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Algoritmos de aproxima

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Title: Algoritmos de aproxima

1
Algoritmos de aproximação

Aula adaptada do seminário apresentado pelo
mestrando
Luiz Josué da Silva Filho

2
Roteiro

Motivação
Definições
Razão de aproximação
Esquema de aproximação
Problemas
Cobertura de vértices
Caixeiro viajante
Cobertura de conjuntos
Soma de subconjuntos

3
Motivação
4
Motivação

Muitos problemas de significância prática são
NP-completos
Três abordagens
Entradas pequenas
Isolamento de casos especiais solúveis em tempo
polinomial
Pode ser possível achar soluções próximas da
solução ótima

5
Problema de otimização

Em um problema de otimização onde cada solução
viável tem associada um custo positivo, deseja-se
achar uma solução próxima da ótima.
Dependendo da natureza do problema, a solução
ótima pode ser definida como um custo máximo ou
mínimo possível.

6
Definições
7
Razão de aproximação

Suponha que em um problema de otimização
cada solução potencial tem um custo
e deseja-se encontrar uma solução próxima da
ótima
determina a medida de aproximação do
algoritmo
Razão de aproximação
em função da entrada de tamanho
n.

8
Razão de aproximação

Para muitos problemas foram desenvolvidos
algoritmos polinomiais
Com razão pequena constante
Com razões que crescem em função do tamanho da
entrada
Há algoritmos que produzem razões muito pequenas
mas ao custo de um tempo de computação muito alto.

9
Esquema de aproximação

É um algoritmo de aproximação que
toma como entrada uma instancia do problema
e um valor e gt 0
tal que para um e fixo
o esquema é um algoritmo (1 e)-aproximação.
Um esquema de aproximação de tempo polinomial
(PTAS) é um esquema que
para qualquer egt0 fixo o esquema executa em tempo
polinomial em função do tamanho n da entrada.

10
Esquema de aproximação

O tempo de execução de um esquema de aproximação
em tempo polinomial pode crescer tão rápido
quanto e decresce.
Ex
O ideal é que o tempo seja polinomial tanto em
1/e quanto em n.
Em um esquema de aproximação de tempo
completamente polinomial (FPTAS) tanto o esquema
quanto seu tempo de execução são polinomiais em
1/e e n.
Ex

11
Problemas
12
O problema de cobertura de vértices

É um problema NP-completo
A cobertura de vértices de um grafo não
direcionado é um
subconjunto V de V tal que se é uma
aresta de G, então u está em V ou v está em V
(ou os dois).
O problema consiste em achar uma cobertura de
tamanho mínimo dado um grafo não-direcionado.
Tal cobertura é uma cobertura de vértices ótima

13
Exemplo
14
O algoritmo

INPUT G // grafo não direcionado
C ?
E ? EG
while E is not empty do
Let (u,v) be an arbitrary edge of E
C ? C U u, v
Remove from E every edge incident on either
u or v
return C

15
Execução
16
Aproximação do algoritmo

O algoritmo é 2-aproximação em tempo polinomial
Prova
Faça A denotar as arestas tomadas na linha 5.
C deve incluir pelo menos um terminal de cada
aresta em A.
Todas as arestas incidentes nos terminais da
aresta escolhida são removidas de E na linha 7.
Como não há duas arestas cobertas pelo mesmo
vértice de C, então temos um limite inferior

17
Aproximação do algoritmo

Cada execução da linha 5 toma uma aresta os quais
nenhum de seus terminais (vértices) já está em C,
o que nos leva a um limite superior

Que nos leva a

18
O problema do caixeiro viajante

Dado um grafo não direcionado
onde existe um custo associado a cada aresta.
Deve-se achar um ciclo hamiltoniano de G com um
custo mínimo. Assim
onde A é um subconjunto das arestas de G.

19
Desigualdade triangular

É comum em muitas aplicações verificar a
propriedade da desigualdade triangular
É provado que o problema do caixeiro viajante é
NP-completo mesmo verificando-se a propriedade da
desigualdade triangular para a função de custo.

