Autour de la fonction exponentielle

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Autour de la fonction exponentielle

• I. Les points du programme concernés
• II. Une introduction possible de la fonction
  exponentielle
• III. Une progression possible en analyse
• IV. Croissance comparée

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I. Les points du programme

• - l'extension du champ des suites et des
  fonctions...
• - l'initiation au calcul intégral et à la
  problématique des équations différentielles...

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• Létude des suites et fonctions sera motivée par
  la résolution de problèmes.
• Souci dune formation cohérente pour les
  élèves
• - un point dentrée commun à plusieurs
  disciplines
• - un développement spécifique à chacune
• On privilégiera les problèmes mettant en jeu des
  liens entre une fonction et sa dérivée première
  ou seconde.

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II. Introduction de la fonction exponentielle

• - Activités dintroduction
• - Etude de léquation y y
• La fonction exponentielle, premières
  propriétés
• - Extension à léquation y ky .
• - Relation fonctionnelle caractéristique de la
  fonction définie par x ? e kx

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Le problème physique la radioactivité

• Lobservation du physicien
• Lexpérience suggère que, si lon considère une
  population
• macroscopique de noyaux radioactifs (dont le
  nombre est de lordre
• du nombre dAvogadro), le nombre moyen de noyaux
  qui se
• désintègrent pendant un intervalle de temps Dt
  à partir de
• linstant t, rapporté au nombre total de noyaux
  N(t) présents à
• linstant t et au temps dobservation Dt, est une
  constante l. On peut
• donc écrire

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Passage de Dt à dt
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Le travail du mathématicien

• Recherche dune fonction f vérifiant f kf
• (résolution dune équation différentielle notée
  aussi y ky)
• on traite en fait le cas k 1 et f(0) 1
• Utilisation de la méthode dEuler
• si x1 x0h, approximation de f(x0h) par
• y1 f(x0) h f (x0)
• puis approximation de f(x1h) par
• y2 y1 h f (x1) .

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(No Transcript)
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Définition de f(t) pour t réel arbitraire

• En posant h t/n, la méthode dEuler donne
• f(t)  f(0) x (1 h)n (1 t/n)n
• Le calcul de f(t) semble donc dépendre de n
• (nombre de pas pour aller de 0 à n)
• On a donc lidée dun passage à la limite, mais
  la justification de lexistence de f reste
  difficile à ce stade et doit donc être admise.

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Autre exemple dactivitéintroduisant la fonction
exponentielle
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Étude dun gaz à effet de serre

• A partir dune série de données
• (ici quantités cumulées de CO2),
• on effectue une modélisation
• 1) au moyen dune suite numérique
• 2) au moyen dune fonction dérivable sur R

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A. Données

• Quantités cumulées de CO2 (en milliards de
  tonnes) provenant de la consommation de pétrole
  et de lactivité industrielle mondiales

années 1940 1945 1950 1955 1960 1965
CO2 184,4 212,8 243,3 277,4 320,6 372,6
années 1970 1975 1980 1985 1990 1995
CO2 438,9 521,5 615,2 710,0 817,8 931,8
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A. Données
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B. Modélisation au moyen dune suite numérique

• On note y0 la quantité de CO2 émise jusquen 1940
  , ., yn celle émise jusquà lannée 1940 5n.
• On calcule à 10 2 près les variations
  relatives entre deux mesures consécutives ainsi
  que la moyenne m des valeurs obtenues.
• Par la suite, on prend m 0,15.

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B. Modélisation au moyen dune suite numérique
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B. Modélisation au moyen dune suite numérique

• On considère alors la suite (qn) définie par
• q0 y0 et
• Cest une suite géométrique de raison (1 m).
• On représente les suites (qn) et (yn) dans un
  même repère.

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II. Modélisation au moyen dune suite numérique
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B. Modélisation au moyen dune suite numérique

• Laccroissement entre deux mesures consécutives
  (aux instants n et n 1) est proportionnel à la
  mesure à linstant n. En effet, de la relation

on déduit
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C. Passage au continu

• On recherche une fonction dérivable sur R, dont
  la courbe ajuste le nuage de points
  (0 y0)..(11 y11)

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C. Passage au continu

• Lorigine des temps étant 1940, on note f(t) la
  quantité cumulée de CO2 émise à la date t (en
  années).
• A partir de la relation
• on émet lhypothèse que laccroissement de la
  concentration entre les instants t0 et t0 h (
  pour h très petit), est proportionnel à la mesure
  à linstant t0.

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C. Passage au continu

• Le coefficient de proportionnalité étant la
  valeur de m obtenue au II, on a donc 

Lorsquon fait tendre h vers 0 , on obtient la
relation
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D. Méthode dEuler

•  On cherche une solution approchée de (E) 
• f m f et f(0) 184,39 sur lintervalle
  0  11.
• Pour des valeurs de h  suffisamment petites ,
• f (t0) est proche de
• On a donc 

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D. Méthode dEuler

• Soit N un entier naturel non nul donné et h
• On pose t0 0 et tk t0 kh (k 0  1 
   N)
• On définit alors la suite de points Mk (tk, zk)
  où
• zk zk 1(1 mh) et z0 184,39.
• On trace ensuite les segments MkMk 1.

