse (PASO 5), se puede mostrar el
  programa óptimo es
• x2 10
• x4 4
• x1 x3 0
• z 1040