20
O problema do caixeiro viajante com desigualdade
triangular

Computa-se uma MST o qual o peso é um limite
inferior em função do tamanho de uma solução
ótima do TSP.
O custo do ciclo será no máximo duas vezes o peso
da MST
Approx-TSP-Tour(G, c)
select root vertex r in VG
T MST-Prim(G, c, r) // computes a MST
L list of vertices in preorder traversal of T
return hamiltonian cycle with vertices ordered as
in L

21
O problema do caixeiro viajante com desigualdade
triangular
22
O problema do caixeiro viajante com desigualdade
triangular

Approx-TSP-Tour é um algoritmo 2-aproximação em
tempo polinomial.
Prova
Faça H ser o ciclo ótimo para o dado conjunto de
vértices.
Como a MST T é obtida pela deleção de arestas, o
peso de T é um limite inferior com relação ao
custo de H. Temos
Um caminho completo W de T
a,b,c,b,h,b,a,d,e,f,e,g,e,d,a

23
O problema do caixeiro viajante com desigualdade
triangular

W percorre as arestas de T duas vezes, logo
Das equações anteriores temos
W não é um ciclo hamiltoniano, mas pela
desigualdade triangular
H a,b,c,h,d,e,f,g
H é a pré-ordem de T e também é um ciclo
hamiltoniano. Como H é obtido deletando-se
vértices de W, temos
Assim

24
O problema de cobertura de conjuntos

Uma instância (X,F) do problema de cobertura de
conjuntos consiste em
um conjunto finito X
uma família F de subconjuntos
tal que todo elemento em X pertence a pelo menos
um subconjunto em F
É dito que um subconjunto cobre seus
elementos.

25
O problema de cobertura de conjuntos

O problema é achar um subconjunto de tamanho
mínimo, tal que seus membros cubram todos os
eltos de X.

26
Um algoritmo de aproximação guloso

GREEDY-SET-COVER(X,F)
U X
C ?
while U ? ? do
select S ? F that maximizes S n U
U U - S
C C U S
return C

27
Um algoritmo de aproximação guloso

GREEDY-SET-COVER é um algoritmo ?(n)-aproximação
onde
onde H(d) corresponde ao d-ésimo número
harmônico

28
Um algoritmo de aproximação guloso

Prova
Atribui-se um custo de 1 a cada conjunto
selecionado pelo algoritmo
Distribui-se este custo para os elementos
cobertos pela primeira vez
Utiliza-se estes custos para derivar o
relacionamento desejado entre
o tamanho de uma cobertura de conjuntos ótima C
e o tamanho do conjunto de cobertura C retornado
pelo algoritmo

29
Um algoritmo de aproximação guloso

Faça-se Si o i-ésimo subconjunto selecionado pelo
algoritmo
O custo de 1 é atribuído ao adicionar-se Si a C.
Distribui-se este custo aos elementos cobertos
pela primeira vez
Tome Cx o custo alocado ao elemento x para cada
O custo só é atribuído uma vez a x.
Se x é coberto a primeira vez por Si, então

30
Um algoritmo de aproximação guloso

A cada passo do algoritmo uma unidade de custo é
atribuída, então
O custo atribuído a cobertura ótima é
E como cada x está em pelo menos um conjunto

31
Um algoritmo de aproximação guloso

Então
Como para qualquer conjunto S pertencente a
família F temos
Assim (desigualdade (1))

32
Resta-os mostrar a desigualdade (1)
Livro do Cormen (seção
37.3) Vamos demonstrar no quadro.....
33
O problema da soma de subconjuntos

Uma instância do problema da soma de subconjuntos
é a seguinte
Dado um par (S,t), onde S é um conjunto
x1,x2,...,xn de inteiros positivos e t é um
inteiro positivo.
Este problema de decisão questiona se existe um
subconjunto de S que tendo seus valores
adicionados somam exatamente o valor de t.
Este problema é NP-Completo.

34
O problema da soma de subconjuntos

No problema de otimização associado
Deseja-se encontrar um subconjunto x1,x2,...,xn
cujo a soma de seus elementos aproxima-se o
máximo mas não supera t.

35
O algoritmo

EXACT-SUBSET-SUM(S, t)
n ? S
L0 ? 0
for i ? 1 to n do
Li ? MERGE-LISTS(Li-1, Li-1 xi)
remove from Li every element that is greater
than t
return the largest element in Ln
É um algoritmo exponencial, mas em alguns casos
especiais é polinomial

36
Outro algoritmo

Pode-se derivar um esquema de aproximação em
tempo polinomial completo.
Realiza-se um trimming de cada lista após sua
criação.

37
Trimming

Idéia
Se dois valores em uma lista são próximos o
suficiente,
para o propósito se encontrar uma solução
aproximada,
não há necessidade de manter-se os dois
explicitamente

38
Trimming

Utiliza-se um parâmetro d tal que 0 lt d lt 1.
Então remove-se da lista L tantos elementos
quanto for possível,
de forma que para cada y removido em L exista um
z na lista resultante que se aproxima de y, tal
que

39
Trimming