Tests non param

1
Tests non paramétriques

• Contre paramétriques

2
Tests libres

• Certains tests statistiques ne sont valables que
  sous certaines conditions concernant la forme de
  la distribution des variables le test de Student
  suppose par exemple des lois normales. Lanova
  également.
• Dautres tests au contraire sont valables
  indépendamment de toute distribution. Cest le
  cas du test du khi², des signes, ou du
  coefficient de Spearman. On les nomme tests
   libres  ou  indépendants de toute
  distribution  (distribution-free tests).

3
Tests paramétriques

• Certains tests ont pour but de démontrer une
  inégalité sur des paramètres (moyenne en
  général) anova, comparaisons de moyenne, test du
  coefficient de corrélation, test de Levene
  (variances) Ce sont des tests paramétriques.
• Dautres testent des hypothèses plus générales
  égalité de lois, indépendance de variables
  nominales tests du khi², tests de
  Kolmogorov-Smirnov, du tau de Kendall Ce sont
  des tests non-paramétriques.

4
Choix de tests

• Habituellement, les tests paramétriques sont plus
  puissants on les choisira de préférence que
  les tests non paramétriques.
• De même les tests non libres sont généralement
  plus efficaces que les tests libres.
• Cependant, ils sont aussi plus contraignants, car
  il faut vérifier les conditions dapplication,
  plus nombreuses. On choisira généralement un test
  libre ou non paramétrique lorsque
• les conditions dutilisation des autres tests ne
  sont pas vérifiées
• il est impossible de vérifier ces conditions.

5
Plan

1. Les parieurs test des signes
2. Baisse dattention Alzheimer Wilcoxon
   (indépendant) ou Mann-Whitney
3. Les Japonais Kruskal-Wallis ou test des
   médianes
4. Cigarette et anxiété Wilcoxon (apparié)
5. Luttons contre la timidité Friedman
6. La porte! test binomial
7. Les étudiants trichent-ils? runs test (test des
   séquences)
8. Le QI des dépressifs Kolmogorov-Smirnov à un
   échantillon
9. Opinions racistes réactions extrêmes de Moses
10. Effet de la cocaïne sur les compétences réelles
    et imaginées tests de Kolmogorov-Smirnov pour
    deux échantillons et de Wald-Wolfowitz.
11. Episodes stressants et dépression test de
    Jonckheere-Terpstra
12. Ne pas jeter sur la voie publique Mc Nemar
13. Ne pas jeter sur la voie publique II
    Homogénéité marginale
14. Utilisabilité test Q de Cochran

6
1. Les parieurs

• Test des signes

7
Expérience

• Des joueurs parient à la machine à sous certaines
  sommes dargent. Pour chacun des parieurs, on
  relève la somme moyenne par pari sur 10 paris, et
  cela dans deux situations dune part dans la
  situation témoin (sans observateur), et dautre
  part lorsque 2 témoins les regardent (situation
  test).
• Les groupes sont appariés pour le genre et
  contrebalancés pour lordre des deux situations.
• La question est les individus parient-ils plus
  lorsquils sont observés?

8
Student

• Le plus évident serait dutiliser un test de
  comparaison de moyennes pour échantillons
  appariés, afin de déterminer si la différence
  DXtest-Xtémoin est nulle en moyenne ou non.
• Il sagit alors dun test de Student, utilisé sur
  la variable D. Notre échantillon est de taille
  20, ce qui est faible.
• Avant de commencer le test de Student, on
  représente les données observées pour vérifier au
  moins graphiquement la normalité.

9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11
Donc

• Il nest pas légitime ici dutiliser le test
  prévu, parce que léchantillon est petit et que
  la variable D nest probablement pas normale.
• On se rabat donc sur un test non paramétrique le
  test des signes. Quelques remarques simposent.

12
Remarques

1. Nous voulions tester la différence moyenne entre
   les paris avec et sans observateurs, mais nous
   allons tester une autre hypothèse. Avec Student,
   on vérifie que les paris témoin (par exemple)
   sont inférieurs en moyenne aux paris test. Avec
   le test des signes, on testera que les paris
   témoins sont en général inférieurs aux paris
   test.
2. Nous utilisons un test peu puissant. En fait, on
   perd énormément dinformation, puisquon ne
   conserve que le signe de D. Si D suivait une loi
   normale, ou si on avait un gros échantillon, un
   test de comparaison de moyennes serait de loin
   préférable.

