LES GRAPHES

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LES GRAPHES
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Introduction

• L'introduction d'éléments de la théorie des
  graphes dans l'enseignement de spécialité de la
  classe terminale de la série ES constitue une
  grande nouveauté
• cette branche des mathématiques discrètes fait
  son entrée dans l'enseignement secondaire
  français
• le travail proposé est axé sur la seule
  résolution de problèmes et aucunement sur un
  exposé magistral.

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Pourquoi introduire des éléments sur les graphes
?

• Donner continuité et cohérence avec le programme
  1ère
• Souvrir à de nouveaux raisonnements,
  sentraîner à avoir un autre regard mathématique
• Montrer des mathématiques non classiques liées à
  des problèmes concrets
• Sensibiliser à lalgorithmique
• Réinvestir ce travail dans les T.P.E.

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Pourquoi axer le travail sur la seule résolution
de problèmes ?

• Ouvrir un grand champ de modélisation conduisant
  à des solutions efficaces pour de nombreux
  problèmes
• Laisser place à l'initiative des élèves, avec un
  temps nécessaire de tâtonnements et dessais

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Le programme

• Modeste Le temps consacré à l'étude de ces
  notions, pourrait représenter 40 du temps total,
  soit environ 24 heures.
• Contenu théorique réduit L'optique étant la
  résolution de problèmes, c'est le bon usage des
  notions relatives aux graphes, et non la
  mémorisation de définitions formelles, qui est
  ici recherchée.

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Les Graphes Et si ça servait à quelque chose ?

• La théorie des graphes possède de nombreuses
  applications et intervient dans des domaines
  variés comme

• La Chimie
• La Physique
• La Biologie
• LInformatique
• Les Mathématiques

• Les Sciences sociales
• LIndustrie
• La Géographie
• LArchitecture

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Exemple 1 Somme des degrés des sommets d un
graphe

• Un tournoi déchec oppose n personnes. Chaque
  joueur doit rencontrer tous les autres
  participants.
• Représenter cette situation par un graphe pour
• n 4
• n 5
• n 6
• Combien doit-on prévoir de rencontres ?

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Propriété La somme des degrés dun GNO est
égale à deux fois le nombre darêtes.
n 4 ? d 4 ? 3 12. Il y aura 6 matchs. n
5 ? d 5 ? 4 20. Il y aura 10 matchs. n
6 ? d 6 ? 5 30. Il y aura 15 matchs.
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Exemple 2 Chaînes eulériennes.Cycles eulériens

• Maurice, le facteur doit effectuer sa tournée. Il
  doit sarrêter à la Poste (P), la Gare (G), la
  Mairie (M), le Lycée (L), le Centre commercial
  (C) et distribuer le courrier dans les rues 1 à
  7. Il doit définir son trajet en respectant les
  contraintes ci-dessous 
•  

1. Trouvera-t-il un circuit sans repasser dans la
   même rue ?

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Théorème dEuler Un graphe connexe admet une
chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de
sommets de degré impair est 0 ou 2. Un graphe
connexe admet un cycle eulérien si et seulement
si ses sommets sont de degré pair.
Ici, le facteur peut suivre la chaîne eulérienne
4 3 2 4 1 2 5 1 mais est obligé de partir du
lycée. Il nexiste pas ici de cycle eulérien. Si
le facteur ne distribuait pas le courrier de la
rue 4, il pourrait effectuer un cycle eulérien 3
4 2 5 1 2 3 ( par exemple )
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Propriété Soit A la matrice associée à un
graphe. Le terme aij de la matrice An donne le
nombre de chaînes de longueur n reliant i à j.
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Exemple 3 Recherche du plus court chemin Pour
rentrer chez lui, Maurice doit se rendre de la
poste à la gare. Quel est le plus court chemin
quil peut suivre ?
1080
1090
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800(P)
1090
?
?
680(P)
14
800(P)
1090
1410(L)
1880(L)
1280(L)
680(P)
15
800(P)
1090
1880(L)
1890(M)
1280(L)
1400(M)
680(P)
16
800(P)
1090
1880(L) 1890(M)
1280(L)
1870(C)
680(P)
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Maurice se rendra de la poste à la gare en
passant par la Mairie la distance parcourue
sera 1870 m.
800(P)
1090
1870(C)
1280(L)
680(P)
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Exemple 4 Coloration d un graphe

• Cinq étudiants doivent passer des écrits
  d examen.
• Maxime en Anglais, Physique, Mathématiques
• Aude en Espagnol, Biologie, Mathématiques
• Marion en Mathématiques, Français, Anglais
• Amélie en Anglais, Biologie
• Laurent en Physique, Français

Si chaque écrit dure 1/2 journée, quel nombre
minimal de jours doit-on prévoir?
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(No Transcript)
20
(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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En appliquant l algorithme de coloration, il a
fallu quatre couleurs pour colorier ce
graphe. Comme (A,F,M,P) forme un sous-graphe
complet d ordre 4, le nombre chromatique de ce
graphe est 4. Il faudra donc 4 jours pour
organiser cet examen.
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Exemple 5 Graphe probabiliste
A Clochemerle, la campagne électorale fait rage
deux listes A et B s affrontent. Chaque jour de
campagne on interroge un électeur pris au hasard
et on définit les événements suivants

• An l électeur est favorable à la liste A au
  n-ieme jour de campagne probabilité pn
• Bn l électeur est favorable à la liste B au
  n-ieme jour de campagne probabilité qn

A l issue de chaque jour de campagne, 20 des
électeurs favorables à la liste A et 30 des
électeurs favorables à la liste B changent
d avis le jour suivant.
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Le graphe probabiliste qui décrit cette situation
est
La matrice de transition de ce graphe est
0,2
0,3
L état probabiliste au premier jour de la
campagne est la matrice ligne
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L état probabiliste Pn à l étape n est
L état Pn à l étape n, converge vers un état P
indépendant de l état initial et on a PPM,
soit
Comme pq1 alors
p0,6 et q0,4 La liste A gagnera
l élection.
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(No Transcript)