Especificacin de algoritmos en B

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Especificación de algoritmos en B

• MeFIS
• Ramón Brena
• 2006

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Secuenciación

• Notación de sustituciones en secuenciaS1 S2
• AxiomaS1 S2 R ? S1 (S2 R)(Si al
  aplicar la sustitución S1 se asegura que al
  aplicar S2 se establece R, entonces S1 S2 se
  establece R)

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Sustitución de WHILE

• Se define la sintaxis de B para ciclosWHILE P
  DO S END
• Primero definimos SS (S S) skip
• Luego definimos WHILE P DO S END como(P ? S)
  (P ? skip)

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VARIANT

• Para garantizar la terminación de ciclos, es útil
  indicar qué entero tiende a cero
• Dicha cantidad se incluye en una declaración
  VARIANT
• Por ejemplo, en un ciclo donde i va de 1 a n, el
  VARIANT puede ser n - i

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Ejemplo búsqueda de mínimo

• Sea c un subconjunto no vacío de N. Queremos una
  sustitución que establezca la postcondición
• r min(c)
• Consideramos las propiedades
• r ? c ? r min(c)
• min(c) ? c

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Ejemplo búsqueda de mínimo

• De la primera condición
• r ? c ? r gt min(c) ? r min(c), o sea
• r ? c ? (r min(c) ? r min(c)), que es
• r min(c) ? r ? c ? r min(c), finalmente
• r ? 0..min(c) ? r ? c ? r min(c)
• Esto último sugiere un ciclo

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Ejemplo búsqueda de mínimo

• La sustitución S está pendiente

• r 0
• WHILE r ? c DO
• S
• INVARIANT
• r ? 0..min(c)
• VARIANT
• min(c) - r
• END

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Ejemplo búsqueda de mínimo

• S puede ser resuelto como un incremento

• r lt- MinSet(c)
• PRE c ? N
• THEN
• r 0
• WHILE r ? c DO
• r r 1
• INVARIANT
• r ? 0..min(c)
• VARIANT
• min(c) - r
• END
• END

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Generalización del mínimo

• Introducimos un parámetro a en vez del 0

• r ? MinSetMin(c,a)
• PRE c ? N ? a ? 0..min(c)
• THEN
• r a
• WHILE r ? c DO
• r r 1
• INVARIANT
• r ? a..min(c)
• VARIANT
• min(c) - r
• END
• END

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Ejemplo 2 Comparación de secuencias

• Consideramos secuencias de naturales tales como
• s 4, 2, 6, 8, 0
• t 4, 2, 6, 0
• Obsérvese que las secuencias terminan en 0
• Formalmente la condición en s y t es
• s ? seq1(N) ? t ? seq1(N)
• front(s) ? seq(N1) ? front(t) ? seq(N1)
• last(s) 0 ? last(t) 0

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Aplicación de MinSetMin

• Tratamos de aprovechar la operación del ejemplo
  anterior, MinSetMin
• Definimos el conjunto cc de los índices comunes a
  ambas secuencias tales que el valor de s es
  distinto al de t o una de ellas es cero.
• cc m ? dom(s)?dom(t) sm?tm ? sm 0 ?
  tm 0

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Definimos MinIndexSeq

• MinIndexSeq entrega el minimo de cc, esto es, el
  menor indice en que ya sea las secuencias son
  distintas, o bien alguna de ellas termina en
  cero

• n ? MinIndexSeq(s,t)
• PRE
• s ? seq1(N) ? t ? seq1(N) ?
• front(s) ? seq(N1) ?
• front(t) ? seq(N1) ?
• last(s) 0 ? last(t) 0
• THEN
• n ? MinSetMin(cc,1)
• END

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Transformamos MinIndexSeq

• Utilizando las definiciones de cc y de MinSetMin,
  se puede expresar MinIndexSeq sin usar cc (en la
  operación) como

• n ? MinIndexSeq(s,t)
• PRE
• THEN
• n 1
• WHILE (sn?tn ? sn 0 ?
• tn 0) DO
• n n 1
• INVARIANT
• n ? 1..min(cc) ?
• n ? dom(s)?dom(t)
• VARIANT
• min(cc) - n
• END
• END

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Transformamos MinIndexSeq

• Calculando la negación en la condición

• n ? MinIndexSeq(s,t)
• PRE
• THEN
• n 1
• WHILE sntn ? sn ? 0 ?
• tn ? 0) DO
• n n 1
• INVARIANT
• n ? 1..min(cc) ?
• n ? dom(s)?dom(t)
• VARIANT
• min(cc) - n
• END
• END