13
Résultats

• On calcule par ordinateur les résultats pour le
  test des signes, qui permet dopposer lhypothèse
  nulle que la première valeur (test) est aussi
  souvent supérieure quinférieure à la seconde
  (témoin).
• Dans les résultats qui suivent, on a utilisé la
  différence témoin-test, si bien quune différence
  négative indique des paris plus élevés dans la
  situation test.

14
statistiques descriptives
résultats du test des signes
15
Conclusion

• Le test des signes fonctionne. On peut donc
  conclure H1 (effet de la présence dobservateurs)
  contre H0 (pas deffet). Cela au risque de 0.1.
• Il resterait à étudier, bien entendu, le lien
  entre les observateurs et les parieurs. Mais ça
  nest pas un problème purement statistique.
• Le test des signes permet de comparer deux
  variables (i.e. deux échantillons appariés).

16
Attention soutenue
Berardi, A. et al. Sustained Attention in Mild
Dementia of the Alzheimer Type. A paraître.

• Test U de Mann-Whitney
• Test de Wilcoxon pour échantillons indépendants

17
Principe

• On dispose dun groupe témoin (n10) et de
  patients de type Alzheimer (n10), appariés pour
  lâge et le genre.
• On relève par une variable X numérique la baisse
  de lattention au cours dune séance dexercices
  cognitifs (reconnaissance dune lettre
  apparaissant à lécran).
• On veut montrer entre autres que la baisse de
  lattention est plus rapide chez les patients
  (donc X est plus élevé).
• Les distributions de X ne semblent pas normales,
  et les variances diffèrent énormément. Il nous
  faut une alternative au test de comparaison de
  moyennes.

18
Principe

• On utilisera donc le test U de Mann-Whitney ou
  Test de Wilcoxon pour deux échantillons
  indépendants.
• Ce test permet de confronter les hypothèses H0
  (les deux variables sont du même ordre de
  grandeur) et H1 (lune des deux variables a
  tendance à dépasser lautre).
• On observe sur léchantillon la somme des rangs
  la somme la plus élevée correspond aux valeurs
  les plus grandes. Ici, le groupe Alzheimer est
  numéroté 2, le groupe témoin est codé 1.

19
Le test
le test U de Mann-Whitney utilise les rangs.
le test U de Mann-Whitney est identique au test
des sommes des rangs de Wilcoxon.
20
Conclusion

• On peut donc conclure au risque de 2 que les
  patients Alzheimer présentent globalement une
  baisse plus marquée de lattention soutenue (de
  manière rigoureuse X est stochastiquement
  supérieure pour les patients Alzheimer.

21
Estime corporelle
Kowner, R. (2002). Japanese body image Structure
and esteem scores in a cross-cultural
perspective. International Journal of Psychology,
37.

• Test H de Kruskal-Wallis
• Test des médianes

22
Létude

• On relève dans différents pays un score destime
  corporelle par une variable quantitative X.
• On souhaite savoir si le pays P a un effet sur la
  variable X. Il est donc tout naturel de
  sorienter vers une analyse de variance simple.
  On vérifie dans un premier temps les conditions
  dapplication.

23
Conditions dapplication
Conditions dapplication non vérifiées
24
Létude

• Une solution est de transformer les données. Ici,
  cest difficile parce que les distributions sont
  franchement asymétriques, et dasymétries
  opposées.
• Nous abandonnons lidée dune anova, et utilisons
  à la place un équivalent de lanova simple qui
  utilise non les valeurs mais les rangs Lanalyse
  de variance à un critère de classification de
  Kruskal-Wallis (ou H de Kruskal-Wallis).
• Nous pouvons aussi penser au test des médianes.

25
Le test des médianes

• Le test des médianes calcule la médiane commune
  des groupes, disons m, puis transforme la
  variable dépendante en une variable dichotomique
  (supérieure ou inférieure à m). Il ne reste plus
  quà effectuer un test du khi² sur ces nouvelles
  données.
• Ce test a linconvénient dêtre très peu
  puissant. On le réservera plutôt aux cas où lon
  ne peut pas utiliser le test de Kruskal-Wallis
  (trop dex æquo), à moins quon ne cherche
  précisément une différence sur les médianes, ce
  que détecte ce test.

