Material de la Clase 9

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Material de la Clase 9

• Teoría de los Contratos Financieros Derivados
• Edgardo Zablotsky
• Miércoles 26 de Agosto

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Fórmula de Black-Scholes

• C S N (d1) - K e - rT N (d2)
• d1 ln (S/K) (r ?2/ 2) T / ? T1/2
• d2 d1 - ? T1/2
• N (dx) probabilidad que una variable
  distribuída normalmente sea menor o igual X

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Propiedades de la Fórmula de Black - Scholes

• Asuma ? 0, indicando que el precio futuro del
  underlying puede ser perfectamente anticipado en
  base al precio actual
• Asuma ? tiende a infinito
• Asuma S 0
• Asuma S tiende a infinito
• Asuma T 0
• Asuma T tiende a infinito
• Asuma K 0
• Asuma K tiende a infinito

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Hedging. Motivación

• Emito un call que se encuentra sobrevaluado
• Alternativa 1 mantengo una posición descubierta
• si bién el hecho que se encuentre sobrevaluado
  indica que el precio que obtuve supera la
  esperanza descontada de mi futura obligación, la
  volatilidad de la misma es el riesgo que enfrento
• Alternativa 2 formar una posición cubierta
  covered call (es decir, comprar el underlying)
• es similar a un put escrito por ende, no acoto
  el riesgo sino que lo transformo
• Alternativa 3 formar un portafolio para el cual
  la volatilidad de mi obligación sea la deseada
  es decir, adquirir un hedge

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Hedging. EjemploEstrategia de Stop - Loss

• Emito un call que se encuentra sobrevaluado
• Compro el stock si el mismo supera el precio de
  ejercicio y lo vuelvo a vender si cae por debajo
• si la opción termina in the money poseo el stock
  sino no
• Si asumo que no hay costos de transacción el
  costo del hedging será menor que el precio de B-S
• costo del hedging max (0, S - K) lt CB-S
• La estrategia no funciona pues hay que tomar en
  cuenta el costo de oportunidad del dinero
  invertido, se compra (vende) a un precio mayor
  (menor) que K, y existen costos de transacción
• tradeoff entre los dos últimos factores

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Hedging. Riesgos Griegos
Delta ? ? C / ??S
Gamma ? ? ???????S (? C
/ ??S) / ??S Theta ? -
? C??????t Vega V ? C??????? Rho
??????? ??? C / ??r
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Delta

• ? C / ? S N(d1)
• el delta de un call varía entre 0 y 1
• se incrementa conforme el call se encuentra mas
  in the money
• el delta de una opción out of the money se
  incrementa conforme crece el tiempo hasta la
  expiración
• ? P / ? S N(d1) -1
• el delta de un put varía entre 0 y -1
• El delta de un portafolio es la suma de los
  deltas de sus componentes
• ? ? i1,..N ni ?i

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Portafolio Neutral en Delta

• Portafolio delta neutral - C N(d1) S
• hedge ratio
• neutral frente a pequeños cambios, no grandes!
• el retorno de este portafolio, si se lo
  rebalancea continuamente, debe ser r
  (Black-Scholes)
• dynamic hedging
• Sirve para lograr la exposición al riesgo
  deseada
• el delta del stock es 1 formando un portafolio
  con una opción altero dicha sensibilidad
  ejemplo,
• si delta es 0.5 un portafolio formado por un
  stock y dos calls vendidos tiene delta 0 si tan
  solo incorporo un call delta se reduce a 0.5

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Gamma

• ? delta / ? S ? C2 / ?2 S N(d1) / S ? (T -
  t)1/2 ltgt 0
• Pequeña para un call deep in, o out of, the
  money importante si el call se encuentra at the
  money
• Si gamma es grande es necesario rebalancear
  frecuentemente el portafolio para que se mantenga
  delta neutral

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Portafolio Neutral en Gamma

• Emito un call que se encuentra sobrevaluado
• No puedo reducir su gamma al formar un portafolio
  con el underlying pues el stock tiene delta 1
  y gamma 0 por ende, debo recurrir a otro
  derivado
• Suponga que la gama del call es ?, la de otra
  opción es ?x y el número de dichas opciones es Nx
• la gamma del portafolio es ? Nx ?x
• por lo tanto, puedo despejar Nx y generar un
  portafolio de cero gamma
• Obviamente incluir la segunda opción altera el
  delta del portafolio por lo tanto, para
  mantenerlo delta neutral hay que alterar el
  número de stocks

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Portafolio Neutral en Delta y Gamma

• En general, a los fines de inmunizar el stock de
  mas de un factor de riesgo es necesario formar un
  portafolio con mas de una opción (una por tipo de
  riesgo)
• caso gamma de la acción 0
• Portafolio delta y gamma neutral
• Ns Deltas N1 Delta1 N2 Delta2 0
• Ns Gammas N1 Gamma1 N2 Gamma2 0
• elija Ns 1 y obtenga N1 y N2
• Este portafolio es sensible frente a otros
  factores de riesgo (por ej. tasa de interés o
  volatilidad)

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Theta

• - ? C / ? t S N(d1) ? / 2 (T - t)1/2 -
  
  
  
  - r K (T - t) e -r (T - t) N(d2)
• Generalmente es positiva
• put europeo deep in the money
• Es menor cuando la opción se encuentra in the
  money y cuanto mayor es la volatilidad
• No es estrictamente un riesgo dado que el paso
  del tiempo es determinístico por ende, no tiene
  sentido cubrirse