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D. Méthode dEuler
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Commentaires

• On démontre quil existe une unique fonction f
  dérivable sur R vérifiant f m f et
  f(0) 184,39.
• Cest la fonction définie par  f(x) 184,39
  exp(mx).
• Pour m suffisamment petit, 1 m ? em
• Comme la suite (qn) est de raison 1 m, on a
  qn ? (em)n q0

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III. Progression en analyse

• Limites de suites et de fonctions.
• Suites adjacentes. Convergence des suites
  croissantes et majorées.
• Continuité et tableaux de variation.
• Etude de la fonction exponentielle (existence en
  utilisant des suites adjacentes).
• Primitives.
• Introduction et étude la fonction logarithme
  népérien.
• Fonctions exponentielles et puissances entières.
  Fonction racine n-ième. Croissance comparée.
• Intégration.

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Etude de léquation y y

• Lexistence dune fonction ? vérifiant
• ? ? et ? (0) 1 est admise.
• Propriété 1 ? est strictement positive.
• (on considère la fonction F définie par
• F(x) ? (x) ? (-x)
• F est nulle, donc F est constante et vaut
  (?(0))2 1
• de plus ? (-x) 1 / ? (x) )

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• Propriété 2 Soient deux réels a et ? . Il
  existe une unique solution de léquation f ?
  f vérifiant f(0) a.
• (si f(x) a ? (? x), f est une solution et si
  g est une autre solution, on pose F(x) g(x) ?
  (-? x) et on montre que F 0.
• Comme F(0) a, pour tout x, F(x) a
• doù g(x) a / ? (-? x) a ? (? x) f(x))

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• Propriété 3 Soit f une fonction dérivable
  sur R telle que f(0) 1. Les deux propositions
  suivantes sont équivalentes
• (i) Il existe une constante ? telle que f
  vérifie
• f ? f
• (ii) Pour tous réels a et b f(ab) f(a)
  f(b)
• ((i) implique (ii) en montrant que g et h
  définies par
• g(x) f(ax) et h(x) f(a)f(x) sont
  égales
• (ii) implique (i) en dérivant par rapport à x
  dans légalité f(ax) f(a)f(x) puis en prenant
  x 0)

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Notation

• Par récurrence et en utilisant la propriété
  3, on montre que pour tout entier n (négatif ou
  positif) et pour tout réel a
• ? (an) (((((?(a))n
• On convient de noter ? (1) e, doù ? (n)
  en
• Par prolongement à R,,, pour tout réel x,
• ? (x) ex

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Existence de la fonction exponentielle

• Théorème Léquation y y admet une solution
  prenant la valeur 1 en 0.
• (après avoir montré que pour tout entier
  naturel n et pour tout réel x gt -1, (1x)n ? 1
  nx ,
• on démontre que, pour tout réel x, les suites
  (un(x)) et (vn(x)) définies par
• un(x) (1 x/n)n et vn(x) (1?x/n)-n
• sont adjacentes.
• La limite commune définit une fonction
  solution)

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Croissance comparée

• Terminale ES
• On positionnera à laide dun grapheur les
  courbes représentatives de x ? ex et de x ? lnx
  par rapport à celles de x ? xn.
• Terminales S et ES
• On établira la limite en ? de ex/x et de
  lnx/x  on en déduira la limite en ?? de xex  on
  aboutira aux règles opératoires  à linfini,
  lexponentielle de x lemporte sur toute
  puissance de x et les puissances de x lemportent
  sur le logarithme de x.

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Remarques

•  on établira   une démonstration est attendue.
•  on aboutira   et  lemporte sur 
• on va expliciter le terme  lemporte ,
  faire la distinction entre
•  la courbe dune des fonctions passe au
  dessus de la courbe de lautre fonction
• et
•  la limite du quotient des fonctions est
  infinie .

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Tableur et (ou) grapheur

• Avec les fonctions x ? xn et x ? ex
• ou
• Avec les fonctions x ? x et x ? lnx
• Permet de visualiser la position relative
  des courbes, ou le signe de la différence,
• puis le comportement du quotient, pour
  arriver à la notion de limite.

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Démonstrations

• - Un travail utilisant plusieurs notions
  danalyse
• (étude de fonctions, théorème des valeurs
  intermédiaires)
• permet de détudier le signe de xn ? ex.
• - Un autre travail permet de démontrer les
  résultats concernant les limites à linfini des
  quotients.

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Remarque

• Il est nécessaire de faire en sorte que,
  lorsquun élève écrit la règle opératoire
•  à linfini, lexponentielle de x lemporte
  sur toute puissance de x et les puissances de x
  lemportent sur le logarithme de x ,
• il sache bien que cela correspond à une notion
  de limite infinie.
• Une démonstration des résultats semble donc
  importante.

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Programme S

• On étudiera les fonctions
• x ? exp(-kx) et x ? exp(-kx2) , avec k ?
  0
• et on illustrera leur décroissance rapide. 
• Ces fonctions sont très utilisées en
  probabilité et en statistique, en théorie du
  signal, etc

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Pistes de réflexion

•  on illustrera   quentend on exactement
  par ce mot ?
• Est-ce la décroissance rapide des fonctions
  
• x ? exp(-kx) et x ? exp(-kx2) quon doit
  faire apparaître et alors la rapidité doit-elle
  être mesurée par rapport à quelque chose ou
  doit-on faire appel aux autres sciences pour
  montrer où interviennent ces décroissances
  rapides ?

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Conclusion

• Cette partie du programme peut être traitée en
  plusieurs étapes, au fur et à mesure de
  lintroduction des fonctions et des résultats
  danalyse.
• Elle est loccasion
• - de préciser du vocabulaire comme
   lemporte sur 
• - dalterner les activités de visualisation
  (tableur, grapheur) avec le travail de
  démonstration.