26
le tableau de contingence est propice au test du
khi² dindépendance
les données sont censurées (dichotomisées)
le khi² est significatif au risque de 2.5, mais
pas au risque de 2
27
Kruskal-Wallis
Le test de Kruskal-Wallis utilise les rangs
La variable de décision suit une loi du khi² sous
lhypothèse nulle
28
Résultats

• On peut donc conclure mais seulement au risque
  de 2,5 que les différents pays ne donnent pas
  les mêmes valeurs de X globalement. Il semblerait
  que les Japonais aient une estime corporelle
  inférieure à celle des Canadiens et des
  Israéliens en général.
• Il faudrait faire des tests supplémentaires pour
  décider si la différence particulière
  Japon-Canada par exemple est significative ou
  non. Par exemple, une fera une série de tests de
  Wilcoxon en faisant attention au risque.

29
Tabac et anxiété
Juliano, L.M. Brandon, T.H. (2002). Effect of
nicotine dose, instructional set, and outcome
expectancies on the subjective effect of smoking
in the presence of a stressor. Journal of
Abnormal Psychology, 111.

• Test de Wilcoxon pour échantillons appariés

30
Lidée

• On compare lanxiété chez des fumeurs ayant à
  leur disposition des cigarettes (groupe test) et
  des placebo (cigarettes sans nicotine groupe
  témoin). Ils ne sont pas informés de labsence
  éventuelle de nicotine.
• On utilise un plan répété pour des raisons
  defficacité et parce que les différences
  inter-individuelles danxiété sont importantes
  par rapport à leffet attendu de la nicotine.
  Léchantillon est contrebalancé pour lordre.
• Pour étudier leffet de la nicotine, le plus
  logique est dutiliser un test de Student pour
  échantillons pairés. Cependant, la variable
  différence DXnicotine-Xplacebo est bimodale.

31
Le test

• On utilisera alors un test de Wilcoxon pour
  échantillons appariés, pour opposer lhypothèse
  nulle que la nicotine na pas deffet (i.e. le
  score X danxiété est globalement le même dans le
  deux cas) contre lhypothèse inverse.

32
Les données vont dans le sens voulu. La nicotine
semble plus efficace.
Le test de Wilcoxon se base sur les rangs de la
différence
33
Thérapie comportementale

• Test de Friedman
• W de Kendall

34
Idée

• Pour lutter contre la timidité, plusieurs
  thérapies ont été testées, mais la plus
  prometteuse est la thérapie comportementale. On
  mesure, sur quelques patients qui suivent la
  thérapie, une grandeur X de la gravité des
  symptômes liées à la timidité. X est relevée 5
  fois au cours de la thérapie (intervalles 8
  jours).
• On souhaite montrer un effet de la thérapie en
  réalité, il faudrait comparer avec un groupe
  témoin mais nous supposerons que sans thérapie il
  ny a pas damélioration. Pour cela, on pourrait
  envisager une anova pour plans répétés, mais les
  conditions dapplication ne sont pas vérifiées.

35
Idée

• On utilisera alors un équivalent de lanova pour
  plans répétés, et qui utilise les rangs de la
  variable pour chaque sujet le test de Friedman.
• Malheureusement, cette méthode ne permet pas
  ici cest sans importance de montrer un
  éventuel effet du facteur sujet.

36
Lordre est conforme à ce quon attend dune
thérapie efficace
37
La variable de décision suit une loi du khi² sous
H0.
38
Complément

• Le coefficient qui sert au test de Friedman a été
  normalisé cest alors le W de Kendall. Lintérêt
  du W de Kendall est quil se lit comme un
  coefficient de corrélation (il est toujours
  compris entre 0 et 1).
• On peut donc linterpréter indépendamment de la
  taille de léchantillon.

39
Le W de Kendall (ou coefficient de concordance de
Kendall). Il montre ici un accord moyen. Il est
plus utile lorsque les différentes valeurs sont
données par des juges.
le khi² est celui de Friedman
40
Conclusion

• Il y a donc un effet du temps sur la gravité des
  symptômes. Les rangs vont dans le sens voulu. On
  conclut à un effet positif de la thérapie.
• Attention il faudrait normalement absolument
  comparer ces résultats à ceux dun groupe témoin,
  ne serait-ce quà cause du phénomène de
  régression vers la moyenne.