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Definimos EqualSeq

• EqualSeq hace un llamado a MinIndexSeq y analiza
  si el mínimo lo es porque se acabó una de las
  secuencias o porque las secuencias fueron
  distintas en una posición

• b ? EqualSeq(s,t)
• PRE
• s ? seq1(N) ?
• t ? seq1(N) ?
• front(s) ? seq(N1) ?
• front(t) ? seq(N1) ?
• last(s) 0 ? last(t) 0
• THEN
• VAR n IN
• n ? MinIndexSeq(s,t)
• b bool( s(n) t(n))
• END
• END

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Ejercicio

• Definir, con base en el ejemplo anterior, una
  operación que obtiene la subsecuencia común desde
  el inicio que tienen s y t
• Lo mismo, para la subsecuencia más larga que
  tienen en común las dos secuencias dadas s y t,
  empezando en cualquier punto

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Definimos ComSubSeq

• ComSubSeq obtiene la subsecuencia común desde el
  inicio que tienen s y t

• u ? ComSubSeq(s,t)
• PRE
• s ? seq1(N) ?
• t ? seq1(N) ?
• front(s) ? seq(N1) ?
• front(t) ? seq(N1) ?
• last(s) 0 ? last(t) 0
• THEN
• VAR n IN
• n ? MinIndexSeq(s,t) - 1
• u (s ? n) . 0
• END
• END

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Inverso de función

• Calcularemos el inverso de una función monótona
  f(i) lt f(i1)
• Propiedad
• m,n ? N ? m lt n ? f(m) lt f(n)
• Función inyectiva

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Inverso de función

• Que hacer si no es sobreyectiva
• Para los valores faltantes, aproximar arriba o
  abajo
• Ejemplo f(x) x2, inverso de 32 lt 14 lt42
• Inverso por exceso
• e n?N pf(n)
• Inverso de p es min(e)
• Inverso por defecto
• d n?N pltf(n1)
• Inverso de p es min(d)

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Definimos InvExc

• InvExc entrega el inverso por exceso de f, usando
  e

• r ? InvExc(f,p)
• PRE
• f ? N ? N ?
• ?m . (m ? N ? f(m)lt f(m1)) ?
• p ? N
• THEN
• r ? MinSet(e)
• END

21
Redefinimos InvExc

• Reemplazamos el uso directo de e por su
  definición, asi como la definición de MinSet

• r ? InvExc(f,p)
• PRE
• f ? N ? N ?
• ?m . (m ? N ? f(m) lt f(m1)) ?
• p ? N
• THEN
• r 0
• WHILE r ? n n?N ? pf(n) DO
• r r 1
• INVARIANT
• r ? 0..min(n n?N ? pf(n))
• VARIANT
• min(n n?N ? pf(n)) - r
• END
• END

22
Redefinimos InvExc

• Reemplazamos la condición en el WHILE, usando
  PRE ? r ? InvExc(f,p) (r0 ? p f(0)) ?
  (rgt0 ? f(r-1) lt p f(r))

• r ? InvExc(f,p)
• PRE
• f ? N ? N ?
• ?m . (m ? N ? f(m)lt f(m1)) ?
• p ? N
• THEN
• r 0
• WHILE f(r) lt p DO
• r r 1
• INVARIANT
• r ? 0..min(n n?N ? pf(n))
• VARIANT
• min(n n?N ? pf(n)) - r
• END
• END

23
Definimos InvDef

• Similarmente

• r ? InvDef(f,p)
• PRE
• f ? N ? N ?
• ?m . (m ? N ? f(m) lt f(m1)) ?
• p ? N
• THEN
• r 0
• WHILE f(r1) p DO
• r r 1
• INVARIANT
• r ? 0..min(n n?N ? pltf(n1))
• VARIANT
• min(n n?N ? pltf(n1)) - r
• END
• END

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División de naturales

• El cálculo de función inversa se puede aplicar a
  la división de enteros
• Consideramos una función mult(b) que multiplica
  por b el argumento

• q ? Div(a,b)
• PRE
• a ? N ?
• b ? N1
• THEN
• q ? InvDef(mult(b),a)
• END

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División de naturales

• Utilizando la definición de InvDef

• q ? Div(a,b)
• PRE
• a ? N ?
• b ? N1
• THEN
• q 0
• WHILE b ? (q 1) a DO
• q q 1
• INVARIANT
• q ? 0..a/b
• VARIANT
• a/b - q
• END
• END