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Curso de Bioestad

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M dico Cirujano por la Universidad Aut noma de Guadalajara. Pediatra por el Consejo Mexicano de ... Master en Ciencias con enfoque en Epidemiolog a, Atlantic ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Curso de Bioestad


1
Curso de BioestadísticaParte 16Regresión lineal
  • Dr. en C. Nicolás Padilla Raygoza
  • Departamento de Enfermería y Obstetricia
  • División Ciencias de la Salud e Ingenierías
  • Campus Celaya-Salvatierra
  • Universidad de Guanajuato México

2
Presentación
  • Médico Cirujano por la Universidad Autónoma de
    Guadalajara.
  • Pediatra por el Consejo Mexicano de Certificación
    en Pediatría.
  • Diplomado en Epidemiología, Escuela de Higiene y
    Medicina Tropical de Londres, Universidad de
    Londres.
  • Master en Ciencias con enfoque en Epidemiología,
    Atlantic International University.
  • Doctorado en Ciencias con enfoque en
    Epidemiología, Atlantic International University.
  • Profesor Asociado B, Facultad de Enfermería y
    Obstetricia de Celaya, Universidad de Guanajuato.
  • padillawarm_at_gmail.com

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Competencias
  • Conocerá como trazar una línea de regresión
  • Sabrá como probar hipótesis acerca de la línea de
    regresión
  • Sabrá como realizar un análisis ANOVA

4
Introducción
  • Cuando se piensa que una variable depende de la
    otra, se debe cuantificar la relación entre
    ellas.
  • Al hacer esto, podemos estimar el valor de una
    variable, si conocemos el valor de la otra.
  • Este método se llama regresión.

5
Regresión lineal
  • La gráfica de puntos dispersos muestra la
    relación entre edad y presión arterial sistólica
    de 37 mujeres.
  • La presión arterial cambia con la edad.

6
Trazando una línea de regresión
  • Nuestro objetivo es trazar una línea, que mejor
    describa la relación entre X y Y.
  • Se puede trazar una línea con una regla, que una
    los puntos, pero es improbable que obtengamos una
    misma línea y cada una de ellas, da diferente
    descripción de la relación entre X y Y.

7
Trazando una línea de regresión
  • Cada distancia vertical es la diferencia entre el
    valor observado para la variable dependiente (en
    el eje y) y el valor de la línea trazada para el
    correspondiente valor del eje x.
  • La distancia vertical entre los valores
    observados y los trazados es conocida como
    residual. Llamamos a cada uno de los residuales
    e1.

Residuales e1
8
Trazando una línea de regresión
  • La línea que mejor traza los datos se le conoce
    como línea de regresión.
  • Da una estimación del valor promedio de y por
    algún valor de x. En general decimos que es una
    regresión de y sobre x.
  • Se puede pensar en la línea de regresión como una
    línea que une los valores medios de y por cada
    valor de x.

9
Trazando una línea de regresión
  • La expresión matemática para la línea de
    regresión es la ecuación
  • y a ßx
  • donde a es la intersección de la línea con el eje
    y,
  • ß es la pendiente de la línea.
  • Regresión de los cuadrados mínimos da una línea
    de mejor trazo con una intersección y una
    pendiente determinada.

10
Trazando una línea de regresión
  • Podemos trabajar sobre la pendiente de la línea
    tomando dos puntos a lo largo de la línea.
  • Por ejemplo, tomamos los puntos 1 y 2 de la
    gráfica de abajo.
  • Punto 1 tiene los valores x4, y 16
  • Punto 2 tiene los valores x8, y22

2
1
11
Trazando una línea de regresión
  • Esta gráfica corresponde a un valor fijo de a 10
    y un valor de b diferente.
  • Muestra tres líneas que corresponden a un valor
    fijo de a y un valor diferente de y.

Esta gráfica corresponde a un valor fijo de b y
un valor diferente de a.
2 1 0.5
20 10 5
a10
12
Interpretando una línea de regresión
  • Una vez que se obtiene la línea de regresión,
    podemos usarla para dar un resumen de la relación
    entre la variable explicativa y respuesta
    (independiente, dependiente).
  • Podemos decir
    Por una unidad de incremento en x, y se
    incrementa por un cierto valor (el valor de b). y
    a bx

13
Interpretando una línea de regresión
y 7.9 0.136x
14
Inferencias con una línea de regresión
  • Hasta ahora hemos visto sólo la descripción de la
    relación entre dos variables con una línea de
    regresión, donde a (la intersección) y b (la
    pendiente) son estimadas de los puntos de los
    datos de la muestra.
  • La ecuación de regresión describiendo la relación
    entre dos variables en la población se escribe
    y a bx
    Así, a es una
    estimación de a y b es una estimación de ß.
  • Población
    Muestra
  • Intercepción a
    a
  • Pendiente ß
    b

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Inferencias con una línea de regresión
  • La línea de regresión da una estimación de la
    relación entre las dos variables x y, y en la
    población.
  • De la misma forma que hemos usado la inferencia
    para hacer conclusiones acerca de medias y
    proporciones, usaremos la línea de regresión para
    llegar a conclusiones acerca de la relación entre
    dos variables cuantitativas en la población.
  • Si tomamos diferentes muestras de la población,
    con cada muestra podemos obtener una línea de
    regresión trazada por el método de los cuadrados
    mínimos.
  • En la población hay una relación lineal entre dos
    variables y cada muestra puede ser ligeramente
    diferente.