41
La porte

• Test binomial

42
Principe

• Pour des raisons de sécurité, il peut être
  important de savoir si les gens auront tendance à
  pousser ou à tirer la porte.
• On relève sur un échantillon qui pousse et qui
  tire la porte. On veut tester lhypothèse que la
  distribution pousser/tirer nest pas uniforme
  (50-50).
• On pourrait pour cela utiliser un test du khi² de
  conformité, mais la variable de décision ne suit
  pas une vraie loi du khi² il sagit dune
  approximation. On préfèrera alors un test exact.

43
Test binomial

• On utilisera ici le test binomial.
• Ce test nest valable que dans le cas dune
  unique variable dichotomique dont on veut tester
  la distribution.

44
les données vont dans le sens voulu (hypothèse
alternative)
soit 0.3 en bilatéral, donc 0.15 unilatéral
proportion théorique
45
Les étudiants trichent-ils?

• test des suites en séquences
•  runs test procedure 

46
Données

• On dispose dun paquet de copies, qui est encore
  classé dans lordre où les étudiants étaient
  assis.
• On aimerait savoir, comme dans le cas courant
  dun échantillon pseudo-aléatoire, si les
  étudiants ont répondu indépendamment lun de
  lautre ou si lon trouve au contraire trop de
  suites de réponses identiques qui se suivent.
• Pour le savoir, on raisonne sur les
   séquences . Prenons par exemple la réponse à
  lune des questions, qui était le calcul dun
  écart type. Une bonne partie des étudiants sest
  trompée, soit en calculant lécart type corrigé,
  soit en oubliant de prendre la racine carrée

47
Données

• Nous disposons de nombreuses valeurs différentes
  de la réponse.
• Par rapport à la médiane (ici 4), certaines
  valeurs sont trop faibles (strictement), ce quon
  notera  -  et dautres trop grandes (ou égales
  à la médiane), ce quon notera   . On compte
  alors le nombre de séquences, qui devrait être ni
  trop petit (les voisins copient) ni trop élevé
  (les voisins font le contraire lun de lautre).
• Le test des séquences (runs test) permet de
  vérifier que le nombre de séquences est
  raisonnable.

48
séquence 2
séquence 7
séquence 1
49
Séquences

• Nous avons ici 7 séquences. Est-ce trop? trop
  peu? Le test des séquences y répond.
• Ce que nous testons ici par rapport à la médiane
  peut aussi être testé par rapport à nimporte
  quelle valeur (notamment la bonne réponse 8). Il
  ne faut pas, bien entendu, tester un trop grand
  nombre de valeurs distinctes, car cela fausserait
  la signification.
• Nous testons ici avec le runs test la médiane et
  la bonne réponse.

50
la médiane et 4
16 valeurs sont inférieures à la médiane
et 27 supérieures
On a 6 séquences sur une suite de 43 valeurs.
Les étudiants ont triché
On attendait plus de séquences (zlt0)
51
Les résultats sont identiques quand on compare à
la bonne valeur 8 , même si la signification
est moindre.
52
Dépression et QI

• Test de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon

53
Problématique

• On dispose des QI dun échantillon de 25 patients
  dépressifs. On souhaite savoir si les dépressifs
  présentent un QI conforme à la population
  générale, et en particulier si ce QI suit une loi
  normale. Ce type de questions est important
  lorsquon envisage de procéder à un test fondé
  sur des lois normales.
• Pour cela, on peut utiliser le test du khi², mais
  il obligerait à perdre une grande partie de
  linformation (car il faudrait regrouper les
  valeurs en catégories). On préfère alors un test
  de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon.

54
Problématique

• Ce test compare une distribution observée à une
  distribution théorique, et sapplique bien aux
  variables numériques.
• Il se fonde sur la statistique du plus grand
  écart entre les fonctions de répartition
  théorique et observée

55
Les paramètres ne sont pas ceux de la population
générale. Le test de KS justifie lutilisation du
test de Student.
Il semble que la distribution du QI suive une loi
proche de la normale
56
Opinions racistes

• Test des réactions extrêmes de Moses

57
Expérience

• On relève par une note X la position des sujets
  face au racisme. On souhaite comparer deux
  groupes. Le groupe témoin remplit directement le
  questionnaire. Le groupe test entend dabord un
  discours  anti -raciste particulièrement
  violent.
• On pense que la variable groupe G a un effet,
  mais non pas sur la moyenne (plutôt sur la
  variance) lidée est que le discours du groupe
  test va radicaliser les positions, qui
  sécarteront de la moyenne.
• Cest une situation idéale pour lutilisation du
  test des réactions extrêmes de Moses.

