Statistiques, licence

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Statistiques, licence

• Cinquième séance

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Analyse de variance pour plans factoriels

• Le cas de deux facteurs

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Plan de la séance

1. Quand utiliser lanova factorielle ?
2. Les différents effets
3. Exemple Eysenck again
4. Comment utiliser lanova factorielle ?
5. Interprétation
6. Exemple par ordinateur

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1. Quand ?

• Situation, conditions dapplication, modèle
  sous-jacent

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Situation statistique

• On utilise lanalyse factorielle de variance
  quand on dispose de
• Deux facteurs catégoriels
• Une variable quantitative
• Et que lon cherche un lien entre les VI et la VD
• Il est nécessaire davoir plusieurs valeurs de la
  VD pour chaque couple de niveaux des VI

• Il est préférable davoir des groupes de même
  taille. Si ce nest pas le cas, les procédures
  diffèrent légèrement (en particulier pour les
  tests Post Hoc)
• Les observations doivent être indépendantes.

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Présentation des données
cellule
La cellule comporte 8 individus. Elle correspond
à un niveau de F1 (A) et de F2 (d).
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Conditions dapplication

• On vérifiera quil est raisonnable de supposer
  les variances égales, par exemple grâce au test
  de Levene.
• On vérifie que les observations sont bien
  indépendantes

• On supposera que la VD (X) est normale dans
  chaque cellule si on a des raisons de poser cette
  hypothèses. Sinon, on pourra utiliser un test de
  Kolmogorov-Smirnov.

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2. Les différents effets

• Que lon peut étudier

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Généralités

• Contrairement au cas de lanova simple, nous
  pouvons ici étudier de nombreux  effets 
• On appelle  effet  la variation de la VD
  (désormais X) attribuée à un facteur ou à une
   cause  particulière
• Lajout dune seconde variable indépendante
  complique énormément les données, mais les
  enrichit également

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Effets principaux

• On peut étudier leffet de lun des deux facteurs
  (disons F1) sur X, en prenant en compte
  lensemble de léchantillon.
• On est ainsi ramené presque à une analyse de
  variance simple.
• Cependant, si on peut attribuer une partie de la
  variation indifféremment à F1 et F2, on
  nobtiendra pas les mêmes résultats.
• On parle dans ce cas deffet principal de F1.

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Effets simples

• On peut également étudier leffet de F1 pour un
  niveau fixé de F2
• Ou de F2 pour un niveau fixé de F1.
• On parle alors deffet simple.
• Là encore, on pourrait se ramener à une analyse
  de variance simple, avec les mêmes limites que
  pour les effets principaux.

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Remarques

• Ces effets, accessibles quoique différemment
  directement par lanova simple, ont rarement
  dintérêt seuls.
• Les effets combinant les deux variables sont
  souvent beaucoup plus instructifs, et en général
  nous nétudions queux.

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Effet du croisement

• On appelle croisement des facteurs F1 et F2 la
  variable F1xF2 dont les modalités sont les
  couples (a,A) de niveaux de F1 et F2
  respectivement
• Autrement dit, chaque cellule correspond à un
  niveau du croisement.
• Exemple Si F1 est le bruit et F2 la pollution
  visuelle, F1xF2 peut être le  confort , défini
  comme la donnée des pollutions sonore et visuelle.

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Effet de linteraction

• Leffet le plus passionnant auquel donne accès
  lanova factorielle est leffet de linteraction.
• Il est difficile à définir. Nous y reviendrons
  plus loin.
• Mais il correspond à la trace sur X de ce quon
  appelle habituellement une  interaction  .

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Interaction exemple

• Supposons donnés deux médicaments A et B baissant
  la température de 1 et 2 degrés respectivement.
• Si on prend le médicament A, on passe de 37 à
  36, de 35 à 34 (très théorique, bien entendu)
• Si on prend le médicament B, on passe de 37 à
  35, de 36 à 34, etc.

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Interaction exemple

• Si les deux médicaments ne sont pas en
  interaction (et agissent donc indépendamment lun
  de lautre), AB baisse la température de 3.
• En revanche, si B annule A ou renforce son
  action, il y a interaction (positive ou
  négative), et AB ne fait pas baisser la
  température de 3

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Interaction exemple

• Graphiquement, cela peut se lire assez simplement.

