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Funciones Racionales.
Una función racional tiene la forma
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) Y
Q(x) no tienen factor en común. Aunque las
funciones racionales se construyen de polinomios,
sus graficas se ven bastante diferentes de las
graficas de funciones polinomiales.
El dominio de una función racional consiste en
los números reales x excepto aquellos para los
que el denominador es 0. Al graficar una función
racional, se debe poner atención especial al
comportamiento de la grafica cerca de esos
valores, debido a que poseen asintotas.
En términos informales, una asíntota de una
función es una línea a la que la grafica de la
función se aproxima cada vez mas cuando se va a
lo largo de esta línea.
Ejemplo Gráfico.
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La recta donde a es un cero
del denominador es una asíntota vertical de la
función yf(x) si y tiende a mas o menos infinito
cuando x tiene a a por la derecha o por la
izquierda. Una función racional tiene asíntotas
verticales donde la función no esta definida, es
decir donde el denominador es cero.
La recta es una asíntota
horizontal de la función y f(x) si y se aproxima
a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.
Asíntota vertical x3
Asíntota horizontal y0
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Transformaciones de
Se utiliza para graficar funciones racionales de
la forma
Se utiliza debido a la capacidad de desplazar,
alargar o reflejar.
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Ejemplo Grafique la función racional
Solución Se factoriza el numerador y el
denominador, se determinan las intersecciones y
asíntotas y se bosqueja la grafica.
Factorizar
Intersecciones con el eje x Las intersecciones x
son los ceros del numerador, para este caso x1/2
y x-4.
Intersecciones con el eje y Para hallar la
intersección y, se sustituye x 0 en la forma
original de la función. Para este caso daría que
la intersección y 2
Asíntotas Verticales Las asíntotas verticales
ocurren donde el denominador es cero, es decir,
donde la función no esta definida. De la forma
factorizada se puede observar que las asíntotas
verticales son las rectas x1 y x -2.
Comportamiento de las asíntotas verticales
Específicamente es para saber si es o -, por
tanto se usa el proceso del cementerio.
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Asíntota horizontal Los grados del numerador y
el denominador son los mismos y
Coeficiente principal del numerador
Coeficiente principal del denominador
2/1 2 así la asíntota horizontal es la recta y2
Por ultimo se grafica.
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Asíntota inclinada y comportamiento extremo.
Si es una función racional en
la que el grado del numerador es uno mas que el
grado del denominador, se puede usar el algoritmo
de la división para expresar la función en la
forma
Donde el grado de R es menor que el grado de Q y
a es diferente de 0. Esto significa que cuando x
tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo
tanto los valores grandes de lxl, la grafica de
y r(x) se aproxima a la grafica de la recta y
axb. En esta situación se dice que y axb es
una asíntota inclinada o una asíntota oblicua.
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Aplicaciones.
Las funciones racionales ocurren con frecuencia
en aplicaciones científicas de algebra, los
ejemplos mas comunes son las teorías de
electricidad. (resistencia eléctrica)