Chapitre 9

1
Chapitre 9

• La classification des nombres réels

2

• Rappel On dit quun ensemble infini est
  dénombrable sil peut être mis en bijection avec
  lensemble des naturels. Sinon on dit quil est
  non-dénombrable.
• Lensemble des nombres réels est non dénombrable.
  
• Lensemble des nombres réels peut se diviser en
  deux ensembles, les rationnels et les
  irrationnels.
• Lensemble des rationnels est dénombrable et
  lensemble des irrationnels est non-dénombrable

3

• Définition On dit quun nombre irrationnel est
  un nombre algébrique si ce nombre est la racine
  dun polynôme à coefficients entiers.
• Le degré dun nombre algébrique est défini comme
  le degré du polynôme de degré minimal dont ce
  nombre est une racine.
• Exemple

est un nombre algébrique de degré 2 car ce nombre
est une racine du polynôme x2-2
4

• Théorème 1. Lensemble des nombres algébriques
  est dénombrable.
• Définition Un nombre irrationnel qui nest pas
  un nombre algébrique est appelé un nombre
  transcendant.
• Théorème 2. Lensemble des nombres transcendants
  est non-dénombrable.
• Théorème 3. Le nombre N1/m est soit un entier
  soit un nombre irrationnel.
• Théorème 4. Si un nombre est la racine dun
  polynôme unitaire à coefficients
  entiers,cest-à-dire un polynôme de la forme
• xna1xn-1an-1xan,
• alors ce nombre est soit un entier soit un
  irrationnel.

5

• Théorème 5 Le nombre e est irrationnel. Si y
  est un nombre rationnel, alors ey est un nombre
  irrationnel.
• Théorème 6 Si x est un nombre algébrique de
  degré n, alors il existe une constante c telle
  que pour toute fraction p/q

• Théorème 7. Le nombre suivant

est un nombre transcendant
6

• Théorème 8. Soit a1, a2, a3, une suite infinie et
  croissante de nombres naturels, alors le nombre

est un nombre transcendant.

• Théorème 9. Si x et y sont des nombres
  algébriques de degrés respectivement m et n,
  alors xy et xy sont des nombres algébriques de
  degrés au plus mn.

7

• Théorème 10 Soit x un nombre irrationnel. Pour
  tout entier n, il existe une fraction p/q, avec q
  plus petit ou égal à n, telle que

Comment trouver le polynôme minimal dun nombre
algébrique??? Exemple Trouver le polynôme
minimal de
8

• Première étape. On développe les puissances de x

9

• Deuxième étape. On trouve une combinaison
  linéaire de 1,x,x2,x3, x4 qui soit égale à 0.
• On a

On a aussi
On en déduit
et
10
On conclut
Exemple 2. Trouver le polynôme minimal de
On remarque dabord que
Donc