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Interaction exemple
Effet de A sans B (effet simple) 1
Effet simple de B sans A 2.
Effet simple de B avec A 2.
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Interaction exemple

• Dire quil ny a pas interaction (ou que
  linteraction na pas deffet sur la
  température), cest dire que leffet de AB est
  la somme des effets (3)
• Cest dire que leffet de B ne dépend pas de la
  prise éventuelle de A
• Cest dire que les deux courbes représentant les
  liens simples de B sur X (température) sont
  parallèles.

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Interaction exemple
Interaction positive ayant un effet sur la baisse
de température
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Interaction exemple
Interaction négative ayant un effet sur la baisse
de température
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3. Létude dEysenck

• Compléments

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Présentation

• Létude dEysenck étudiait en réalité, en plus de
  la profondeur de traitement, lâge des sujets.
• Il y avait deux groupes de sujets  jeune  et
   âgé .
• Nous avons étudié avec lanova simple le cas des
  sujets jeunes il sagit en fait de létude dun
  effet simple

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Situation

• Nous avons en effet ici une VD numérique X
  (nombre de mots rappelés)
• Et deux facteurs catégoriels C (condition de
  rétention, ou groupe, ou profondeur de
  traitement) et A (âge)
• Létude du groupe jeune était donc létude de
  leffet de C sur X pour le niveau  jeune  de la
  VI A.

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Données
26
Données
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4. Utilisation de lanova

• (factorielle)

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Principe

• Le principe est le même que pour lanova simple
  on raisonne sur les SC et les CM, qui se
  calculent comme précédemment
• La décomposition est un peu différente.
• Les dl se décomposent toujours de la même manière
  que les SC

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Décomposition des dl
Nombre de groupes pour A
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Remarques

• La décomposition des SC est exactement la même
• Pour calculer les SC à la main, il faudrait
  refaire le raisonnement valable en anova simple,
  cest-à-dire considérer des groupes que lon
  compare.
• Bien entendu, on laissera lordinateur soccuper
  de tout ça.

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SC(total)

• Le SC total est la variation totale, on lobtient
  en comparant les 100 (N) valeurs de X.
• Les groupes sont de taille 1, et les sommes sont
  simplement les valeurs.

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SC(AxC)

• Il sagit de la variation due aux deux facteurs
  pris simultanément, donc entre les cellules.
• Les groupes sont de taille 10, et les sommes sont
  les totaux de cellules

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SC(erreur)

• Il sagit du terme derreur
• Il sobtient par différence, tout simplement

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SC(A)

• Cest la variation due à lâge on compare donc
  les deux groupes dâge
• Si bien que la taille des groupes est de 50, et
  les totaux sont donnés en dernière colonne

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SC(C)

• Cest la variation due à la condition on
  compare donc les cinq groupes de rétention
• Si bien que la taille des groupes est de 20, et
  les totaux sont donnés en dernière ligne

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SC(AC)

• Cest la variation due à linteraction entre
  lâge et la condition.
• Elle sobtient très facilement par différence

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Répartition des SC
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Présentation des résultats
On divise toujours par CM(erreur).
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5. Interprétation

• Des différents F

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Les F

• Chaque F est calculé en divisant un CM par le
  CM(erreur).
• Les degrés de liberté pour le numérateur et le
  dénominateur sont donnés dans le tableau résumé
• Les tables de F se lisent comme pour le cas
  simple.

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Interprétation

• Dans notre cas, les trois F sont significatifs à
  5
• Donc nous pouvons écrire

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!!!!

1. On peut affirmer au risque de 5, que lâge a un
   effet sur la rétention (i.e. le nombre moyen de
   mots rappelés diffère selon lâge)
2. On peut affirmer au risque de 5 que la
   profondeur de traitement (i.e. la condition) a un
   effet sur X
3. On peut affirmer au risque de 5 que
   linteraction de lâge et de la profondeur de
   traitement a un effet sur X, ce qui signifie que
   la condition na pas le même effet pour les
   sujets des groupes  jeune  et  âgé .

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!!!!

• Mais on ne peut pas dire
•  Au risque de 5, on a prouvé que A, C et
  linteraction ont un effet sur X. 