16
Inferencias con una línea de regresión
  • En la muestra y a bx.
  • En la población y a ßx.
  • Hay tres suposiciones subyacentes en el método de
    regresión lineal
  • 1. La variable respuesta, y, tiene una
    distribución Normal en cada x
  • 2. La variabilidad de y deberá ser la misma a
    través de x
  • 3. La relación entre x y deberá ser lineal.

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Inferencias con una línea de regresión
  • La pendiente b es de fundamental interés en el
    análisis de regresión.
  • Nos da la más importante información acerca de la
    relación entre x y, esto es, el cambio promedio
    en y por una unidad de cambio en x.
  • Obteniendo el error estándar de b, podemos
    calcular el intervalo de confianza y realizar una
    prueba de hipótesis sobre b.

18
Ejemplo
  • La ecuación de regresión para la relación entre
    altura y madurez ósea es
  • Estatura 97.9 0.215 x edad gestacional al
    nace

19
Ejemplo
  • Cuando esos valores fueron analizados usando un
    programa de computación los siguientes valores
    para la intersección, pendiente y sus errores
    estándar fueron calculados a 97.9, b 0.215,
    ES(a) 3.20, ES(b) 0.0781.
  • Note que cuando edad gestacional fue de 0, la
    estatura es de 97.9 cm. Es posible esto?

20
Intervalos de confianza para b
  • La gráfica sugiere una relación lineal razonable
    entre estatura y edad gestacional al nacer.
  • Pero es debido al valor de b que hemos obtenido
    en estos 21 niños?
  • Podemos calcular el intervalo de confianza para b
    para obtener un rango de valores que podemos
    tener la confianza contiene la verdadera
    pendiente de ß.
  • Un intervalo de confianza al 95 para la
    pendiente b es calculado usando la distribución
    t. b t0.05ES(b)
  • donde t es a n-2 grados de libertad.

21
Intervalos de confianza para b
  • Para la relación entre altura y edad gestacional
  • b 0.215,
  • n - 2 21 - 2 19,
  • t19, 0.05 2.093,
  • ES(b) 0.0781
  • Entonces el intervalo de confianza al 95 para b
    es 0.052 a 0.378
  • Esto sugiere que la verdadera inclinación en la
    población no es cero.

22
Prueba de hipótesis para b
  • Podemos calcular la prueba de hipótesis acerca de
    la verdadera pendiente ß, la pendiente de la
    relación lineal entre dos variables en la
    población.
  • Hipótesis nula
  • La hipótesis nula es que la pendiente en la
    población es cero.
  • Esto está implícito cuando decimos que no hay
    relación lineal entre altura y madurez ósea.
  • Ho b 0
  • Hipótesis alternativa
  • La hipótesis alternativa es que la pendiente en
    la población no es cero. Si esto es verdad,
    podemos decir que hay una relación lineal entre
    estatura y madurez ósea.
  • H1 b ? 0

23
Prueba de hipótesis para b
  • Para probar la hipótesis nula dividimos la
    estimación de b entre su error estándar y
    comparamos el resultado en la distribución t con
    n - 2 grados de libertad.
  • En este ejemplo, b 0.215, ES(b) 0.0781
  • Ahora, refiriéndonos a las tablas de la
    distribución t con (n - 2) (21 - 2) 19 grados
    de libertad, el valor de p es 0.01lt P lt 0.02.
  • Qué concluimos de este resultado?
  • Rechazamos la hipótesis nula y decimos que hay
    evidencia de que la pendiente de la relación
    entre estatura y madurez ósea en la población no
    es cero.

24
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Evaluación de un análisis de regresión involucra
    la comparación de la varianza de los residuales y
    la variación en los datos explicada por la línea
    de regresión.
  • Esto se puede mostrar en una tabla de análisis de
    varianza.
  • Este análisis se le llama ANOVA.

25
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Regresión
  • La gráfica muestra la relación entre x y, con
    cuatro puntos.
  • Se traza la línea de regresión y se analiza las
    diferentes partes de la variación en la relación
    entre x y, para evaluar la regresión

1
Línea de la hipótesis nula
1
Residuales para suma total de cuadrados 3.5
2.5 0.5 - 5.5
1
1
26
Análisis de varianza (ANOVA)
  • La diferencia entre la suma total de cuadrados y
    la suma de los cuadrados de los residuales (la
    variación que permanece después de que es trazada
    una línea a través de los puntos) es la variación
    que es explicada por la regresión de y sobre x.
  • En el ejemplo
  • La suma de los cuadrados de los residuales es 4
  • La suma total de cuadrados es 49.

