Chapitre 7 La rciprocit quadratique'

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Chapitre 7La réciprocité quadratique.
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• Définitions
• a est un résidu quadratique mod p sil existe un
  entier x tel que

2. Le symbole de Legendre est égal à 1 si a est
un résidu Quadratique modulo p et à -1 si a
nest pas un résidu quadratique modulo p.
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• Considérations préliminaires
• Si p gt2, alors il existe (p-1)/2 résidus
  quadratiques mod p et (p-1)/2 non résidus
  quadratiques mod p.
• Si p gt2, alors -1 est un résidu quadratique
  modulo p si et seulement si p est congru à 1
  modulo 4.

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• Critère dEuler

Le critère dEuler se démontre à laide du
théorème dEuler et du théorème de Wilson.
Conséquence du critère dEuler
En conjonction avec le théorème de réciprocité
quadratique, le critère dEuler nous permettra de
calculer rapidement la valeur du symbole de
Legendre.
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• Lemme de Gauss.
• On considère les nombres a,2a,3a,, (p-1/2)a. On
  désigne par n la quantité de ces nombres dont le
  plus petit résidu positif mod p est supérieur à
  p/2, alors

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Preuve du Lemme de Gauss.

• Pour démontrer le lemme de Gauss, il faut dabord
  définir les trois ensembles suivants,

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• 2. On montre que

3. Il sensuit que
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• 4. Du critère dEuler on conclut

Ce qui termine la démonstration du lemme de Gauss
Théorème 7.13
Ici n satisfait la relation de congruence suivante
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• Preuve du théorème 7.13
• Pour démontrer le théorème 7.13, on utilise la
  même notation que pour la démonstration du lemme
  de Gauss.
• On pose en plus

Ici am est le plus petit entier positif congru à
ma mod p
Preuve
1. Les deux identités suivantes sont essentielles
à la preuve
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• 2. De lidentité (1) on obtient

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• 3. Tandis que de lidentité (2) on obtient

4. En additionnant les identités (3) et (4) on
obtient
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Théorème de la réciprocité quadratique
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Preuve du théorème de la réciprocité quadratique.

• 1.On définit dabord les trois ensembles
  suivants

2. On remarque que
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• 3.Étant donné que

On a que
et que
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• 4. On en conclut que

Et la démonstration du théorème de réciprocité
quadratique découle du théorème 7.13.