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Erreur de lensemble

• Intuitivement, si la probabilité derreur à
  chacune des trois propositions est de 5, il y a
  une probabilité supérieure à 5  de se tromper 
  sur la conjonction des trois (on appelle
  conjonction des deux hypothèses A et B
  lhypothèse  A et B )
• On pourra considérer, dans les cas courants, que
  le risque derreur de lensemble (risque de la
  conjonction) est la somme des risques

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Erreur de lensemble

• Ici, cela donnerait un risque de
• 15
• Ce qui est beaucoup trop. (Le risque est en fait
  un peu différent)
• Quand on veut une conclusion composée, il faut
  toujours choisir un risque petit (ici, 1 donne
  un risque totale denviron 3, ce qui reste
  acceptable)

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Remarques

• Il est important de choisir avant lexpérience
  (indépendamment des données elles-mêmes) les F à
  calculer.
• Si lon sintéresse, comme cest souvent le cas,
  à linteraction, on aurait pu ne calculer que le
  F correspondant, soit 5.93.
• Calculé avec 4 et 90 dl, il doit être comparé
  avec 3.48 pour un risque de 1.
• Linteraction de lâge et de la condition a un
  effet sur la rétention.

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Quest-ce à dire ?

• Linteraction de lâge et de la profondeur de
  traitement a un effet sur la rétention
• Comment comprendre ce résultat ?
• Graphiquement, cela signifie que les courbes des
  moyennes de X par condition (moyennes
  conditionnelles) ne sont par parallèles.

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Quest-ce à dire ?
49
Quest-ce à dire ?

• Autrement dit, cela signifie
• Que les effets de lâge et de la condition ne
  sadditionnent pas
• Que la condition na pas le même effet sur la VD
  selon que lon est jeune ou âgé (donc selon les
  modalités de lautre facteur)
• Ici, le graphique suggère que les personnes plus
  âgés appliquent spontanément un traitement
  approfondi même quand la consigne ne limpose
  pas, ce qui compense pour les premiers groupes la
  faiblesse due à lâge.

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Grandeur des effets

• Comme dans le cas simple, on pourra calculer des
  rapports de SC pour mesurer la taille de tel ou
  tel effet
• On parle souvent de taille deffet en pourcentage
  du total,
• Mais également  indépendamment de lerreur ,
  cest-à-dire en pourcentage de SC(AxC)

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Grandeur des effets

• Par exemple, dans notre cas, linteraction
  explique 7 de la variation totale, car

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Grandeur des effets

• Mais on peut dire également que linteraction
  explique 9.8 de la variation totale,
  indépendamment de lerreur (cest-à-dire sans
  compter la variation que le modèle nexplique
  pas)

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6. Obésité et dépression

• Coeuret-Pelissier,M. et al. (2002). Association
  between obesity and depressive symptoms in
  general population. Observatoire des habitudes
  alimentaires et du poids.

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Les données

• On relève les facteurs GENRE (féminin, masculin)
  et OBESITE (témoin, faible, fort), ainsi que la
  variable DEP (score de symptômes dépressifs).
• Il sagit dun plan croisé (factoriel) on a 6
  groupes distincts.
• Les observations sont indépendantes.
• On cherche à déterminer leffet des deux facteurs
  sur la VD, ainsi quune éventuelle interaction.
  Nous navons pas dhypothèse précise a priori,
  qui nous aurait indiqué ce quil faut calculer.
  On utilise lanova pour plans factoriels.

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le test de Levene se fonde sur une statistique F.
le test de Levene nest pas significatif (pgt.10),
on peut poser lhypothèse que les variances sont
égales, et donc utiliser lanova (on suppose les
variables normales
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précise le caractère plus ou moins convaincant de
nos conclusions. Restez méfiants.
les effets principaux ainsi que celui de
linteraction sont significatifs.
grandeurs des effets expérimentaux. Les valeurs
sont  partielles  car on enlève à chaque fois
les effets annexes. Linteraction a le plus
effet, malgré F.
il y a plusieurs manières de répartir les SC
entre les facteurs. Le type le plus courant est
le type III
interaction
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les obésités témoin et faible ne se distinguent
pas entre elles, mais ce distinguent du groupe
 fort .
les groupes sont formés en utilisant
léchantillon entier, et sont fondés sur les
effets principaux. Il nest pas clair que cela
soit la bonne méthode, puisque linteraction est
significative
le test de Tukey permet de former des groupes
homogènes a posteriori
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il serait intéressant de comparer a posteriori
les groupes fondés sur lobésité en séparant les
genres. On trouverait probablement que lobésité
na pas deffet significatif chez les hommes,
mais en a chez les femmes, ce que laisse
dailleurs penser linteraction.