27
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Qué es la suma de cuadrados de regresión?
  • La línea de regresión trazada explica la
    proporción de la variabilidad en la variable
    respuesta mientras que los residuales indican la
    cantidad de variabilidad sin explicación.
  • Una línea de regresión que describe bien los
    datos y explica la mayoría de la variación es
    preferible.

28
Análisis de varianza (ANOVA)
  • La suma de cuadrados muestran cuanto de la
    variación es explicada por la línea de regresión
    y cuánto es explicada por los residuales.
  • Esto se muestra en un análisis de varianza a
    través de la tabla ANOVA.

29
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Tabla de análisis de varianza (ANOVA)

Fuente Suma de cuadrados Grados de
libertad Media de suma de cuadrados F
Valor de p Regresión 45
1
45 22.5
0.042 Residual 4
2
2 Total
49
3
El enfoque del análisis de varianza es comparar
las dos fuentes de variación (regresión y
residual) para saber cuál explica mejor la
variación en la variable respuesta. Para hacer
esto, usamos una prueba que compara la variación
en regresión y la variación residual, conocida
como la prueba F.
30
Análisis de varianza (ANOVA)
  • La razón de usar una prueba F es que la razón de
    dos varianzas tiene una distribución de muestreo
    conocida como distribución F.
  • La suma de cuadrados debido a la línea de
    regresión tiene un grado de libertad.
  • La suma de cuadrados debido a la variación
    residual (inexplicable) tiene n-2 grados de
    libertad.
  • Para tomar en cuenta los grados de libertad,
    calculamos la media de la suma de cuadrados,
    dividiendo la suma de cuadrados entre los grados
    de libertad.
  • Media de la suma de cuadrados Suma de
    cuadrados/grados de libertad

31
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Podemos calcular el valor de F como la razón de
    la media suma de cuadrados

    F Media de suma de cuadrados de
    regresión/ media de suma de cuadrados de
    residuales 45/2 22.5
  • La prueba F, basada en ANOVA, es una forma
    alternativa de probar la hipótesis nula, ß 0.
  • Es equivalente al cuadrado de la prueba de t
    sobre la pendiente b.
  • La prueba F y la prueba t son para probar la
    hipótesis nula de que x no tiene relación con y.
  • El valor de F es referido a las tablas de la
    distribución F con 1 y n-2 grados de libertad,
    para obtener el valor correspondiente de p.

    p
    0.042

32
Análisis de varianza (ANOVA)
  • Qué concluimos del valor de p?
  • El valor de p nos dice la probabilidad de
    observar una relación lineal en la muestra si la
    hipótesis nula fuera verdad y no hubiera relación
    lineal en la población.
  • Así, para un valor de p bajo podemos rechazar la
    hipótesis nula y decir que hay una relación
    lineal en la población y la línea de regresión
    traza bien los datos.

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Análisis de varianza (ANOVA)
  • R2
  • Hemos trabajado en casi todos los términos de una
    tabla ANOVA.
  • Sólo falta calcular el porcentaje de la variación
    total explicada por la línea de regresión.
  • Es una forma general de evaluar qué bien la línea
    de regresión traza los datos.
  • Cuánto de la variación total de la variable
    respuesta puede ser explicada por la línea de
    regresión?
  • Llamamos a este valor R² y lo calculamos como la
    razón de la suma de cuadrados de la regresión
    dividida entre la total suma de cuadrados.
  • R2 Suma de cuadrados de regresión/Total suma de
    cuadrados x100

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Cuándo es válido usar la regresión?
  • Suposiciones para la regresión
  • Recuerde las suposiciones que están subyacentes
    al método de regresión lineal
  • La variable respuesta deberá estar normalmente
    distribuida
  • La variabilidad de y deberá ser la misma a través
    de todos los valores de x
  • Deberá haber una relación lineal entre x y.

35
Cuándo es válido usar la regresión?
  • Precauciones
  • Es posible obtener una línea de regresión de
    cualquier gráfica de puntos dispersos pero una
    regresión lineal deberá sólo ser aplicada donde
    existe una relación lineal.
  • Una asociación lineal entre dos variables no
    significa que una causa a la otra.
  • Puede ser necesario ajustar para confusores
    potenciales.

36
Bibliografía
  • 1.- Last JM. A dictionary of epidemiology. New
    York, 4ª ed. Oxford University Press, 2001173.
  • 2.- Kirkwood BR. Essentials of medical
    ststistics. Oxford, Blackwell Science, 1988 1-4.
  • 3.- Altman DG. Practical statistics for medical
    research. Boca Ratón, Chapman Hall/ CRC 1991
    1-9.
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