TEMA 4

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• TEMA 4
• LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

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ESQUEMA GENERAL
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ESQUEMA GENERAL

• Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier
  es X(f).
• Veamos un procedimiento numérico de evaluación
  de ésta, que será discreto, y nos dará una
  estimación del espectro en puntos discretos.
• Consideraremos las fuentes de error introducido
  en el proceso.

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(No Transcript)
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ESQUEMA GENERAL

• La primera fuente de error es el error de
  solapamiento (aliasing) que se produce al
  muestrear la señal en el tiempo.
• La segunda fuente de error es la que se produce
  al truncar la señal en el tiempo (leakage), que
  da lugar a cierto rizado en la característica
  espectral.
• De lo anterior se desprende la conveniencia
  de estudiar la DFT en el contexto de las señales
  periódicas.

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS LAS
SERIES DE FOURIER DISCRETAS

• La señal  , al ser periódica, admite ser
  desarrollada en SERIES DE FOURIER

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS LAS
SERIES DE FOURIER DISCRETAS

• PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN
  SERIES

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS LAS
SERIES DE FOURIER DISCRETAS

• REPRESENTACIÓN EN DSF DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA

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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

• Hemos visto que los valores de X(k) en la
  representación del DSF de una secuencia periódica
  son idénticos a las muestras de la Transformada Z
  de un único periodo de x(n) en N puntos
  equiespaciados sobre el círculo unitario
• Consideremos ahora, de una forma mas general, la
  relación existente entre una secuencia aperiódica
  con Transformada Z  X(z) y la secuencia periódica
  para la cual sus coeficientes del DSF
  corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en
  ángulo alrededor del círculo unitario.

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

• Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos
  su transformada z en N puntos equiespaciados en
  ángulo, obtenemos la secuencia periódica
• donde
• a la cual le corresponde la secuencia periódica
• dada por
• sustituyendo los valores de   , obtenemos

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

• intercambiando el orden del sumatorio
• pero
• por lo que

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• Relación entre la duración M de una secuencia y
  el número de muestras N en el espectro.
• cuando NltM ocurre el efecto de aliasing. El
  subrayado indica una secuencia producida por DFT
  inversa

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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

• Si longitud x(n)ltN entonces x(n) puede
  recuperarse extrayendo un periodo de 
• Una secuencia finita de duración menor o igual
  que N puede representarse exactamente por N
  muestras de su transformada Z sobre el círculo
  unidad.
• Por lo anterior, X(z) también podrá sintetizarse
  a partir de estas N muestras.

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA
LA DFT

• Los resultados anteriores sugieren dos puntos de
  vista orientados a la representación de Fourier
  de secuencias de duración finita
• Representar una secuencia de duración finita N
  por una secuencia periódica de periodo N y
  considerar su representación como un periodo del
  DSF de la secuencia periódica.
• Representar una secuencia de duración finita N

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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA
LA DFT

• DFT
• IDFT

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PROPIEDADES DE LA DFT

• 1) Linealidad
•            x3(n)ax1(n)bx2(n) , X3(k)
  aX1(k)bX2(k)
• Si longx1(n)N1 y longx2(n)N2
  entonces
• longx3(n)maxN1,N2
• 2) Periodicidad
•        x(n) y X(k) son periódicas con período N.

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PROPIEDADES DE LA DFT

• 3) Simetría
•       Si x(n) lt---gtX(k) entonces x(n)
  lt---gtX(-k)
• X(N-k)
•   Para señales REALES
•         x(n)x(n) y X(k)X(N-k)
•         ReX(k) es una función par
•         ImX(k) es una función impar
•         X(k) es una función par
•        FaseX(k) es una función impar

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PROPIEDADES DE LA DFT

• 4) Desplazamiento Circular de una secuencia
• Sea x(n) lt---gt X(k), Cuál será el x1(n) lt---gt
  X(k)e-j2pkm/N ?
• Interpretación de la DFT como un período de la
  DSF.

Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento
circular de x(n) ya que ambos están confinados en
0ltnltN-1
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PROPIEDADES DE LA DFT
Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento
circular de x(n) ya que ambos están confinados en
0ltnltN-1
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PROPIEDADES DE LA DFT

• 5) Convolución Circular
• Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n)
  con
• DFTs X1(k) y X2(k).
• Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)X1(k)X2(k)?

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PROPIEDADES DE LA DFT

• 5) Convolución Circular
• Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución
  de las
• secuencias periódicas  ,
  correspondientes a x1(n) y
• x2(n) respectivamente.
• x3(n)x1(n)()x2(n) lt---gt X3(k)X1(k)X2(k)

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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

• Convolución de dos secuencias finitas de igual
• número de puntos

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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

• Convolución de dos secuencias finitas de distinto
• número de puntos

En general si DFTS
sobre la base de puntos
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra de
un número indefinido de puntos

• Método solapa y suma
• Método solapa y guarda

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Método Solapa y Suma

• Convolución Lineal
• Long

Cada Término de la sumatoria debe calcularse
utilizando DFT de LM1 puntos

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Método Solapa y Guarda

• Sean las secuencias causales y de duración finita
  x(n) e y(n) tales que
• x(n)0 n 8
• y(n)0 n 20
• Se multiplican las DFT de 20 puntos de cada
  una de ellas y se computa la IDFT que denotamos
  por z(n).
• Especificar que puntos en z(n) corresponden a
  los puntos que se habrían obtenido con la
  convolución lineal de x(n) e y(n)

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Relación entre parámetros temporales y
frecuenciales
T periodo de muestreo N nº de puntos tdNT
duración de la señal en el tiempo ?f resolucón
frecuencial Fh frecuencia máxima de la señal
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Relación entre parámetros temporales y
frecuenciales
Límite superior del periodo de muestreo
Según el teorema del muestreo fs2fh
T1/2fh Por otro lado 2fhN?f N2fh/ ?f
?f1/NT
Nº mínimo de muestras requerido para calcular la
DFT
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Ejemplo Dada una señal contínua con frecuencia
máxima de 2KHz y siendo preciso calcular su
espectro con la DFT con una resolución en
frecuencias de 10 Hz, determinar Ts y N.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Evaluación de la DFT de 64 puntos a partir de 32
muestras de la función exponencial e-t evaluada
en t0,1k para k0,1,,,,31
Pi/T31,416
?f1/NT1/(320,1) ?O1,9635
rad/seg ?f1/NT1/(640,1) ?O0.98175
rad/seg
Observar que los últimos 32 puntos son los
complejos conjugados de los 32 primeros, debido a
la propiedad de simetria de la DFT para una señal
real.
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Las 32 muestras definen 4 periodos
fk?f k/NT K4, 28
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El nº de muestras no es múltiplo del periodo.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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COMPUTACIÓN DE LA DFT

• DFT
• IDFT
• Caso general, x(n) COMPLEJO

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COMPUTACIÓN DE LA DFT

TOTAL DE OPERACIONES Para cada X(k) Para cada X(k) Todos los X(k) Todos los X(k)
  Productos Sumas Productos Sumas
Operaciones complejas N N-1 N2 N(N-1)
Operaciones reales 4N 4N-2 4N2 N(4N-2)
 
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Comparación del número de multiplicaciones
requeridas por cálculo directo de DFT y por
cálculo mediante el algoritmo FFT
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COMPUTACIÓN DE LA DFT

PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS  
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva

• Secuencias reales

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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva

• Para N8, Términos k Términos kN/2

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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

• Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente
  más pequeñas
• Aprovechan la simetria y periodicidad de los
• Caso general, N2v y v entero.

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ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

• Separando en n pares e impares
• LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al
• segundo obtenemos
• X(k) G(k)   H(k)

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ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

• Realizando un proceso análogo de partición con
  G(k) y H(k) obtenemos
• y así sucesivamente
• En el caso general de N2v se precisa de plog2N
  etepas de computación como las comentadas.