58
Expérience

• Ce test compare deux groupes selon une variable
  numérique. Il se fonde plus ou moins sur
  lamplitude des valeurs, et utilise les rangs.
• Lidée est que les rangs du groupe test auront
  tendance sous H1 à se retrouver dans les extrêmes.

59
il y a bien une différence entre les groupes. Le
discours a un effet.
leffet est encore significatif si on filtre la
variable (en enlevant les valeurs extrêmes).
on élimine les valeurs extrêmes pour éviter de
prendre en compte les erreurs.
60
La cocaïne

• Kolmogorov-Smirnov (2 échantillons indépendants)
• Test de Wald-Wolfowitz

61
Présentation

• On relève sur deux groupes indépendants (variable
  G) de consommateurs de cocaïne lun étant sous
  linfluence de la cocaïne et lautre non les
  résultats à un test de compétences logiques
  (variable REEL). On explique le barème aux sujets
  qui doivent estimer leurs compétences (variable
  PERCU).
• Notre hypothèse est que REEL ne changera pas dun
  groupe à lautre, mais que PERCU variera.
• Les échantillons sont petits et les variables
  nont pas lair gaussiennes.

62
Présentation

• On peut utiliser un test de Mann-Whitney, mais il
  existe deux tests équivalents plus généraux, et
  plus puissants dans les cas courants
• Le test de Kolmogorov-Smirnov pour deux
  échantillons indépendants et le test de
  Wald-Wolfowitz.
• Nous utilisons ici exceptionnellement les
  deux tests (chacun deux fois).
• Notons que le test WW nutilise que les rangs
  on perd de linformation, et donc de la puissance.

63
on utilise des différences de répartition.
Détecte bien les formes différentes.
la variable de décision est normale sous H0
conforme à lhypothèse de départ
64
dans le cas où nous nous trouvons, le test de
Wald-Wolfowitz nest pas adapté. Il ne repère pas
la différence entre les groupes
le test de Wald-Wolfowitz utilise les séquences.
65
Remarques

• Le test KS pour 2 échantillons est assez
  puissant. Il repère des différences de fonctions
  de répartition.
• Le test WW se fonde sur les séquences dans les
  données rangées si on range les données dans
  lordre, certaines sont dans le groupe 1 dautre
  dans le groupe 2. On peut ainsi déterminer une
  suite de la forme 1112212112 Le test WW sera
  sensible au fait que les séquences dans cette
  suite sont peu ou très nombreuses. Ainsi, on
  détectera facilement une différence si lun des
  groupes donne une distribution bimodale et
  lautre unimodale. En revanche une différence de
  moyennes sera éventuellement difficilement
  détectée.
• Entre les deux tests, on décidera donc
  essentiellement en fonction de ce quon pense de
  H1 (ce quon veut montrer).

66
Episodes stressant

• Test de Jonckheere-Terpstra

67
Principe

• On classe des patients en fonction de la durée
  cumulée des épisodes stressants récents
  (difficultés familiales, professionnelles,
  deuils) en 3 catégories (court/moyen/long) ainsi
  que la gravité de létat dépressif, notée par une
  valeur X.
• Les conditions dapplication de lanova ne sont
  pas vérifiées. On pourrait penser à un test de
  Kruskal-Wallis, plus puissant que celui des
  médianes, mais on est ici dans un cas
  particulier.
• On sattend en effet à ce que le lien entre les
  groupes (naturellement ordonnés) et X soit
  monotone. Dans ce cas, mieux vaut utiliser un
  autre test celui de Jonckheere-Terpstra.

68
Principe

• Ce test est en effet particulièrement puissant
  dans le cas dun lien monotone entre la VI et la
  VD. Cest celui que nous utiliserons ici.

69
la test est concluant au risque de 1.1.
70
Ne pas jeter sur la voie publique

• Test de McNemar

71
Les données

• On distribue des papiers à des passants. Un
  observateur caché relève si le papier est jeté
  dans un poubelle ou non.
• On donne un second papier aux mêmes passants un
  peu plus loin, en leur précisant de ne pas les
  jeter sur la voie publique. On relève à nouveau
  la même valeur.
• Le but est de comparer le comportement avant et
  après, disons COMPAVT et COMPAPR. On ne peut pas
  utiliser de test de Student, à moins davoir des
  échantillons énormes. Dautre part, le test des
  signes ou de Wilcoxon (cas pairé) nest pas
  adapté.