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Vega

• ? C / ? ? S (T - t)1/2 N(d1)
• Un cambio importante en la estimación de
  volatilidad altera dramáticamente el precio de la
  opción
• Una opción deep in (out of) the money tiende una
  vega cercana a cero
• la mayor vega se verifica near the money
• No puedo reducir el vega al formar un portafolio
  con el underlying pues el stock tiene vega 0
  si de incorporar otra opción, pero dicho
  portfolio no será gamma neutral

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Rho

• ? C / ? r K (T - t) e -r (T - t) N(d2)
• Una variación en la tasa de interés tiene un
  efecto menor sobre el precio de la opción si la
  misma es de corta vida
• si t T la sensibilidad es nula
• La sensibilidad también es función de la
  proximidad del precio del underlying al precio de
  ejercicio
• baja (alta) para deep out of (in) the money call

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Put Americano vs Put Europeo

• Premio por early exercise
• Puede convenir ejercerlo aún si no hay dividendos
  
• time value negativo

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Black-Scholes y Dividendos

• El stock paga dividendos durante el período de
  vida de la opción
• el stock sigue el ito process, ds s u dt s
  ?dz, salvo en el ex-dividend date, cuando su
  valor cae, por arbitraje, en el monto de los
  dividendos
• Dividir S en dos componentes
• una parte sin riesgo igual al valor presente de
  los dividendos a ser pagados por ende, esta
  parte desaparecerá al momento de expirar la
  opción
• una parte riesgosa
• B - S es correcta si S es sustituido por el
  componente riesgoso del precio, S - PV, y la
  volatilidad es la de dicho componente,
• ? S / (S - PV)

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Pseudo American Option Pricing

• Lógica de la estrategia
• una opción americana puede considerarse un
  portfolio de europeas que expiran antes de cada
  pago de dividendos
• el precio de la americana debe ser el de la
  europea de mayor valor
• Procedimiento,
• ajustar S por el valor presente de los dividendos
• similar a su propuesta para valuar europeas en el
  caso de existir dividendos
• tomar cada ex dividend date como fecha de
  expiración de una opción europea
• elegir como precio de la opción americana el
  precio de la europea de mayor valor

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Dividendos. Valuación Binomial (Europea)

• Asuma que se conoce con certeza el dividend yield
  (di) a ser pagado en t 1 e 1 - di
• el precio del call (put) cae (sube)

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Dividendos. Valuación Binomial (continuación)

• Asuma que se conoce con certeza que un dividendo
  de e será pagado en t 1
• S1 Su - e
• S1 Sd - e
• S2 u (Su - e)
• S2 d (Su - e) Sud - de
• S2 u (Sd - e) Sud - ue
• S2 d (Sd - e)
• Trabajar con el S S - PV (dividendos) a los
  fines de utilizar la fórmula binomial y sume el
  PV de los dividendos en los nodos anteriores al
  pago del mismo

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Valuación Binomial de Opciones Americanas

• Se lo puede utilizar sobre americanas que no
  paguen dividendos o que los paguen discretamente
  (dividend yield o )
• Siempre asumo que los dividendos son ciertos
• Estrategia básica
• asuma que no hay dividendos
• el efecto de los dividendos sobre el árbol del
  underlying es el mismo sea europea o americana
• utilizar la misma metodología que en el caso
  europeo, pero el precio en cada nodo será
• pt MAX E(pt1) / (1 r), K - St
• en el nodo en el cual expira la opción pt Pt
• ejercer si en un nodo, pt K - St

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Dividendos Pagados Continuamente (Europeas)

• Se asume que el dividend yield (q) es conocido
  con certeza
• S (T) S (0) e (r - q) T
• S (0) S (T) e - (r - q) T
• Por lo tanto, un call escrito sobre un stock que
  paga dividendos continuamente a la tasa q debe
  valer en t 0 lo mismo que uno escrito sobre
  S (0), pues su valor en T es el mismo
• Reemplazar en Black-Scholes (Merton, 1973)
• S por S e - q T
• r por (r - q)

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Dividendos Pagados Continuamente (Binomial)

• Opciones europeas
• u e ? ??t
• d 1/ u
• p (e (r - q) ?t - d) / (u - d)
• Opciones americanas
• utilizar la metodología descripta para el
  tratamiento binomial de opciones americanas con
  u, d, y p corregidas como en el caso europeo

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Opciones sobre Indices

• Se asume que el índice sigue el usual geometric
  brownian motion
• en general se asume que los dividendos se pagan
  contínuamente
• dada la estacionalidad en el pago de dividendos,
  se puede utilizar alguna alternativa discreta
  (ej. dividend yield conocido con certeza)
• Puede ser óptimo ejercer opciones americanas por
  ende, valen mas que las europeas

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Opciones sobre Monedas

• Interest rate parity
• r u rf
• quien posee moneda extranjera recibe un continuos
  dividend yield igual a rf
• Se asume que el tipo de cambio (S) sigue el usual
  geometric brownian motion
• definimos ? a la volatilidad del tipo de cambio
  y rf a la tasa de interés libre de riesgo en el
  país extranjero
• Puede ser óptimo ejercer opciones americanas por
  ende, valen mas que las europeas
• ej. call sobre la moneda de un país que tiene una
  alta tasa de interés.