LES GRAPHES SANDWICH Travail ralis au LIRMM avec M'Habib et C'Paul

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LES GRAPHES SANDWICHTravail réalisé au LIRMM
avec M.Habib et C.Paul

• Emmanuelle LEBHAR
• En thèse au LIP- ENS Lyon
• Sous la direction de Michel Morvan
• Emmanuelle.Lebhar_at_ens-lyon.fr

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Quest-ce quun graphe sandwich?
Graphe inférieur
Graphe supérieur
sandwich
 Inf 
 Sup 
?
?
Arêtes obligatoires
Arêtes optionnelles
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Quest-ce quun problème sandwich?

• Trouver un sandwich vérifiant une propriété de
  graphes particulière.
• Des arêtes optionnelles pour atteindre la bonne
  propriété.
• Si Inf Sup reconnaissance classique.
• Si Sup graphe complet complétion classique.

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Exemples dapplications

• Séquençage de lADN.
• sandwich dintervalle Goldberg, Golumbic,
  Kaplan, Shamir (GKS) 93
• Synchronisation de processeurs parallèles.
• sandwich à seuil Henderson, Zalcstein 77, GKS
  94
• Système déquations linéaires.
• sandwich triangulé Yannakakis 81, GKS 94
• Ordonnancement.
• sandwich série-parallèle Valdes 78, GKS 94

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Exemple séquençage de lADN

• Chevauchements ambigus de fragments dADN clonés.

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Fragment dADN
?
2
5
3
2
3
T
T
C
C
G
A
G
A
4
5
?
4
1


Brin dADN initial
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Graphe dintervalle
a
d
b
e
c
f
Arête ab ? intersection des intervalles a et b.
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Sandwich dintervalle pour lADN
Chevauchement sûr
b
f
a
d
c
e
Chevauchement non détecté
Tableau des chevauchements des fragments
a,b,c,d,e,f.
Arêtes de Sup \ Inf
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Complexité des problèmes sandwich
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Cas simples

• Propriétés héréditaires au sous-graphe il suffit
  de tester sur Inf.
• Propriétés ancestrales tester sur Sup.
• Caractérisation par sous-graphe interdit tester
  Inf ou Sup

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Cas plus complexe

• La difficulté vient des multiples choix darêtes
  dans la construction du sandwich.

Ex sandwich sans P4
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Complexités de problèmes sandwich pour quelques
sous-classes de graphes parfaits
Pb sandwich NP-complet
Pb ouvert
Pb polynomial
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contributions

• 1- Énumération des modules sandwich
• 2- Étude des sandwich orientés

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Les modules sandwich

• Module ensemble de sommets M ayant le même
  voisinage à lextérieur de M.
• Les sommets dun modules sont équivalents par
  rapport à lextérieur.
• Les modules forts induisent une partition unique
  dun graphe.

M
module
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Énumération des modules sandwich

• Existence dun module sandwich
• Polynomial en O(?n²) Wang,Tang,Yeh 01.
• Énumération
• Exponentiel.
• La restriction aux modules forts reste
  exponentielle Habib, Paul, E.L. 02.
• Le problème du module sandwich de poids minimal
  ne peut se baser sur une énumération polynomiale.

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Les sandwich dans les graphes orientésTravail en
cours avec M.Habib, D.Kelly et C.Paul

• On sintéresse aux instances orientées, en
  particulier aux ordres.
• Un ordre un graphe sans circuit orienté
  transitivement.

• Le passage du sandwich non orienté à lordre
• sandwich nest pas direct dans la résolution.

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Exemple instance non orientée
Propriété sandwich de comparabilité (orientable
transitivement)
obligatoire
optionnel
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Exemple instance orientée
Propriété sandwich orienté transitivement
obligatoire
Pas de sandwich!
optionnel
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Résultats

• Trouver un sandwich dordre série-parallèle est
  polynomial.
• Conséquences de nouvelles applications possibles
  avec les sandwich dordre.
• Application lordonnancement série-parallèle
  avec contraintes.

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Conclusion, perspectives

• Problèmes doptimisation le problème du module
  sandwich de poids minimal se retrouve ouvert.
• Existence de sauts de complexité entre sandwich
  orienté et non orienté sont-ils dus au schéma
  délimination de lordre?
• Un autre point de vue sur les sandwich le
  sandwich comme système dynamique.