72
Le test

• En effet, les variables sont dichotomiques
  (beaucoup dex æquo).
• On raisonne alors de la manière suivante si la
  consigne na pas deffet, on devrait observer,
  parmi les passants qui changent de comportement,
  autant de changements dans un sens que dans
  lautre, ce quon teste avec un khi² corrigé.
• Cest le test de McNemar.
• Si le test est concluant, on peut dire que la
  consigne est efficace. Mais attention si la
  consigne pousse 10 des personnes à changer
  davis, indépendamment de leur comportement
  premier, on trouvera peut-être un khi²
  significatif.

73
la probabilité de changer de comportement si lon
nutilisait pas la poubelle est de 60
la probabilité de changer de comportement si lon
utilisait la poubelle est de 60
pourtant le conseil a un effet sur les résultats
de léchantillon (contre productif). Est-il
significatif?
74
au risque de 2.3, on peut dire que la consigne a
un effet négatif sur les résultats (mais non sur
les passants).
75
Remarques

• Il ne faut surtout pas contrôler la variable
  COMPAVT (pour avoir par exemple des échantillons
  de même taille), car alors le résultat naurait
  plus le même sens.
• On contrôlera la variable si lon souhaite savoir
  si le conseil a un effet sur les passants (ici
  non), mais pas pour savoir sil est efficace.

76
Ne pas jeter non plus

• Homogénéité marginale

77
Idée

• On reprend lexpérience précédente, mais les
  variables COMPAVT et COMPAPR ont désormais trois
  modalités (poubelle, emporté, autre) selon que
  les passants jettent dans une poubelle, emporte,
  ou laisse par terre le papier.
• On se pose la même question la consigne a-t-elle
  un effet. Le test de McNemar nest plus
  utilisable car les variables sont nominales mais
  plus dichotomiques. On utilise alors léquivalent
  nominal du test de McNemar le test dhomogénéité
  marginale.

78
les marges permettent de voir lévolution des
comportements. On voit ici que  poubelle 
varie, mais  autre  aussi.
79
le test étudie seulement les changements
il y a un changement significatif sur
léchantillon.
80
Conclusion

• Le changement est significatif, mais il semble
  quil ne soit pas positif. On observe sur
  léchantillon une augmentation du nombre
   emporté , ce qui pourrait correspondre tout
  simplement à un comportement social pour éviter
  le conflit, le passant jettera le papier beaucoup
  plus loin.
• Le nombre de papiers finissant à la poubelle près
  de lendroit où il est distribué est diminué.

81
Utilisabilité

• Test Q de Cochran

82
Principe

• On construit un site Internet de vente par
  correspondance. Pour savoir si le site est bien
  fait, on demande à 5 personnes de venir tester le
  site. Chaque personne doit réaliser 6 tâches, qui
  ont été sélectionnées de manière à être si le
  site est utilisable de même difficulté.
• Chaque tâche est une variable. Chaque sujet un
  individu. On cherche si les tâches sont de
  difficultés identiques.
• Si la réponse était numérique, on utiliserait une
  anova pour plans répétés. En cas de violation des
  conditions dapplications, on utiliserait un test
  de Friedman.

83
Principe

• Mais ici se pose le problème suivant lordre est
  mal défini, parce que la variable est
  dichotomique. On utilise donc un équivalent de
  lanova pour plans à mesures répétées
  généralisation du test de McNemar Le Q de
  Cochran (sic).

84
échec
tâche numéro 1
réussite
les tâches sont les variables
tâche numéro 6
85
les tâches ne sont pas identiques (risque 2.4)
un sujet est un individu
Q est la variable de décision
le degré de liberté dépend du nombre de variables
(i.e. modalités du facteur)
86
Conclusion

• Il faut développer la support list.
• Le développement dun site commercial est très
  coûteux. Il est important quil soit conforme au
  cahier des charges.
• Lentreprise na pas réussi, pour linstant, à
  rendre les 6 tâches également simples. Elle devra
  améliorer lutilisabilité de son site.